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Nikolas
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 Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 17:27 Titel: Mein persönlicher Thread ;) |
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I: Wachstum
Allgemein:
Wenn sich ein Bestand während der Zeit t ändert, spricht man von Wachstum
Dabei definiert man:
- ) als den Bestand zum Zeitpunkt t
-  als die Änderungszeit
- ) als den Bestand nach der Änderungszeit
--B(t)) als die Bestandsänderung
--B(t)}{\Delta t}) als die Bestandsänderung
--B(t)}{ \Delta t} )  )
als die momentane Änderungsrate pro Zeit/Steigung
Nun kann man den Begriff 'Wachstum' nochmals
in verschiedene Kategorien unterteilen.
Die drei (vier) wichtigsten sind wohl:
1) Lineares Wachstum:
=k)
2) Exponentielles Wachstum:
=k*B(t))
3) Beschränktes Wachstum:
= k * (S-B(t)))
[4) Logarithmisches Wachstum: ]
= k*B(t)*(S-B(t)))
Dabei gilt:
k: Wachstumskonstante
S: obere/untere Schranke oder Sättigungsgrenze für den Bestand
S-B(t): Sättigungsmanko
1) Lineares Wachstum:
=k \Rightarrow ) konstantes Wachstum, konstante Steigung
Durch Integrieren:
=k*t+c \Rightarrow) lineare Funktion, y= ax+c
Dabei ist B(0)=c  Bestand zum Zeitpunkt 0, Anfangsbestand
=B(0)+k*t)
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Nikolas, the mod formerly known as Toxman.
Erwarte das Beste und sei auf das Schlimmste vorbereitet.
Zuletzt bearbeitet von Nikolas am 24. Jan 2005 21:40, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 17:59 Titel: |
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2) Exponentielles Wachstum:
}{B(t)}= k = (ln|B(t)|)' \ \ \ \ \ |Integrieren )
| = k*t+a)
=e^{k*t+a})
=e^{k*t}+e^{a} \ \ \ ; \ \ \ e^{a}=c)
=e^{k*t}+c)
=c*e^{k*0}=c)
= B(0)+e^{k*t})
Satz:
Steht im Zähler die Ableitung des Nenners, so kann man Integrieren:
}{f(t)} \ dt = ln \ |f(t)|)
3) Beschränktes Wachstum:
=k*(S-B(t))) (Ein Beispiel für nach oben beschränktes Wachstum)
}{S-B(t)} = k = [-ln( |S-B(t)| ) ]' )
}{S-B(t)} = k = [-ln( |S-B(t)| ) ]' = -k)
|) = -k*t+a)
= e^{-kt+a}=e^{-kt}+e^{a}\ \ \; \ \ \ e^{a}=c)
=e^{-kt}+c )
Fallunterscheidung:
a) Beschränktes Wachstum: b) beschränkter Zerfall
Beweis zum Satz:
Vor: =e^{ln(x)}=x \ \ Bsp: (\sqrt{x})² = \sqrt(x²) = |x|)
Beh: )'=\frac{1}{x})
)]'= \frac{1}{f(x)}*f'(x)= \frac{f'(x)}{f(x}) (Kettenregel)
Beweis:
'=e^{x})
}=x \ \ \ | (\ \ )')
}*(ln(x))'=1 \ \ (Kettenregel) )
]'=\frac{1}{x})
q.e.d
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Zuletzt bearbeitet von Nikolas am 24. Jan 2005 21:28, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 18:47 Titel: |
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Druck sieht ganz gut aus. Viel Spaß Raphi
II Funktionsanpassung:
1) Linear:
Wenn man die folgenden Messwerte (vom Erhitzen von Wasser)
in ein Koordinartensystem einträgt, erkennt man,
das man von einem linearen Zusammenhang ausgehen kann.
