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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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 TruEnemy Verfasst am: 22. Okt 2012 14:46 Titel: Totale Differentiale |
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Hallo!
Meine Frage:
Heute hat die Vorlesung Theoretische Physik V - Statistische Physik und
Thermodynmaik begonnen. Auf unserem ersten Übungsblatt sind vier
Aufgaben zu lösen. Bei der ersten soll überprüft werden, ob verschiedene
Ausdrücke totale Differentiale darstellen. Der erste Ausdruck lautet wie folgt:
Mein Ansatz:
In der Vorlesung haben wir u. a. folgenden Satz zu Differentialen notiert:
Für eine beliebige Form \;dx + D(x,y)\;dy ) gilt:
 totales Differential   Das kann ich hier verwenden, oder?
Gruß!
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 22. Okt 2012 22:39 Titel: |
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Jopp.(Satz von Schwartz) |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 22. Okt 2012 22:53 Titel: |
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Dann wende ich es mal auf den ersten Ausdruck an. Aaalso:
Richtig so?
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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kingcools
Anmeldungsdatum: 16.01.2011
Beiträge: 700
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| kingcools Verfasst am: 22. Okt 2012 23:45 Titel: |
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jo |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 23. Okt 2012 13:48 Titel: |
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Danke! Hier weitere 'Überprüfungen':
Bei den anderen Ausdrücken muss ich
noch ableiten, die sind nicht sooo trivial.
Sind die Rechnungen bisher aber richtig?
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 23. Okt 2012 17:27 Titel: Re: Totale Differentiale |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: |
Für eine beliebige Form gilt:
totales Differential |
Ist Dir eigentlich klar was dieser Satz aussagt? Ich hab irgendwie das Gefuehl, dass Du ihn einfach anwendest ohne zu verstehen was der Punkt ist. Ich kann mich aber natuerlich auch irren...
Deine Ergebnisse sind auf jeden Fall richtig. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 23. Okt 2012 22:25 Titel: Re: Totale Differentiale |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Ist Dir eigentlich klar was dieser Satz aussagt? |
Um ehrlich zu sein, nein, nicht wirklich. Der Satz
von Schwarz sagt mir nur: beim partiellen Ablei-
ten nach den einzelnen Variablen einer Funktion,
die von mehreren Variablen abhängt, ist die Reih-
enfolge der Durchführung irrelevant für's Ergebnis.
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 23. Okt 2012 22:45 Titel: |
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 - y \cdot \sinh(y) \right) dx - \left( x \cdot \sinh(y) + y \cdot \cosh(y) \right) dy)
 - y \cdot \sinh(y) \;\text{und}\;\frac{\partial}{\partial y} C(x,y) = x\cdot\sinh(y) - \sinh(y) - y\cosh(y) )
 + y \cdot \cosh(y) \;\text{und}\;\frac{\partial}{\partial x} D(x,y) = \sinh(y) )
 \neq \frac{\partial}{\partial x} D(x,y) \Leftrightarrow \delta z \;\text{kein totales Differential} )
Ist das korrekt?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Okt 2012 01:12 Titel: Re: Totale Differentiale |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | ...Der Satz
von Schwarz sagt mir nur: beim partiellen Ablei-
ten nach den einzelnen Variablen einer Funktion,
die von mehreren Variablen abhängt, ist die Reih-
enfolge der Durchführung irrelevant für's Ergebnis. |
Das macht irgendwie nicht soviel Sinn mit der Reihenfolge, wenn man nur einmal ableitet, oder?
Aber vllt meinst Du das Richtige... |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 24. Okt 2012 13:11 Titel: |
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Ja, stimmt auch wieder  
Hier der letzte Ausdruck, so richtig?
 \right) dx + x^{(xy + 1)} \ln (x) dy )
 \right)\;\text{und}\;\frac{\partial}{\partial y} C(x,y) = yx^{(xy + 1)}\;\ln(x)\;\left(\ln(x) + 1\right) + x^{xy}\;\left(\ln(x) + 1\right) = yx^{xy}\left(x\;\ln(x)^2 + x\;\ln(x)\right) + x^{xy}\;\left(ln(x) + 1\right) )
} \ln (x)\;\text{und}\;\frac{\partial}{\partial x} D(x,y) = yx^{xy}\left(x\;\ln(x)^2 + x\;\ln(x)\right) + x^{xy}\;\left(ln(x) + 1\right) )
 = \frac{\partial}{\partial x} D(x,y) \Leftrightarrow \delta z\;\text{ist ein totales Differential} )
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 24. Okt 2012 21:05 Titel: |
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Ist richtig:
) dx + x^{x y + 1} \log ( x ) dy
<br />
) |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 24. Okt 2012 22:23 Titel: |
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OK, vielen Dank! Dann sind also all meine bisherigen Rechnungen richtig?! 
Ich komm' nun mal zum nächsten Problem, das Thema dabei ist das gleiche. Also:
}{\ln (y)} \right) \frac{dy}{y}\;\text{kein totales ist.})
Was mich verwirrt, ist das  auf der linken Seite. Kann ich das einfach rüberbringen?
Wenn ich  und  schreibe, kann ich ja wie vorhin vorgehen!??
