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TruEnemy



Anmeldungsdatum: 01.11.2010
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 30. Jun 2012 15:45    Titel: Coulomb-Potential Antworten mit Zitat

Hallo,

Meine Frage:

In der Vorlesung haben wir die radiale Schrödinger-Gleichung hergeleitet.
Hierzu gibt es nun zwei Aufgaben-Teile, wobei der erste Teil, (i), lautet:

Link zur Aufgabe: http://s1.directupload.net/images/120630/ihn9w26r.jpg

Mein Ansatz:

Man möge es mir bitte nachsehen, dass ich diese Brocken nicht in LaTeX
konvertiere. Doch wie verfahre ich nun? Man nehme die Gleichung (1)
und setze dort die Formel ein? Man weiß doch über
nichts oder stehe ich da auf dem Schlauch!?! Bitte um Tipps! Danke!

Gruß.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Jun 2012 16:06    Titel: Antworten mit Zitat

Der Übergang von (1) zu (2) erfolgt sinnvollerweise in zwei Schritten.

Im ersten erhält man (1') durch Substitution ρ = αr in (1). Diese Gleichung (1') solltest du zunächst herleiten.

Im zweiten Schritt erfolgt ein konkreter Lösungsansatz. Hintergrund ist, dass mkan für diese DGL zeigen kann, dass für quadratintergierbare Lösungen, d.h. gebundenen Zustände, eine Asymptotik der Form exp(-ρ) vorliegen muss. Demzufolge kann dann u(ρ) in eine endliche Potenzreihe entickelt werden; man erhält dafür explizt ein Abbruchkriterium, das dafür sorgt, dass alle bis auf endlich viele Terme verschwinden.

Insofern ist der zweite Schritt einfach ein Ansatz, der von der DGL (1') für die unbekannte Funktion χ(ρ) auf eine neue DGL (2) für die (natürlich ebenfalls unbekannte) Funktion u(ρ) führt. Die Idee ist letztlich nur, dass (2) einfacher lösbar ist als (1')

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
TruEnemy



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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 30. Jun 2012 18:36    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst danke ich Dir für Deine Antwort. Den ersten Schritt werde ich dann
auf jeden Fall mal machen. Bei dem zweiten bin ich mir aber nicht sicher: in
der Vorlesung haben wir den Ansatz einer Potenz-Reihe angesprochen. Ich
dacht aber, dass dieser für die nächste Teil-Aufgabe zu verwenden ist, denn
dort soll man durch explizite Berechnung die Rekursionsformel für die Koef-
fizienten des Potenz-Reihen-Ansatzes 'beweisen'.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Jun 2012 18:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, aber als Vorbereitung darauf führst du die Asymptotik, d.h. hier exp(-ρ), explizit ein. Dann musst du nur noch u in eine Potenzreihe entwickeln, nicht mehr χ.

Ist ja eigtl. nicht kompliziert, nur Rechnerei. Du führst den o.g. Ansatz ein und formst die DGL mittels expliziter Ableitung und Produktregel um.

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 01. Jul 2012 00:15    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist es leider immer noch nicht wirklick klar geworden, sorry,
aber ich fange nachher mit Schritt 1 an und poste es morgen.

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TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 01. Jul 2012 09:08    Titel: Antworten mit Zitat

Machen wir ein einfaches Beispiel, eine DGL erster Ordnung ohne viel Rechnerei:



Nun machen wir den selben Ansatz



Einsetzen liefert



Die neue DGL in u lautet nun (die e-Funktion können wir weglassen)





Lösen durch Hinschauen oder natürlich auch Trennung der Variablen und Integration liefert



also



Genauso sollst du auch vorgehen, allerdings ist die Rechnerei bei der SGL etwas aufwändiger.

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Beitrag TomS Verfasst am: 01. Jul 2012 17:59    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich komm' nicht klar ... setze ich nun beim ersten Schritt für jedes ein?

In den Funktionen setzt du genau das ein.

