| Autor |
Nachricht |
Duinne
Gast
|
 Duinne Verfasst am: 09. Dez 2011 09:25 Titel: Magnet Feder |
 |
|
Meine Frage:
Hallo Leute,
da bin ich wieder einmal mit dollen Physikfragen. Ich hoffe, es kann jemand mal schauen:
An einer Feder (D=15,8 N/m) hängt ein Stabmagnet (m=100g), der um 5 cm nach oben aus seiner Ruhelage ausgelenkt wird und dann freigegeben wird.
a) Geben Sie die Gleichung an, durch die die anschließende Bewegung des Magneten beschrieben wird. Setzen Sie dazu die Werte in die Funktionsgleichung ein.
b) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit des Magneten?
Meine Ideen:
a) Hierzu habe ich gar keine Ahnung. Ich weiß nur, dass es wahrscheinlich eine Gleichung mit Sinus sein müsste, um damit eine Bewegung zu schreiben.
b) mein Vorschlag:
 |
|
 |
BobbyJack
Anmeldungsdatum: 04.11.2008
Beiträge: 112
|
| BobbyJack Verfasst am: 09. Dez 2011 13:55 Titel: |
|
|
Hallo,
der erste Schritt wäre meiner Meinung nach die Differentialgleichung der Bewegung aufzustellen und dann zu lösen.
Hast du sowas schonmal gemacht? |
|
|
DerDepp
Anmeldungsdatum: 17.11.2011
Beiträge: 21
|
| DerDepp Verfasst am: 09. Dez 2011 15:01 Titel: |
|
|
Hossa 
Ich verstehe bei der Aufgabe nicht, warum betont wird, dass es sich um einen Magneten handelt. Nirgendwo ist die Rede von einem Magnetfeld. Also wirkt auf den "Magneten" allein die Gravitationskraft.
Die Auslenkung aus der Ruhelage sei x. Auf den Magneten wirkt die Gravitationskraft G=m*g nach unten, also in Richtung der Auslenkung (positiv). Auf den Magneten wirkt die Rückstellkraft der Feder R=-D*x nach oben, also entgegen der Auslenkung (negativ). Die Summe aller auf den Magneten wirkenden Kräfte ist also:
Die Gesamtkraft bestimmt über das zweite Newton'sche Axiom die Bewegung des Magneten. Dies führt zu folgender Bewegungsgleichung:
Eine triviale Lösung erkennt man sofort, nämlich
=\frac{mg}{D}=\mbox{const})
Um damit den lästigen Term "mg" aus der Bewegungsgleichung zu entfernen, setzen wir die Lösung wie folgt an:
=y(t)+\frac{mg}{D})
Dies eingesetzt in die Bewegungsgleichung liefert eine Differentialgleichung für y=y(t):
=-Dy(t))
Zur Lösung multipliziert man beide Seiten mit  und integriert mit der Kettenregel über die Zeit t:
Division beider Seiten durch y und nochmalige Integration über die Zeit liefert:
Hierzu ist Folgendes zu sagen:
1) Wegen des Plus-Minus-Zeichens gibt es zwei Lösungen für y(t).
2) Den Faktor e^C können wir als eine Konstante schreiben.
3) Die Wurzel ist negativ, so dass wir komplexe Zahlen benötigen.
Mit Definition der Kreisfrequenz omega lauten die beiden Lösungen:
=Ae^{i\omega t}\quad;\quad y_2(t)=Be^{-i\omega t}\quad;\quad\omega:=\sqrt{D/m})
Die Kombination dieser beiden Lösungen ergibt die allgemeine Lösung:
=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}=(A+B)\cos(\omega t)+i(A-B)\sin(\omega t))
Diese sieht schrecklich kompliziert aus. Jedoch haben wir eine schöne Anfangsbedingung, die uns hier weiter hilft. Der Magnet wird zum Zeitpunkt t=0 einfach losgelassen, also ist seine Anfangsgeschwindigkeit gleich 0. Da sich x(t) und y(t) nur um eine konstante unterscheiden, folgt daraus:
=\dot y(0)=\left[-(A+B)\omega\sin(\omega t)+i(A-B)\omega\cos(\omega t)\right]_{t=0}=i\omega(A-B)\quad\Longrightarrow\quad A=B)
Wegen A=B reduziert sich der Ausdruck für y(t) erheblich. Da jedoch nicht y(t), sondern x(t) gesucht war, müssen wir auch die Subsitution von oben noch rückgängig machen:
=2A\cos(\omega t)+\frac{g}{\omega^2}\quad;\quad\omega=\sqrt{D/m})
Die zweite Randbedingung ist, dass der Magnet zum Zeitpunkt t=0 eine Anfangs-Auslenkung x(0)=x0 hat:
=2A+\frac{g}{\omega^2}\quad\Longrightarrow\quad 2A=x_0-\frac{g}{\omega^2})
Damit sind wir fertig:
=\left(x_0-\frac{g}{\omega^2}\right)\cos(\omega t)+\frac{g}{\omega^2}\quad;\quad\omega=\sqrt{D/m})
Der Rest ist einfach... |
|
|
GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
|
| GvC Verfasst am: 09. Dez 2011 15:52 Titel: |
|
|
@DerDepp
Ich glaube nicht, dass das richtig ist. Wir sind uns doch einig darüber, dass es sich um eine harmonische Schwingung handelt. Deren Amplitude ist gleich der Auslenkung zum Zeitpunkt t=0, also  . Diese Schwingung wird beschrieben durch die Schwingungsgleichung
=\hat{x}\cdot\cos{(\omega t)})
Und das ist eine andere als die von Dir hergeleitete.
@Duinne
Die maximale Geschwindigkeit kannst Du so, wie von Dir vorgeschlagen, aus dem Energieerhaltungssatz bestimmen oder aus obiger Schwingungsgleichung. Kommt in beiden Fällen dasselbe raus. Die Schwingungsgleichung musst Du nur einmal nach der Zeit ableiten, dann hast Du v(t) als eine Minus- Sinusfunktion. Die maximale Geschwindigkeit ist erreicht, wenn der Sinus 1 oder -1 ist, was im ersten Fall dem "Nulldurchgang" bei der Abwärtsbewegung (negative Geschwindigkeit), im zweiten Fall dem der Aufwärstbewegung (positive Geschwindigkeit) entspricht. |
|
|
|
|
Registrieren
Login
FAQ
Suchen
