Schwarze Strahler

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Hallo @all,

ich habe eine Frage bezüglich schwarzen Strahler. Ich hoffe, da bin ich im Quanthemechanikforum richtig.

Zwei schwarze Flächen mit dem Emissionskoeffizient 1 stehen einander gegenüber. Deren Temperaturen werden auf T_1=300K, T_2=330 K gehalten. Alle Randefekte sind zu vernachlässigen.

a) Wie groß ist die netto Energieflussdichte (Intensität) zwischen beiden Flächen?
b) Nun wird eine dünne Folie (F_x) zwischen die beiden Flächenstrahler eingebracht. Dünn bedeutet hier, dass es keine Temperaturgradienten in der Folie gibt und sie trotzdem nicht transparent ist. Auf der F_1 zugewandten Seite gelte:

auf der F_2 zugewandten Seite

Wie groß ist jetzt die Energieflußdichte zwischen den beiden Flächenstrahlern?

Mein Lösungsvorschlag:
a) Aus dem Stefan Boltzmangesetzt folgt:

Somit erhalte ich, beide Flächen einzeln betrachtet:

Neide Strhaler haben eine unterschiedliche Leistung P_i. Nur wie mittle ich diese beiden jetzt? Einfach addieren und durch 2 teilen? Das komt mir zu banal vor.

b) Auch hier würde ich wie in der a) die gbeiden Leistungen ausrehcnen, jeodch mit den unterschiedlichen Koeffizienten. Nur auch hierstellt sich mir die Frage der Mittleung der beiden Leistung.

Wäre klasse, wenn ihr mir behilflich sein könnt.
Vielen, lieben Dank. Ohne euch wäre ich so manches mal aufgeschmissen.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich würde nicht sagen, dass die Flächen jeweils eine Leistung "haben". Und ich würde auch nicht sagen, dass eine Mittelung dieser Leistungen einen Sinn machen würde.

Was sind die Leistungen, die du da berechnet hast? Von wem werden sie durch Abstrahlen abgegeben, in welche Richtung wird jeweils welche Leistung abgestrahlt, und wer nimmt wieviel dieser abgestrahlten Leistung auf?

Magst du mal eine Skizze mit Pfeilen drin malen, die zeigt, von wo nach wo jeweils welche Leistung abgestrahlt bzw. aufgenommen wird?

(P.S.: Ich würde mal sagen, dieses Thema mit Wärmetransport durch Wärmestrahlung passt noch besser ins Thema Wärmelehre, ich verschiebe es dahe mal dorthin rüber smile

)

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Wenn das nicht mit der Leistung berechnbar ist, wie sollte cih sonst ansetzen?

Im Anahng mal eine Skizze. Die roten Pfeile sind die abgestrahlte Intensität der Fläche 1, die grünen Pfeile von der Fläche 2.

Den Mittelpunkt des Koordinatensystems habe ich mittig zwischen die beiden Flächen platziert. Nun ist also die Intensität in der y-z Ebenen gesucht (als graue Fläche eingezeichnet). Diese Ebene ist in b) die dünne Folie. Dicke sei vernachlässigbar --> keine x-Ausdehnung.
Bei a) müsste diese Ebene die Intensitäten von beiden Flächen "voll" absorbieren, also mit

Nun emitieren beide Flächen aber unterschiedliche Intensitäten aufgrund ihrer unterschiedlichen Temperatur von 30K. Die Leistung könnte ich berechnen, aber die Intensität der Flächen weis ich leider nicht wie.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

@GoTo
Zum Grundsätzlichen zwei Anmerkungen:
1. Halte Dich an allgemeingültige Definitionen. Mit P wird normalerweise die Leistung bezeichnet. Was Du berechnet hast, sind aber Leistungsdichten (Intensitäten, in der Aufgabenstzellung als Energieflussdichten bezeichnet), also P/A.
2. Verwende die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Bezeichnungen. Dort sind [; \varepsilon_1 ;] und [; \varepsilon_2 ;] die Absorptions-/Strahlungskoeffizienten des Schirms, nicht die der beiden Platten.

