Gesamtdruck Staumauer

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Meine Frage:
Habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

Ein Fluss wird in einem Tal mit einem Querschnitt der Form y(x) = a*x4 durch eine H = 100 m hohe
Staumauer aufgestaut. Die Krone der Mauer hat eine Lange von 2*x0 = 200 m, siehe Zeichnung.

a) Wie gro ist die Gesamtkraft, die auf die Staumauer wirkt, wenn der See bis zur Krone aufgestaut ist
(Dichte Wasser = 1000 kg/m3)?
b) Prufen Sie, ob die Gro enordnung Ihres Ergebnisses aus a) stimmt, indem Sie die Staumauer durch
ein Rechteck gleicher Flache und gleicher Hohe wie in a) annahern (vgl. rechte Abbildung) und hierfur
die Gesamtkraft berechnen.

Meine Ideen:
Ich habe meine Schwierigkeiten mit dem integrieren...
also x geht ja von -100m bis 100 m und y geht ja von 0 bis 100m
Ausserdem muss ich ja ein Doppelintegral berechnen und weiss da nicht weiter...
Also ich habe bis jetzt folgendes

Die Funktion die integrieren muss ist ja

Die Grenzen von x sind ja von -100 bis 100m und
die Grenzen von y sind ja von 0 bis 100m

Ich weiss nicht weiter denn das a stört mich in der Funktion und bekomme das Doppelintegral nicht aufgestellt....

der Link zu der Skizze

http://imgur.com/CjxFolN [as_string: ich hab das Bild mal etwas kleiner gemacht, so dass ich es als Anhang dran machen könnte]

jumi · Gast

Ehe man eine solche Aufgabe anfängt, muss man sich über die Bezeichnungen einigen.
F = p . a
Was bedeuten die Buchstaben?

Wo siehst du da ein Doppelintegral?

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

F ist der Gesamtdruck
p ist der Druck
A die fläche

x und y sind ja voneinader abhängig deswegen das Doppelintegral

jumi · Gast

Ich denke F ist eher die Gesamtkraft.
Aus a ist jetzt A geworden.
So kommen wir kaum weiter, denn [b]welche Fläche ist denn gemeint?

Zerlege lieber die Fläche der Staumauer in vertikale Streifen je dx breit und
(100-y) hoch.
Wie groß ist denn die Kraft dF auf einen solchen Streifen?

Wenn du dies nicht weißt, so kannst du auch mit horizontalen Streifen rechnen.

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Sorry hatte mich vertippt...
ja mit F ist Gesamtkraft gemeint...

bei Teilaufgabe a ist die erste Zeichnung gemeint und bei b ist die zweite Zeichnung gemeint

jumi · Gast

Fang mal mit Aufgabe b) an. Die ist leichter.

Wie groß ist denn die Fläche der Staumauer?

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Die Fläche eine Rechteckes ist ja definiert als Länge mal Breite...
Also 20.000 m^2

jumi · Gast

Die Formel für die Fläche eines Rechtecks stimmt. Bravo.
Aber gefragt ist doch die Fläche der Staumauer.

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Der Querschnitt der Staumauer ist a*x^4
Also muss ich diese Funktion integrieren und zwar von -100 bis 100?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Bestimme doch erstmal das a. es soll ja y(-100m) = y(+100m) = 100m sein, richtig?

Gruß
Marco

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Sorry verstehe aber nicht wies du auf y(-100m)=y(+100m)=100m kommst....
Verstehe gar nichts mehr...

jumi · Gast

Wenn die Gleichung der Kurve y = ax^4 ist und durch die Punkte (0,0) und (100,100) gehen soll, wirst du doch noch den Koeffizienten a besttimmen können.

Ich schlage for, as_string soll hier weitermachen. Mir geht das zu zähe weiter.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Aber jumi, warum so ungeduldig? Schläfer

Naja, also ich finde die Aufgabe ganz nett und mache natürlich gerne weiter!