Wenn man nun eine Funktion sucht, die möglichst alle Punkte beinhaltet
oder möglichst dicht an ihnen liegt, dann könnte man nach Augenmaß
eine 'ungefähre' Gerade, die sogenannte 'Regressionsgerade' durch
die Punkte zeichnenund anschließend den y-Achsenabschnitt b
und die Steigung a ermitteln.
Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Wenn man eine eindeutige Regressionsgerade erhalten will,
muss man eine Minimalitätsbedingung aufstellen.
Dies bedeutet, dass man für die lineare Funktion f(x)=a*x+b die
Parameter a und b so wählt, dass die Summe
der quadratischen Abweichungen d(a,b) minimal wird.
= (y_{1}-f(x_{1})²+(y_{2}-f(x_{2})²+...+(y_{n}-f(x_{n})²)
=(y_{1}-a*x_{1}-b)²+(y_{2}-a*x_{2}-b)²+...+(y_{n}-a*x_{n}-b)²)
Zu Beachten:
d entspricht der Summe der quadratischen Abweichungen und nicht der
Summe der absoluten Fehler!
Das Quadrieren bietet zwei Vorteile:
a) Dank des Quadrieren werden die Fehlerterme automatisch positiv, was
rechentechnisch einfacher ist,
als mit vielen Beträgen zu arbeiten:
= \mid ... \mid + \mid ... \mid ...)
denn man kann sich so die benötigten Fallunterscheidungen ersparen.
b) Durch das Quadrieren der Terme werden größere Abweichungen mehr
berücksichtigt als kleine.
[Doch ob dies ein Vorteil ist!? Denn größere Abweichungen sind eher
Messfehler als als kleinere!]
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Zuletzt bearbeitet von Nikolas am 24. Jan 2005 19:37, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 19:08 Titel: |
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2) Exponentiell:
Wenn man die folgenden Messwerte in ein Koordinatensystem einträgt,
kann man erkennen, dass es sich wahrscheinlich
um einen Exponentiellen Zusammenhang handelt. Die Messwerte liegen
näherungsweise auf dem Graphen einer Funktion der Art =e^{a*x+b})
Um die Variablen a und b so z bestimmen,
dass die Funktion
möglichst exakt auf den Wesswerten liegt, muss man
die Funktion auf eine lineare Funktion zurückführen,
um dort das Prinzip der kleinsten Fehlerquadrats
anwenden zu können.
=a*x+b)
In ein (x/ln(y))-Koordinatensystem eingetragen ist dies
die Gleichung einer Regressionsgerade mit der Steigung a
und dem y-Achsenabschnitt b.
Nachdem man das Prinzip des kleinsten Fehlerquadrats
angewendet hat um a und b zu bestimmen, kann man
diese Werte anschleißend in
einsetzen.
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Zuletzt bearbeitet von Nikolas am 24. Jan 2005 19:28, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 19:13 Titel: |
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Problem: Ohne entsprechende Hilfsmittel lassen sich die optimalen Werte für a und b
nicht berechnen, da zu víele Unbekannte (a,a²,b,b²,d) vorliegen.
Lösung: Punkte in den GTR einsetzen, ein Punktediagramm erstellen
und anschließend die Regressionsgerade in das Punktediagramm zeichnen
lassen.
1) Stat 1: Edit -> L1: x-Werte; L2: y-Werte; L3: ln(y)-Werte
2) 2nd y= 1: Enter -> Plot1 on!; Type 1!
3) Stat-> Calc: passende Reg (Lin-/Exp-) wählen
Enter Graph
4) Lin-, Expreg L1,L2,y1 speichert die Werte direkt in y1
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mr. black
Moderator
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| mr. black Verfasst am: 24. Jan 2005 19:53 Titel: |
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Ich hab nur eine Frage bezüglich Fachjargon der Mathematiker:
was heist q.e.d ? q.e.d nicht gleich QED oder  |
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 19:56 Titel: |
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Das weiss ich auch nicht  Ich bin nur die Tippse gewesen. Der Text stammt nicht von mir.
