Born–von Karman Randbedingung

Kristallologe · Gast

Hallo,

wir haben vor kurzem die Born–von Karman Randbedingung behandelt. Dazu haben wir eine "Kette von Atomen" genommen (Atom-Atomabstand a analog zu einem Kristallgitter.

Die Randbedingung sagt ja nun aus, dass die Wellenfunktion auf einer bestimmten Länge periodisch sein muss. Dazu wurde uns gesagt, man kann sich das anschaulich vorstellen, in dem eine Kette dieser Länge einen Kreis bildet und die Wellenfunktion am Anfang gleich der am Ende entsprechen muss.

Nur leider kann ich mit dieser Randbedingung so gut wie nichts anfangen. Wieso ist das so? Wieso muss die Wellenfunktion einer Atomkette in einer bestimmten Länge periodisch sein? Hat das physikalische Ursachen?

Vielen Dank schon mal!

BerniO1986 · Anmeldungsdatum: 01.05.2012 Beiträge: 89

Hi

zur Vereinfachung geht man davon aus, dass es sich um einen perfekten Kristall ohne Oberfläche handelt. Weiters betrachtet man eine sehr große Zahl an Atomen (respektive Gitterpunkten) bzw. unendlich viele. Wir befinden uns also in einer unendlich ausgedehnten Kette von Atomen. Nun nehmen wir eine Kette von N-Atomen und betrachten diese näher.

Man kann nun sagen, dass es in der ganzen Kette Orte gibt, die die gleichen Bedingungen aufweisen wie die betrachtete N-Atomkette. Darum muss auch dort die Wellenfunktion ident, mit der im von uns betrachteten Bereich, sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Im Falle einer sehr großen Kette von Atomen sind die Grenzfälle unendlicher Kette ohne Ende sowie kreisförmiger Kette äquivalent. Wichtig ist, das kein Atom ausgezeichnet wird.

Kristallologe · Gast

Also gilt die Randbedingung eigentlich nur bei eine unendlichen Kette von Atomen?

Denn wir hatten uns so eine Kette aufgemalt, die in sich periodisch war mit einer Periodizität von N*a. Aber wie ergibt sich dann das N? Das kann ja nicht willkürlich sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Das N ist wohl groß aber ansonstern willkürlich.

Der Punkt ist doch folgender: man möchte ein realistisches Modell (z.B. für einen Festkörper) konstruieren, wobei Oberflächeneffekte unterdrückt sind. Also legt man geeignete Randbedingungen fest.

Evtl. könnten auch mal andere Randbedingungen sinnvoll sein; es muss dafür jedenfalls einen physikalischen Hintergrund geben.

Kristallologe · Gast

Was ich nur komisch finde ist folgendes.

Man möchte einen Festkörper in einer Dimension beschreiben. Dieser Festkörper halt eine finite Länge, sagen wir L.

Dann ist mir jetzt klar, dass wenn ich die eine Dimension durch eine Kette von Atomen beschreibe, die von x=0 bis x=L geht sagen kann, dass N sehr groß ist und die Kette damit unendlich lang ist. Man wendet also die Randbedingung an und sagt, dass die Wellenfunktion am einen Ende des Kristalls gleich dem anderen ist, da man sich die sehr lange Kette als geschlossenen Kreis vorstellen kann.

Nun habe ich mir in der Vorlesung folgendes Schema aufgezeichnet:

L L L L
1-----------N-1-----------N-1-----------N-1-----------N

Man schaltet also quasi mehrere dieser Kristalle hintereinander. Das Schema würde ja jetzt bedeuten, dass der neu entstandene Kristall auch in sich periodisch ist.

Und hier ergibt sich für mich ein Widerspruch. Warum sollte der erste Kristall, mit dem man sich das Gedankenexperiment der kreisförmigen Kette aufbaut nur von einem Ende bis zum anderen periodisch sein, die Reihenschaltung aber in sich periodisch?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Die Periodizität sorgt dafür, dass das Verlängern des Kristalls keinen Einfluss auf irgendwelche mikroskopischen Eigenschaften hat. Anders gesagt, ein kleiner und ein großer Kristall sind hysikalisch identisch - mit Ausnahme der Tatsache, dass der eine eben länger ist ;-)

möppi · Anmeldungsdatum: 13.09.2012 Beiträge: 66

Hi,
Ist schon ein bisschen länger her, als du die Frage gepostet hast, aber ich nehme mir die Freiheit trotzdem zu antworten. Wie die Randbedingung funktioniert ist ja hoffentlich klar geworden, aber zur Frage "Warum gerade diese Randbedingung? Warum braucht man überhaupt eine Randbedingung?" zerbreche ich mir auch schon länger den Kopf und habe für mich eine Antwort gefunden.

Diese Randbedingung wird einfach nur postuliert und liefert "zufällig" die richtigen Ergebnisse. Aber auch Postulate fallen meistens nicht vom Himmel und müssen irgendwie motiviert werden und durch eine Notwendigkeit begründet werden. Als Analogie zu diesem Randwertproblem kann man elektromagnetische Wellen in einem Hohlraum mit ladungsfreien Grenzflächen betrachten. Wenn du die Maxwell-Gleichungen an den Grenzflächen aufstellst, bekommst du Randbedingungen, die den Wellenvektor genauso diskretisieren, wie es bei ebenen Wellen (oder allgemein Bloch-Wellen) im Kristall der Fall zu sein schein, wenn man die Born-von-Karman Randbedingung anwendet. Das ist doch schon mal toll, dass es eine Analogie in der Elektrodynamik gibt. Der Unterschied ist, dass hier die Randbedinungen aus den Maxwell-Gleichungen selbst folgen während man in unserem Fall zusätzliche Bedingungen an die Lösungen der Schrödingergleichung stellen muss.

Zur Frage "Warum braucht man überhaupt eine Randbedinung". Die Notwendigkeit einer Randbedingung ist ziemlich naheliegend. Man braucht irgend eine Bedingung die zu diskreten Zuständen führt. Warum? Stell dir vor das wäre nicht der Fall und der Raum aller k Werte wäre ein Kontinuum. Wie sähe der Grundzustand aus? Da die Zustände beliebig dicht sind, würden sich alle Elektronen bei k=k_min (im einfachsten Fall k_min=0) ansammeln. Das widerspricht nicht dem Pauli-Prinzip, weil ja jeder Zustand beliebig nahe k=k_kim besetzt sein kann. In gewisser weise würde das Pauli-Prinzip umgangen werden, weil dieses Prinzip auch nur Sinn macht, wenn man von einem diskreten Raum von Zuständen ausgeht. Ich vermute mal dabei würde eine ziemlich unsinnige Statistik heraus kommen, die zum Beispiel die Wärmekapazität von Elektronen in einem Metall nicht erklären könnte.
Durch die Born-von Karman Randbedinung bekommt man glücklicherweise einen diskreten Raum von Zuständen.

Insgesamt halte ich nichts von dem Erklärungsansatz, dass der Kristall durch einen Ring am besten modelliert wird. Man ist durch ein "falsches" Bild zufällig auf eine richtige Randbedingung gekommen. Aber es ist ja auch nur eine Bildsprache, die man nicht zu ernst nehmen sollte.Wie im Fall der Elektrodynamik könnten Grenzflächenphänomene dafür verantwortlich sein, dass sich die Wellenfunktion approximativ auch wirklich so verhält.

Das alles sind meine eigenen Überlegungen und ich bin mir absolut nicht sicher, ob Born und von Karman dabei genauso gedacht habe. Kann auch sein, dass ich mit meinen Überlegungen total daneben liege.