Also nochmal zurück auf 0. Wir haben eine Funktion mit ax⁴ gegeben. Jetzt müssen wir die Konstante a so bestimmen, dass sie die Funktion das Profil auch korrekt abbildet.
Da wissen wir, dass am tiefsten Punkt y=0 sein soll und auch x=0, weil wir halt einfach das Koordinatensystem so gelegt haben. Aber wir wissen auch, dass bei x=100m und bei x=-100m in diesem Koordinatensystem wir an der Oberkante (also auf Wasseroberflächenniveau) angekommen sind. Also muss da y=100m sein.
Also haben wir drei Gleichungen:
y(0) = 0 (so wie so schon erfüllt, weil die Funktion schon so angesetzt ist)
y(100m) = a*(100m)⁴ == 100m
Genau so muss auch für x=-100m das raus kommen, aber da die Funktion x-Achsen-symmetrisch ist, ist das auch schon automatisch der Fall.
Deshalb kannst Du a ganz einfach bestimmen, indem Du 100m = a*(100m)⁴ nach a auflöst.

Gruß
Marco

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Hallo Marco
Erstsmals vielen Dank für deine Zeit, Geduld und Mühe.

Okay habe jetzt alles nachvollziehen können.
D.h für

Dann kann ich ja diese Funktion integrieren um die Fläche herauszubekommen.

Muss ich dann diese Funktion von 0 nach 100 oder von -100 bis 100 integrieren?

mbg

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ich hab bei mir den Kehrwert.

Gruß
Marco

PS: Ich melde mich gleich wieder...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Nein, diese Funktion musst Du nicht integrieren, bzw. es kommt darauf an, was Du genau ausrechnen möchtest.

Fangen wir mit der Fläche an. Da kannst Du in der Tat so was wie das Integral brauchen. Aber eigentlich nicht genau dieser Funktion. Das wäre ja die Fläche unterhalb der Kurve zwischen Kurve und x-Achse.
Du brauchst aber die Fläche zwischen einer waagerechten Geraden y=100m und der Kurve. Welche Funktion musst Du dafür integrieren?

Gruß
Marco

PS: Ich muss gleich noch schnell einkaufen gehen, ich bin dann erstmal für ne knappe Stunde oder so weg. Ich hoffe, Du hast genug Zeit übrig?

Calis04 · Anmeldungsdatum: 27.03.2014 Beiträge: 13

Hallo
Also ich habe bis Donnerstag Zeit, das ist gar kein Problem....
Nur eine Frage...reden wir hier von der ersten oder zweiten Abbildung?
Die Kurve ist ja gegeben als a*x^4 oder nicht?

Danke und mbg

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Ja, ich meine die erste mit dieser Funktion.
Wenn Du die Funktion so integrierst, dann würdest Du die Fläche bekommen, die ich grün angemalt habe. Du möchtest aber die blaue haben. Was musst Du dafür tun?

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Für den Gesamtdruck (also die Gesamtkraft eigentlich, denke ich mal), müssen wir aber tatsächlich ein doppeltes Integral machen, denke ich.
Das geht so: Wir tun ersteinmal so, als ob x festgehalten wäre und greifen uns einen vertikalen Streifen raus (s. meine Skizze). Der Streifen hat die Breite dx. Wir integrieren jetzt über y-Werte von 100m bis zum Funktionswert 100m-ax⁴, so wie ich es eingezeichnet habe. Das sind die Grenzen dieses Integrals über y. Das Flächenelement ist einfach dx*dy und die Höhe h musst Du Dir noch überlegen in Abhängigkeit vom y. Die Höhe brauchst Du ja, um den Druck an dieser Stelle ausrechnen zu können.

Kannst Du das mal probieren, ob Du da schon ein Stückchen weiter kommst?

Gruß
Marco

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Vielleicht sollte man das Integral mal hinschreiben

und für eine einfache Rechteckfläche berechnen.

jumi · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18110

Tja, es ist aber nunmal ein Doppelintegral. Es sollte auch klar sein, dass das so sein muss, da dies der Verallgemeinerung des Falls

entspricht.

Damit kann man dann den nächstschwierigeren Fall

für ein einfaches Rechteck angehen. Und zuletzt den Fall der komplizierteren Staumauerform.

Natürlich hast du recht, man kann Streifen mit konstantem y und damit p(y) wählen, also

Aber das alles ändert doch nichts an der Tatsache, dass es sich um ein Doppelintegral handelt; und dass man das mal hinschreiben sollte. Dann kann man geeignet vereinfachen.

jumi · Gast

Das zuletzt angegebene Integral ist kein Doppelintegral, obwohl es selbst in Büchern manchmal (fälschlicherweise) als solches bezeichnet wird.
Es handelt sich um zwei ineinander geschachtelte einfache Integrale, so genannte "iterierte Integrale" mit denen man ein Doppelintegral berechnen kann.
Allerdings scheint der Fragesteller das Interesse an der Aufgabe verloren zu haben.