Aber bei den Differentialquotienten must du natürlich substituieren


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 01. Jul 2012 18:13    Titel: Antworten mit Zitat



Wieso kann ich nun nicht einfach für den Exponenten der e-Funk-
tion einsetzen und dann die e-Funktionen nach ableiten?

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 01. Jul 2012 18:19, insgesamt einmal bearbeitet
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Beitrag TomS Verfasst am: 01. Jul 2012 18:17    Titel: Antworten mit Zitat

Natürlich könntest du auch bei der Koordinate r bleiben, aber dann sowohl für die e-Funktion als auch für u; der Witz ist aber, dass rho eine dimensionslose Variable liefert. Benutze doch einfach diesen Ansatz, denn das ist doch die Aufgabe ;-)
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 01. Jul 2012 19:40    Titel: Antworten mit Zitat

Ich blick' aber die Umformung nicht, dass ist das Problem Big Laugh



Soweit korrekt? Und wie verschwindet nun die e-Funktion, denn:

End-Formel: http://s14.directupload.net/images/120701/sh85lh3r.jpg

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Beitrag erkü Verfasst am: 01. Jul 2012 22:45    Titel: Antworten mit Zitat

Hey !

Vielleicht hilft's:"Lösung"

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 01. Jul 2012 23:06    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, aber leider hilft's nicht. Ich hänge immer noch an der selben Stelle ... unglücklich
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Beitrag TomS Verfasst am: 01. Jul 2012 23:34    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab's dir doch vorgerechnet
TomS - 01. Jul 2012 09:08 hat Folgendes geschrieben:
Machen wir ein einfaches Beispiel ...


Du setzt rho statt r ein, führst eine Variablensubstitution bei der Ableitung durch und differenzierst stur ein- bzw. zweimal nach rho; anschließend fällt die e-Funktion raus.

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 01. Jul 2012 23:46    Titel: Antworten mit Zitat

Ich schaff's einfach nicht da durchzusteigen.



Ich setze nun also hier für den Ansatz
ein, und für jedes erst einmal , also d.h.:


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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 02. Jul 2012 00:40    Titel: Antworten mit Zitat



So müsst's bisher stimmen, oder?



Soweit richtig? Dann noch das hier:


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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Jul 2012 07:04    Titel: Antworten mit Zitat

TruEnemy hat Folgendes geschrieben:
Ich setze nun also hier für den Ansatz ein, und für jedes erst einmal ...

Du darfst nicht einfach ρ einsetzen; du hast doch bereits weiter oben geschrieben, dass du r = ρ/a einsetzen musst.

Die Substitutation in d/dr sowie die nachfolgenden Rechnungen schauen OK aus; da kannst du zuletzt exp(-ρ) noch ausklammern und wegstreichen.

Also nur noch mal das Einsetzen von r = ρ/a korrigieren.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 02. Jul 2012 07:09, insgesamt einmal bearbeitet
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 02. Jul 2012 11:32    Titel: Antworten mit Zitat



Und nun komme ich immer noch nicht weiter unglücklich

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Zuletzt bearbeitet von TruEnemy am 02. Jul 2012 11:54, insgesamt einmal bearbeitet
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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 02. Jul 2012 11:53    Titel: Antworten mit Zitat



So lautet alles ausmultipliziert. Ich se da nicht, dass was wegfällt grübelnd Hilfe

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 02. Jul 2012 12:18    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe nun etwas ausmultipliziert und komme auf:


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Beitrag TomS Verfasst am: 02. Jul 2012 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

Dein u muss rechts vom Differentialoperator stehen.

Du kannst noch kürzen, e-Funktion weg, und anders zusammenfasen, nämlich nach Grad der Ableitungen.

Und dann vergleichst du mal mit der o.g. Musterlösung

"Lösung"

... sieht übrigens gut aus!

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Beitrag TruEnemy Verfasst am: 04. Jul 2012 12:55    Titel: Antworten mit Zitat

Danke!
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