[Gibt's da einen Unterschied  ]
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 24. Jan 2005 20:00 Titel: |
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Also ich (als ehemaliger "Lateiner") benutze q.e.d. immer als "quod erat demonstrandum" (was zu beweisen war) - sieht netter aus und hat einen Buchstaben weniger als w.z.b.w. Ob's da noch Zweitbedeutungen gibt ... keine Ahnung  .
Wozu hast du das eigentlich abgetippt tox?
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Formeln mit LaTeX |
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mr. black
Moderator
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| mr. black Verfasst am: 24. Jan 2005 20:03 Titel: |
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Mein Prof verwendet immer
W.Z.Z.W.......Was zu zeigen war.
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Nikolas
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 20:05 Titel: |
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Ich hab das für jemanden aus meiner Stufe abgetippt, der morgen noch eine Eigenstämdige Lernleistung halten muss und bei dem diese Note über sein oder nicht sein entscheidet. Da sieht es mit Latex einfach leserlicher aus.
Mir gefällt das QED [QuantenElektroDynamik...] besser als w.z.b.w. oder W.z.z.w. Die sehen so künstlich aus. Fast so schlimm wie h.d.g.g.g.g.g.d.l
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 24. Jan 2005 20:12 Titel: |
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| mr. black hat Folgendes geschrieben: | | Mein Prof verwendet immer W.Z.Z.W.......Was zu zeigen war. |
Ja gut, und "unser" Prof. (ein Prof. zum Tag der offenen Tür an der Uni) hat immer 'nen Vileda für die Tafeln genommen .
| Toxman hat Folgendes geschrieben: | | Mir gefällt das QED [QuantenElektroDynamik...] besser als w.z.b.w. oder W.z.z.w. Die sehen so künstlich aus. Fast so schlimm wie h.d.g.g.g.g.g.d.l |
Nicht zu vergessen h.e.a.g.g.[...].d.m.[...].l (hab euch alle ganz [...] doll mega [... sonstige superlativ-attribute ...] lieb) ... nunja, am besten einfach drüber hinwegsehen.
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Formeln mit LaTeX |
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Nikolas
Ehrenmitglied
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| Nikolas Verfasst am: 24. Jan 2005 20:15 Titel: |
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Ich hab grad noch ein Quick&Dirty Programm geschrieben mit dem man den grauen Hintergrund aus dem Forum durch einen weissen ersetzen kann. Wenn jemand so was brauchen kann, kann er sich mal bei mir melden. Könnte vielleicht mal für Referate nützlich sein.
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 24. Jan 2005 20:27 Titel: |
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Ich bevorzuge ein schickes kleines Quadrat: 
Drei Buchstaben zu schreiben ist doch viel zu viel schreibarbeit. 
q.e.d. oder QED müsste egal sein.
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Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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| para Verfasst am: 24. Jan 2005 20:32 Titel: |
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| navajo hat Folgendes geschrieben: | | Code: | Ich bevorzuge ein schickes kleines Quadrat: [latex]\qed[/latex]
Drei Buchstaben zu schreiben ist doch viel zu viel schreibarbeit. ;) |
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... ohne qed geht's dann halt doch nicht .
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Formeln mit LaTeX |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 24. Jan 2005 20:36 Titel: |
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Naja mit Latex isses auch nicht wirklich kürzer.
Aber auf dem Papier kann ich das auch ohne QED malen. 
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Gast
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| Gast Verfasst am: 16. März 2005 21:13 Titel: |
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[4) Logarithmisches Wachstum: ]
habt ihr dazu noch nen paar mehr infos?????
ich such mir die finger wund danach.... das is hier alles soooo schön erklärt.... aber warum nich das log wachstum?
wenn das wer noch vor freitag dem 18.03.05 liest, und weiß wo ich da was zu finde bitte unbedinngt melden unter ICQ 193401507
danke |
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