GPS

Higgs · Gast

Meine Frage:
In welcher Höhe heben sich die Effekte der gravitativen und geschwindigkeitsabhängigen Zeitdilatation auf beim GPS?
Laut Wiki eine Flughöhe von 3000 km.

Wenn ich aber jetzt berechne, dann komme ich bei der geschwindigkeitsabhängigen Zeitdilatation auf einen Wert von 1-8,349*10^-11 bei einer Satelliten-Geschwindigkeit v=3874 m/s.

Bei der gravitativen Zeitdilatation habe ich die Formel laut englischer Wikipedia genommen. Also T=Wurzel(1-2GM/(R+h)c²)/(1-2GM/Rc²)*T0
Wenn ich jetzt den Erdradius 6378 km nehme und für den Satelliten rs=6378+3000 km dann komme ich auf einen Wert von 0,0000000002225. Also
19224 ns.

Bei der geschwindigkeitsab. Zeitdilatation komme ich auf einen Wert von 7214 ns.

Das kann doch nicht stimmen. Wenn sich beide Effekte in einer Höhe von 3000 km aufheben müssten, dann sollten nach diesen Berechnungen die Nanosekundenzahl übereinstimmen.

Meine Ideen:
Bitte um Hilfe. Komme einfach nicht weiter.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

Wir gehen aus von der allgemeine Formel

mit

Bis hierher gilt die Gleichung in der ART in voller Strenge. Nun beschränkt man sich zunächst auf eine bestimmte Klasse von Raumzeiten, so dass die Zeitkoordinate entkoppelt, d.h. dass die Effekte der Krümmung Raum und Zeit nicht "mischen". Dann gilt

In dieser Form kann man das Linienelement gut interpretieren: t ist die Koordinatenzeit, die für sich alleine noch keine physikalisch messbare Bedeutung hat. Die Wurzel beschreibt, wie die Effekte der ART den Zeitverlauf (bezogen auf die Koordinatenzeit) modifizieren. Unter der Wurzel beinhaltet der metrisch Tensor die Effekte der Geometrie der Raumzeit, die zeitlichen Ableitungen der Koordinaten die Geschwindigkeiten. Man sieht also, dass in dieser Formel sowohl Raumzeiteffekte als auch Geschwindigkeitseffekte enthalten sind.

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Betrachtet man einen ruhenden Körper, so reduziert sich die Formel zu

Darin steckt das Gravitationspotential und der Effekt der Zeitdilatation in Gravitationsfeldern. Grundsätzlich wäre dieser Effekt hier (auf der Erde) ebenfalls zu berücksichtigen.

Aus der Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen findet man letztlich

wobei G die Gravitationskonstante und M bzw. R Erdmasse und -radius sind. Damit gilt

D.h. im Gravitationspotential ändert sich der Zeitverlauf bezogen auf eine im unendlichen sitzenden Beobachter, für den die Koordinatenzeit T und die Eigenzeit tau übereinstimmen.

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Nun betrachten wir den Fall eines tangential bewegten Objektes bei festem Bahnradius R+h. In diesem Fall trägt auch noch der Geschwindigkeitsterm bei, wobei wir hier die Näherung machen dürfen, dass die räumlichen Tensorkomponenten g alle gleich -1 gesetzt werden. D.h. es gilt

Man sieht, dass die beiden Effekte, einmal das Gravitationspotential, einmal der Geschwindigkeitsterm mit unterschiedlichen Vorzeichen beitragen. Das wird wichtig, wenn man den Fall eines um die Erde kreisenden Satelliten betrachtet: die größere Höhe sowie die Geschwindigkeit des Satelliten zusammengenommen heben sich teilweise gegenseitg auf.

Ich habe hier c=1 gesetzt, d.h. du musst c wieder einführen.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Higgs · Gast

Aber kann man nicht die Höhe berechnen, in der sich der Satellit befinden muss, damit sich die gravitative und die geschwindigkeitsabhängige Zeitdilatation gegenseitig aufheben?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

s.o.

Higgs · Gast

Bei einer Höhe von 3000 km geht die Satellitenuhr in 1000 Jahren um 7,02 Sekunden vor.
Bei einer Höhe von 20184 km geht die Satellitenuhr in 1000 Jahren um 16,68 Sekunden vor.

Stimmt das? Ich habe wie gesagt mit der Formel T=Wurzel(1-2GM/(R+h)c²)/(1-2GM/Rc²)*T0 gerechnet.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

Was gefällt dir an meiner Formel nicht? (habe sie um R+h ergänzt! so dass sie zu deiner Nomenklatur passt).

Wenn du berechnen willst, wo sich die beiden Effekte gerade aufheben, dann musst nur tau gleich t setzen und auflösen. Aber ich denke, du willst zwei Beobachter vergleichen, einen bei R und einen bei R+h, dann wird's etwas komplizierter. Insbs. musst du eigtl. auch die Bahngeschwindigkeit des Beobachters auf der Erdoberfläche aufgrund der Erdrotation betrachten - oder ihn an einen Pol setzen ;-)

Higgs · Gast

Sorry, deine Ergänzung hatte ich gar nicht bemerkt.

Stimmen denn diese Werte:
Bei einer Höhe von 3000 km geht die Satellitenuhr in 1000 Jahren um 7,02 Sekunden vor.
Bei einer Höhe von 20184 km geht die Satellitenuhr in 1000 Jahren um 16,68 Sekunden vor.

Bevor ich weitere Berechnungen anstelle, möchte ich gerne wissen, ob zumindest die obigen Daten korrekt sind. Diese bilden doch Grundlage weiterer Berechnungen.

Ich · Anmeldungsdatum: 11.05.2006 Beiträge: 913 Wohnort: Mintraching

Hi Tom,

GM -> 2GM!

Außerdem haben wir schwaches Feld, es reicht also:

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

Nochmal zur ursprünglichen Fragestellung. Führen wir zwei Beobachter i=1,2 mit zwei Höhen und zwei Geschwindigkeiten ein. Dann gilt

Die Bedingung, dass die beiden Effekte der Zeitdilatation sich gerade aufheben sollte bzgl. eines Referenzbeobachters (hier i=1) formuliert werden. D.h. beide Beobachter i=1,2 sollten identische Eigenzeiten aufweisen

wobei ich hier davon ausgehe, dass Eigenzeitvergleiche per Lichtsignal stattfinden. D.h. für bekannte Werte für h und v des Beobachters 1 sowie bekannte Bahngeschwindigkeit v des Beobachters 2 müsste man diese Gleichung nach der Höhe des Beobachters 2 umstellen.

Wichtig: das sieht etwas anders aus als wenn man einfach t und tau gleichsetzt. t ist zunächst nur eine unphysikalische Koordinatenzeit. Sie entspricht der Eigenzeit eines Beobachters im Unendlichen! Im Falle des GPS oder anderer Satelliten würde man jedoch den Referenzbeobachter i=1 auf die Erdoberfläche bei h=0 setzen, und wegen Vereinfachung noch an den Pol mit v=0. D.h. die rechte Seite (für den Satelliten) wäre nicht exakt Null, sondern müsste den Wert der linken Seite reproduzieren.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18201

Nochwas: die Geschwindigkeit des Satelliten kann man als Funktion der Flughöhe v(R+h) betrachten; diese ergibt sich in sehr guter Näherung aus der Newtonschen Mechanik.

Meine Darstellung gilt auch für den allgemeineren Fall, das v nicht aufgrund einer kräftefreien Kreisbewegung als v(R+h) vorgegeben ist.