Und dann:
Wieso folgst Du nicht dem Vorschlag von dermarkus und zeichnest mal die Leistungsdichten mit Richtungspfeilen in Deine Skizze, und zwar zunächst mal ohne den Schirm.

Dann erkennst Du sehr schnell, dass der Wärmeaustausch zwischen den beiden Strahlern (das was in der Aufgabenstellung mit "netto Enrgieflussdichte" bezeichnet ist) sich als Differenz der beiden Leistungsdichten ergibt. Oder allgemein:

[; \frac{P}{A} = \sigma * (T_2^4 - T_1^4) ;]

Das gilt so nur, weil die Strahlungskoeffizienten beider Platten gleich sind, und zwar 1. Ganz allgemein gilt

[; \frac{P}{A} = \frac{\sigma * (T_2^4 - T_1^4)}{\frac{1}{\varepsilon_1} + \frac{1}{\varepsilon_2} -1} ;]

Du siehst übrigens, dass die Wärmeübertragung durch Strahlung bei Vernachlässigung von Randeffekten unabhängig vom Abstand der Strahler ist. Warum Du in Deiner Skizze darauf bestehst, den Schirm genau in die Mitte zwischen den beiden Platten zu positionieren, ist deshalb nicht einzusehen.

Jedenfalls solltest Du dann für Aufgabenteil b) genau obige Formel für den Wärmeaustausch zwischen linker Platte und Schirm und für den Wärmeaustausch zwischen Schirm und rechter Platte anwenden, wobei jeweils eine der beiden Strahlungsziffern 1 und die andere die jeweils vorgegebene ist. Dem Schirm musst Du natürlich eine zunächst unbekannte Temperatur Ts zuordnen. Bei geschickter Zusammenfassung beider Gleichungen entfällt die Schirmtemperatur. Entscheidend für Dich dürfte die Information sein, dass die Leistungsdichte rechts und links vom Schirm dieselbe ist, Sie kann ja nicht einfach im Schirm verschwinden.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

So ich glaube so langsam habe ich den grundgedanken dahinter verstanden. Wenn ich die Energiestromdichten (P/A) als Pfeile einzeichne sehe ich, dass die sich gegenseitig überlagern, wobei die pfeilspitzen entgegengesetzt zeigen. Somit muss ich hier die Differenz beider bilden.
Sind Energiestromdichten eigentlich vektorielle Größen, so wie die Stromdichte aus den Maxwellgleichungen?

Im folgenden bezeichnen ich P/A = L (so stehts auch in meinem Buch).
Wenn ich jetzt GvC richtig verstanden habe und mir meine Pfeile anscheu berechne ich für den Aufgabenteil a, wo epsilon = 1 für beide Flächen gilt:

So wenn ich mir jetzt den Aufgabenteil b) anschaue, so müsste ich ja deine Formel verwenden:

Aber wie kann man diese ableiten?
Auch bekomme ich beim ausrechnen ein mathematisches Problem:
man erhält für linke Platte und Schirm:

Analog für die rechte Seite:

Da beide Energiestromdichten gleich sind, hätte ich die Gleichungen gleichgesetzt und nach der Schimrtemperatur T_S aufgelöst. Ich erhalten: 333,22 K. Um nun die Energiestromdichte zu erhalten müsste ich die temperatur doch einfach in die linke oder rechte Stromdichte einsetzen, nun erhalte ich aber negative Stormidchten und unterschiedliche, abhängig davon in welche Gleichung ich T_S einsetze.
Meine Vermutung ist ein Rechenfehler.

