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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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 Chillosaurus Verfasst am: 22. Feb 2012 11:39 Titel: Besetzungszahl Rotationszustand |
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Man betrachte einen starren Rotator.
Dann ist die Energie:
)
Jeder Energiezustand ist (2J+1) fach entartet.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Drehimpulsquantenzahl J bei einer bestimmten Temperatur T zu bestimmen (B sei ebenfalls bekannt).
Somit ist die Wahrscheinlichkeit für Jm:
 \cdot e^{- \frac{B \cdot hc \cdot J_{m} \cdot (J_{m}+1)} {kT}}}{\sum_J (2J+1) \cdot e^{- \frac{B \cdot hc \cdot J \cdot (J+1)} {kT}}})
Ist die Überlegung für die Wahrscheinlichkeit soweit korrekt?
Wie kann ich den Ausdruck weiter auflösen? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 22. Feb 2012 15:24 Titel: |
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Soweit korrekt - deine Frage lautet wahrscheinlich, wie du nun die Zustandsumme im Nenner berechnen solltest. Die Antwort lautet, dass es dafür keinen geschlossenen analytischen Ausdruck gibt, was man aber wohl machen kann, ist eine Näherung, da für Raumtemperatur gilt
oder zumindest
liefert die Euler-Maclaurin-Summenformel eine Abschätzung, deren erste Ordnung die Summe durch ein Integral und den Mittelwert der Summations- bzw. Integralgrenzen ersetzt. Wenn du an tiefen Temperaturen interessiert bist, dann kannst du hingegen die Summe durch die führenden Terme abschätzen. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 22. Feb 2012 16:08 Titel: Re: Besetzungszahl Rotationszustand |
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Für große Temperaturen wäre dann die Exponentialfunktion } {kT}}) in eine Reihe um  zu entwickeln.
also:
} {kT}}= 1 - \frac {BhcJ(J+1)}{kT}+0.5 \cdot \dots)
Dadurch wird die Summe dann zu:
 \cdot ( 1 - \frac {BhcJ(J+1)}{kT}))
Es ist nur sinnvoll über J zu summieren, die einen Beitrag liefern, der insges. >0 ist.
Mit der Euler-Maclaurin-Formel komme ich da nicht so ganz klar, wie ich die da implementieren kann und wie ich die wiederum ausrechnen könnte. Was mich auch ein wenig wundert, dass dies doch recht kompliziert erscheint. Es war aber einst Klausuraufgabe, sollte eigentlich also einfach sein. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 22. Feb 2012 16:42 Titel: |
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Deine Reihenabschätzung macht so keinen Sinn, denn damit würde deine Reihe divergieren. Besser ist
\cdot\exp{\left[-\frac{B h c}{k T}J(J+1)\right]} = \sum_{J=0}^\infty f(J)\approx \int_0^\infty f(J)\,\dd J=\frac{k T}{B h c})
Diese Abschätzung ist in einer Klausur durchaus vertretbar und ist im Prinzip der erste Term von Euler-Maclaurin:
\approx \frac{k T}{B h c} + \frac{1}{3} + \frac{1}{15} \frac{B h c}{k T} + \mathcal{O}\left(\left(\frac{B h c}{k T}\right)^2\right)) |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 22. Feb 2012 17:04 Titel: |
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Alles klar, danke. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 24. Feb 2012 12:48 Titel: |
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Jetzt muss ich doch noch'mal nachhaken. Bei genauerem Nachdenken, ist mir nicht ganz klar, wieso sich die Summation durch das Integral annähern kann. Müsste ich dann nicht mit soetwas wie der Dichte der J normieren / korrigieren?
Was du schreibst mit der Laurin'schen Abschätzung, macht in meinen Augen so nicht viel Sinn: da das Integral tendentiell größer sein müsste als die Summe (schließlich werden auch die Ausdrücke zwischen den ganzzahligen J mit aufsummiert), müssten doch die folgenden Terme ein negatives Vorzeichen aufweisen?
Eines hängt gewiss mit dem anderen zusammen... |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 24. Feb 2012 13:37 Titel: |
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Hab gerade keine Zeit ausführlich zu antworten, auch ist mir nicht wirklich klar welche Vorbehalte du genau hast?
Was meinst du mit einer Dichte der J und wie kommst du darauf, dass das Integral "tendenziell größer sein müsste als die Summe"?
Wenn du mit Dichte soetwas wie die Intervallbreite der Rechtecke meinst, mit denen du ja effektiv das Integral approximierst, dann ist diese doch "1" (da J natürliche Zahlen sind), also irrelevant.
Mehr zur Abschätzung und inwieweit diese gültig ist (Restterm usw.) findest du z.B. hier:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula
Eine Diskussion der betreffenden Zustandssumme für beide Grenzfälle, findest du z.B. in "Theoretische Physik V: Statistische Physik und Thermodynamik" von Reineker, Schulz, Schulz auf Seite 178 ff.:
http://books.google.de/books?id=nR8JUAYHhQYC&lpg=PR2&dq=Reineker%20theoretische%20physik&hl=de&pg=PA178#v=onepage&q&f=false |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 24. Feb 2012 13:55 Titel: |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: | | [...] Was meinst du mit einer Dichte der J und wie kommst du darauf, dass das Integral "tendenziell größer sein müsste als die Summe"?[...] |
Ich dachte, dass ich bei:
)
nur eine Summe über bestimmte, ganzzahlige Werte von J bilde, während das Integral:
 dJ)
über alle Werte von J summiert. Somit müsste man über alle J, die nicht ganzzahlig sind zuviel summiert haben.
Aber jetzt fällt mir auf, dass sich wegen DeltaJ=1 die Summe auch Schreiben könnte als:
 \cdot \Delta J)
damit ist die Summe effektiv eine Fläche von Elementen mit der Breite=1 und der Höhe f(J), sodass mir die Abschätzung mit dem Integral logisch und richtig erscheint.
Einwände? |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 24. Feb 2012 13:58 Titel: |
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Einverstanden. |
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