Doppelspaltexperiment ohne Kleinwinkelnäherung

SMTower · Anmeldungsdatum: 16.04.2015 Beiträge: 3

Meine Frage:
Einen wunderschönen guten Tag an alle die das lesen.

Ich beschäftige mich zur Zeit mit der Einführung in die Quantenmechanik und bin auf das sog. Doppelspaltexperiment gestoßen, welches mit Elektronen durchgeführt wird.
Der Abstand zwischen beiden Spalten ist

, der Abstand zum Schirm hinter dem Doppelspalt sei

und der Abstand zweier benachbarter Maxima des Interferenzbildes auf dem Schirm sei

.

Die Aufgabe die ich mir gestellt habe ist, den oben genannten Abstand der Maxima

zu bestimmen, unter der Annahme, dass die Breite eines Spaltes viel kleiner sei als die de Broglie Wellenlänge der verwendeten Elektronen.

Meine Ideen:
Mein erster Schritt für die Herleitung der benötigten Gleichungen war eine geometrische Betrachtung eines typischen Aufbaus wie bei http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Double-slit_schematic.svg/720px-Double-slit_schematic.svg.png diesem Bild von Wikipedia. Selbstverständlich passen die Variablen des Bildes nicht mit meinen obigen überein.

Mit der Benutzung des Sinus für rechtwinklige Dreiecke kommt auf folgende Gleichung:

Dabei sei

der Gangunterschied der beiden Strahlen.

Des weiteren erhält man durch die Definition des Tangens:

So, nun kommt der Teil wo ich nicht so richtig weiter komme. In der Regel würde man jetzt eine Kleinwinkelnäherung,

, durchführen und man würde aus den beiden obigen Gleichungen folgendes erhalten:

Ich könnte meine Gleichung umstellen und es würde diesen Post nicht geben.

Nun ist diese Näherung für den Sinus, Tangens und Cosinus ja aber nur bei sehr kleinen Winkel

gültig. Wenn ich nun die Breite der Spalte

, ich meine damit nicht den Abstand zwischen den beiden Spalten

, wesentlich verkleiner, so dass gilt:

wird ja mein Winkel

bis zu einem Grenzwert von

groß, oder?
Das bedeutet dann wiederum, dass es mir nicht gestattet ist die obige Näherung zu verwenden. Okay dachte ich mir, kein Problem.

Setze ich nun für den Tangens seine Definitiv über den Sinus und den Kosinus ein und setze beide Beziehungen gleich folgt mit der Tatsache das ich für die Gangunterschiede Maxima haben möchte,

:

Wenn ich hier aber nun den Limes bilde und den Cosinus gegen

gehen lasse, geht der Cosinus gegen 0. Und da haben wir den Salat...

Vielleicht kann mir jemand helfen und sagen wo ich einen Denkfehler gemacht habe oder ob ich vielleicht sogar auf der komplett falschen Spur bin.
Etwaige Fehler beim techen bitte ich zu entschuldigen.

Beste Grüße,
Max