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 25. Okt 2012 14:28 Titel: |
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Könnte immer noch etwas Rat gebrauchen, Leute  
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 25. Okt 2012 17:47 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | | Könnte immer noch etwas Rat gebrauchen, Leute |
Was denn fuer einen? Du kannst es offensichtlich berechnen, auch wenn Du nicht weisst was genau Du tust... |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 25. Okt 2012 21:50 Titel: |
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Das ist ja nicht immer eine Vorraussetzung, um Sachen zu berechnen
Nein, im Ernst, ich habe mir ein paar Gedanken dazu gemacht: bei dem
Satz handelt es sich wohl um die Integrabilitätsbedingung für totale Dif-
ferentiale. Ist diese nicht erfüllt, kann es sich bei dem vorliegenden wohl
logischerweise nicht um ein totales handeln. Soviel dazu, ich hoffe, das
war richtig? Nun zur Aufgabe von oben: was mir Probleme bereit bzw. was
mich etwas verwirrt, ist das F. Was ist damit, was mache ich damit? An-
sonsten kann ich den Ausdruck ja schön in die 'passende' Form bringen:
}{\ln (y)} \right) \frac{1}{y}\;dy )
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 25. Okt 2012 21:59 Titel: |
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Was hat das F damit zu tun ob die rechte Seite ein totales Differential ist oder nicht?
Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 26. Okt 2012 05:24, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 196
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| Telefonmann Verfasst am: 25. Okt 2012 23:54 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | Nein, im Ernst, ich habe mir ein paar Gedanken dazu gemacht: bei dem
Satz handelt es sich wohl um die Integrabilitätsbedingung für totale Dif-
ferentiale. Ist diese nicht erfüllt, kann es sich bei dem vorliegenden wohl
logischerweise nicht um ein totales handeln. Soviel dazu, ich hoffe, das
war richtig? |
Hallo TruEnemy,
Du weißt doch was ein Potential ist? Du weißt auch, dass Wegintegrale mal vom Weg abhängen können und mal nicht? Und du solltest auch wissen, dass die erste Frage mit der zweiten etwas zu tun hat und vice versa? Salopp formuliert: Gibt es ein (thermodynamisches) Potential sind die zugehörigen Wegintegrale nur noch abhängig vom Start und Endpunkt und nicht mehr vom Weg zwischen diesen zwei Punkten.
| Zitat: | Nun zur Aufgabe von oben: was mir Probleme bereit bzw. was
mich etwas verwirrt, ist das F. Was ist damit, was mache ich damit? An-
sonsten kann ich den Ausdruck ja schön in die 'passende' Form bringen:
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Vergiss einfach mal die linke Seite und prüfe, ob die rechte Seite ein totales Differential ist. Die linke Seite ist hier sowieso mehrdeutig, eventuell auch noch mit Tippfehlern oder einem Flüchtigkeitsfehler durchsetzt und damit lediglich als "Beiwerk" zu werten. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 28. Okt 2012 18:33 Titel: |
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Zunächst: vielen Dank für Eure Antworten. Ich hab' im Moment nur wenig
Zeit, deshalb schreibe ich einfach kurz mein Ergebnis hin. Und das lautet:
}{\ln (y)} \frac{1}{y}\;\text{und}\;\frac{\partial}{\partial x} D = \frac{1}{xy \ln (y)} )
Es handelt sich also nicht um ein totales Differential. Zu finden ist nun
\;\text{sodass}\;g(x,y)\;\vec{F}\;d\vec{r} = g(x,y)\frac{1}{x}\;dx + g(x,y) \left(\frac{\ln (x)}{\ln (y)} \right)\frac{1}{y}\;dy )
ein totales Differential ist. Kann mir dafür jemand einen Tipp geben, bitte?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 29. Okt 2012 06:27 Titel: |
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Ausrechnen und gucken welche Bedingungen g(x,y) erfuellen muss...
Irgendwie krieg ich das Gefuehl, dass Du erstmal einfach die Frage postest ohne selber nachzudenken... |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 29. Okt 2012 13:53 Titel: |
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Durch Probieren habe ich  = \ln(y) ) heraus.
Bei allem Respekt, aber mangelndes Nachdenken lasse ich mir
wirklich nicht vorwerfen. Schlussendlich habe ich ja auch die
Aufgaben selbst gerechnet, und mir nicht vorrechnen lassen.
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 31. Okt 2012 06:34 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: |
Bei allem Respekt, aber mangelndes Nachdenken lasse ich mir
wirklich nicht vorwerfen. Schlussendlich habe ich ja auch die
Aufgaben selbst gerechnet, und mir nicht vorrechnen lassen. |
Das stimmt wohl.. aber wenn mir einer eine Frage stellt und nach der Beantwortung sofort die nächste, die sich nur um epsilon unterscheidet, dann mach ich mir so meine Gedanken...
Trotzdem gut, dass Du die Loesungen jetzt selber *berechnet* hast... ich hoffe Du hast es auch verstanden.
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 31. Okt 2012 12:12 Titel: |
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Jedoch auch vielen Dank an alle, die mir etwas erklärt haben 
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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