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Du hast da nen Vorzeichenfehler drin. Für L_links hast Du die Leistungsdichte von T1 nach Ts (also von links nach rechts) berechnet, für L_rechts die von T2 nach Ts, also von rechts nach links. Die können ja schon nicht gleich sein, da sie schon unterschiedliche Richtung haben. Richtig wäre L_links = -L_rechts (Minuszeichen beachten!).

Ich hätte allerdings mit allgemeinen Symbolen bis zum Schluss gerechnet und erst dann Zahlenwerte eingesetzt. So wie Du das gemacht hast, siehst Du die allgemein gültigen Zusammenhänge gar nicht mehr. Die kannst Du nur so erkennen (dabei setze ich meine Energieflussdichten von Vornherein in der richtigen Richtung an, also von höherer zu niedrigerer Temperatur):

[; L = \frac{\sigma\cdot\left(T_2^4 - T_s^4\right)}{\frac{1}{\epsilon_0}+\frac{1}{\epsilon_{S2}} -1} ;]
und
[; L = \frac{\sigma\left(T_s^4 - T_1^4\right)}{\frac{1}{\epsilon_{S1}}+\frac{1}{\epsilon_0} -1} ;]

Als nächstes die jeweiligen Nenner auf die linke Seite:

[; L\cdot \left(\frac{1}{\epsilon_0}+\frac{1}{\epsilon_{S2}} -1\right) = \sigma\left(T_2^4 - T_s^4\right) ;]
und
[; L\cdot \left(\frac{1}{\epsilon_{S1}}+\frac{1}{\epsilon_0} -1\right) = \sigma\left(T_s^4 - T_1^4\right) ;]

Wenn Du diese beiden Gleichungen addierst, erhältst Du

[; L\cdot \left(\frac{1}{\epsilon_0}+\frac{1}{\epsilon_{S2}} -1 + \frac{1}{\epsilon_{S1}}+\frac{1}{\epsilon_0} -1\right) = \sigma\left(T_2^4 - T_1^4\right) ;]

Ich hatte Dir in meinem letzten Beitrag bereits den Hinweis gegeben, die beiden Gleichungen "geschickt" zusammenzufassen mit dem Ziel, die Schirmtemperatur Ts zu eliminieren. Leider bist Du meiner Anregung nicht gefolgt.

Jetzt könntest Du den Klammerausdruck der linken Seite in den Nenner der rechten Seite bringen und Dir für den allgemeinsten Fall auch noch vorstellen, statt eps0 andere unterschiedliche Werte einzusetzen. Dann hättest Du eine Gleichung für den Wärmeaustausch zwischen zwei Platten mit dazwischen liegendem Schirm, die keine schwarzen Strahler sind, und siehst möglicherweise eine gewisse Systematik darin: Im Nenner steht nämlich die Summe der Kehrwerte der Strahlungskoeffizienten abzüglich der Anzahl der Übertragungsstrecken (wenn Du z.B. zwei oder drei Schirme oder noch mehr Schirme hast, was für hoch isolierende Zwecke durchaus üblich ist), während im Zähler immer die Differenz der vierten Potenz der äußeren Temperaturen steht. Im vorliegenden Fall vereinfacht sich das zu

[; L = \frac{\sigma\left(T_2^4 - T_1^4\right)}{\frac{1}{\epsilon_{S1}} + \frac{1}{\epsilon_{S2}}} ;]

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Vielen, lieben dank für deine Hilfe. Kann es sein, dass du in deinen Formeln das Sigma vergessen hast?

Mit Übertragunsstrecke meisnt du die Anzahl der Strecken zwischen den beiden strahlenden Flächen und den Schirmen?

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

GoTo · Anmeldungsdatum: 08.06.2004 Beiträge: 166

Danke.

Ich erhalte übrigens als Ergebnis: 19,18 W/m². Ist das richtig?

Wenn ich das System verstanden habe müsste es doch bei 2 Schirmen zwischen den Platten, lediglich der Nenner um einen Term ergänzt werden: