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physiker08
Anmeldungsdatum: 08.06.2008
Beiträge: 83
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 physiker08 Verfasst am: 02. Nov 2009 00:40 Titel: Lagrange-Fkt. ein. gel. Teilchens im elektromagn. Feld |
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Hi!
Ich habe die Lagrangefkt. für dieses Problem gegeben mit:
 + q \vec{\dot x} \vec{A}(\vec{x},t))
a) Ich soll nun die generalisierten Impulse für die drei kartesischen Koordinaten  und  bestimmen.
Die generalisierten Impulse lassen sich meiner Meinung nach über  ausrechnen.
Nur komme ich momentan nicht mit der Notation von L klar. Kann mir jemand ein Beispiel für eine Koordinate vorrechnen, dass ich weiß wie ich vorgehen muss.
b) Nun soll ich annehmen das das Skalarpotential  ist und zeigen, dass dann die generalisierten Impulse erhalten sind.
Ich stelle mir das so vor, dass L ja nicht von und abhängen darf.
Da aber ist, wäre das ja der Fall, wenn nicht noch das Vektorpotential wäre, was ja auch von x abhängt :-(.
Inwieweit hängen Vektorpotential und Skalarpotential zusammen? Ich schätze mal, dass wenn , das  nicht mehr von x abhängt, sonst wäre der generalisierte Impuls ja nicht erhalten?
Weiterhin muss ja gelten das  ist.
Ist das so richtig gedacht? Was muss ich sonst vielleicht noch beachten?
c) Man soll nun ein  - Feld betrachten mit ) mit .
Daraus soll ich das Vektorpotential A ermitteln und die Geschwindigkeit  für die Anfangsbedingung  = 0)
Hm, hier weiß ich nicht so recht, was ich machen muss :-(
Ich würde mich über eure Hilfe echt freuen!
LG
Matze
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 02. Nov 2009 07:43 Titel: Re: Lagrange-Fkt. ein. gel. Teilchens im elektromagn. Feld |
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a)
Ich weiss nicht ob das deinen formalen Ansprüchen genügt, aber die Lagrange-Funktion ist abhängig von den Lagekoordinaten und den Geschwindigkeiten
)
Daher ist
}{\partial \dot x_i} = \ldots)
b)
Die Lagrage-Gleichungen lauten (kennst du diese noch nicht ?)
Damit ist gezeigt, dass die generalisierten Impule erhalten bleiben, wenn L nicht von x abhängt.
| Zitat: | | Inwieweit hängen Vektorpotential und Skalarpotential zusammen? Ich schätze mal, dass wenn , das nicht mehr von x abhängt, |
EDIT: ich sehe gerade, dass ich dafür auch keine Erklärung habe. Jetzt verstehe ich dich erst...Ich komme zum gleichen Schluss wie du. Dieser ist allerdings Unsinn, da es ansonsten keine Magnetoststik geben könnte. Hier ist auch das Potenzial=0 und das A i.A. ortsabhängig. Irgendwas stimmt hier nicht...bin mal gespannt was hier rauskommt!
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 02. Nov 2009 13:10 Titel: Re: Lagrange-Fkt. ein. gel. Teilchens im elektromagn. Feld |
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| schnudl hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Inwieweit hängen Vektorpotential und Skalarpotential zusammen? Ich schätze mal, dass wenn , das nicht mehr von x abhängt, |
EDIT: ich sehe gerade, dass ich dafür auch keine Erklärung habe. Jetzt verstehe ich dich erst...Ich komme zum gleichen Schluss wie du. Dieser ist allerdings Unsinn, da es ansonsten keine Magnetoststik geben könnte. Hier ist auch das Potenzial=0 und das A i.A. ortsabhängig. Irgendwas stimmt hier nicht...bin mal gespannt was hier rauskommt!
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Spontan hätte ich gesagt, sich einmal den Zerlegungssatz für Vektorfelder anzuschauen, der ja besagt dass sich jedes Kraftfeld in einen wirbelfreien (allerdings quellenbehafteten) und einen Wirbelanteil (ohne Quellen) zerlegen lässt, also:
Es gibt ein Skalarfeld  und ein Vektorpotential sodass sich jedes Kraftfeld  schreiben lässt als:
+\mathrm{rot}(\vec{A}))
Dafür gibt's dann Integrale für die Berechnung.
Wenn du also schon etwas über weißt, dann könnte sich über den Stokesschen Satz ergeben (?)
Oder habe ich das Problem missverstanden .
Gruß
MI
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 02. Nov 2009 14:29 Titel: Re: Lagrange-Fkt. ein. gel. Teilchens im elektromagn. Feld |
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Das Problem ist:
L ist gegeben durch ( , laut Voraussetzung)
und daher
 = q \partial_i (\dot x_k A_k) = q \dot x_k \partial_i A_k)
Wenn das Null sein soll, so müsste auch
sein, was aber höchst merkwürdig ist.
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 02. Nov 2009 18:47 Titel: |
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Ah okay, ich sehe das Problem.
Leider bin ich noch nicht so tief in der E-Dynamik (kommt jetzt erst  ), dass ich mich sonderlich mit Vektorpotentialen auskenne - aber könnte es sein, dass ein Problem mit der Definition vorliegt?
Also: Sind die generalisierten Impulse gleich den klassischen Impulsen? Wenn ja, dann hätten wir ein Problem, aber im Nolting bspw. kommt noch ein Feldanteil zum Impuls hinzu (wie genau, kann ich nicht sagen) - das wird dann wohl bei den generalisierten Impulsen ähnlich sein. Könnte da ein Problem liegen?
EDIT: Nein, da kann eigentlich kein Problem vorliegen. Das ist ja alles mitberücksichtigt...
Gruß
MI
Zuletzt bearbeitet von MI am 02. Nov 2009 21:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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physiker08
Anmeldungsdatum: 08.06.2008
Beiträge: 83
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| physiker08 Verfasst am: 02. Nov 2009 18:51 Titel: |
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Hi! Danke für eure Hilfe!
Die generalisierten Impulse konnte ich somit schonmal ausrechnen:
)
Um nun bei b) die Erhaltung der generalisierten Impulse zu zeigen, müsste man ja annehmen das  , denn nur dann gilt ja  (Was man ja anhand der 2. Lagrange Gleichung sieht).
Aber genau diese eine Voraussetzung
ist nicht erfüllt ( ist nicht zyklisch!).
Daher gibt es auch keine erhaltenen generalisierten Impulse, meiner Meinung nach. Aber warum gibt es laut Aufgabenstellung scheinbar doch erhaltene Impulse? Habe ich da was übersehen??
Bei der letzten Aufgabe sollte man ja das Vektorpotential A bestimmen bei .
Wenn ich den Ansatz  + rot(\vec{A})) umforme, erhalte ich:
)
Der Gradient fiel ja wegen Skalarpotential = 0 raus.
Hm inwiefern könnte man nun Stokes anwenden, geht das überhaupt? Und was muss ich eventuell beachten?
Danke schonmal
LG
Matze
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 02. Nov 2009 22:27 Titel: |
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| physiker08 hat Folgendes geschrieben: |
Aber genau diese eine Voraussetzung
ist nicht erfüllt ( ist nicht zyklisch!).
Daher gibt es auch keine erhaltenen generalisierten Impulse, meiner Meinung nach. Aber warum gibt es laut Aufgabenstellung scheinbar doch erhaltene Impulse? Habe ich da was übersehen?? |
=> glaube nicht. Mir kommt die Aufgabe etwas seltsam vor. Solange mir niemand das Gegenteil beweist, ist für mich die zu zeigende Vorgabe einfach falsch. Oder es liegt ein Verschreiber vor...
_________________
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bishop
Moderator
Anmeldungsdatum: 19.07.2004
Beiträge: 1133
Wohnort: Heidelberg
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| bishop Verfasst am: 02. Nov 2009 23:20 Titel: |
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ärm schnudl, wenn ich auf dein posting weiter oben kommen darf:
es gilt ja sicherlich =0) wäre es nicht denkbar, dass gar nicht die einzelnen Komponenten, sondern die gesamte Summe verschwindet?
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Ein Physiker ist jemand, der über die ersten drei Terme einer divergenten Reihe mittelt
Zuletzt bearbeitet von bishop am 02. Nov 2009 23:48, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 02. Nov 2009 23:21 Titel: |
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Die Lagrangefunktion hängt über das Potentialvon den Orten ab.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 03. Nov 2009 20:54 Titel: |
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Das Magnetfeld eines in y fliessenden Flächenstroms (blau) in der y-z-Ebene ist homogen in z-Richtung lässt sich durch ein Vekorpotenzial in y-Richtung beschreiben, welches proportional zu x ist.
Ein in y-Richtung einfliegendes Teilchens beschreibt daher einen Kreis in der xy-Ebene.
Aus der Skizze ist ersichtlich, dass die Summe aus kinetischem Impuls mv (schwarz) und qA (blau) einen generalisierten Impuls p (rot) ergbt, der nicht konstant ist und sowohl Betrag und Richtung ändert.
Damit ist gezeigt, dass die Vorgabe der Aufgabe b) nicht stimmen kann, solange A vom Ort abhängt.
| Beschreibung: |
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