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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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 franz Verfasst am: 04. Apr 2009 23:23 Titel: Wachsender Tropfen |
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Hallo!
Gibt es für einen fallenden und durch Kondensation wachsenden Regentopfen (unter Berücksichtigung der Luftreibung) einen stationären Bewegungszustand?
Wieweit ist diese Fragestellung überhaupt sinnvoll? (Vielleicht zerplatzt der Tropfen ab einer bestimmten Größe?)
Für Hinweis dankend!
Franz
Kugelförmiger Tropfen, m = 4/3 * pi rho r^3
Massezuwachs proportional Oberfläche dm = alpha A dt, dr/dt = alpha/rho
Der reibungsfreie Ansatz (Impulssatz) d(mv)/dt = mg führt zu einer Gleichung für v(r): dv/dt + 3 alpha v / rho*r = g bzw.
v(r) = rho*g*r / 4alpha + (r0/r)^3 * (v0 - rho g r0 / 4alpha).
Hier setzt meine Frage ein: Wie sieht es bei Luftreibung aus?
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bottom
Anmeldungsdatum: 04.02.2009
Beiträge: 333
Wohnort: Kiel
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| bottom Verfasst am: 05. Apr 2009 14:35 Titel: Re: Wachsender Tropfen |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Wie sieht es bei Luftreibung aus? |
könnte man eventuell über die stokessche reibung berechnen. allerdings dürfen die tropfend dafür (glaub ich) nicht zu groß werden und sie müssen als näherungsweise rund betrachtet werden.
eine bessere näherung kenn nich nicht.
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wishmoep
Anmeldungsdatum: 07.09.2008
Beiträge: 1342
Wohnort: Düren, NRW
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| wishmoep Verfasst am: 05. Apr 2009 15:46 Titel: Re: Wachsender Tropfen |
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| bottom hat Folgendes geschrieben: | | allerdings dürfen die tropfend dafür (glaub ich) nicht zu groß werden ... |
... und nicht zu klein sein.
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 05. Apr 2009 17:51 Titel: Re: Wachsender Tropfen |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | (Vielleicht zerplatzt der Tropfen ab einer bestimmten Größe?) |
Meinst du? Es geht um einen Regentropfen, oder? Der zerplatz wohl nur beim Aufschlag... ist ja keine Luftblase.
Für die Formeln versuch mal eine Darstellung hier mit. Das ist übersichtlicher.
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Ich habe ins Blaue geschossen und ins Schwarze getroffen - Friedrich Dürrenmatt |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 05. Apr 2009 19:20 Titel: Regentropfen + LATEX |
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Hallo Gargy,
Regetropfen platzen (gottseidank, möchte man sagen), werden maximal etwa 9 mm groß. Vermutlich "siegt" dabei der Luftwiderstand gegen die Oberflächenspannung. Und vermutlich funktioniert die o.a. Rechnerei auch nur begrenzt.
Was das beliebte LATEX angeht: Probiere noch einen entsprechenden Editors. Leider bin ich schon etwas älter, schreibe seit vielen Jahren mit einem komfortablen Formeleditor und möchte ungern zu einer Kommandozeilen Formatierung zurück. Dann lieber JPG.
Wer mir einen Riesengefallen tun will: Gibt es eine Konvertierung MathType oder PDF Richtung LATEX?
mfG
Franz
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Gargy
Anmeldungsdatum: 24.11.2006
Beiträge: 1046
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| Gargy Verfasst am: 05. Apr 2009 20:16 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Regetropfen platzen (gottseidank, möchte man sagen) |
Aso, die Oberflächenspannung... ja, stimmt. Total falsch gedacht von mir. Aber würde man es nicht eher als Zerlaufen bezeichnen? Platzen klingt so nach zu großem Druck von innen...
Für die Formeln kannst du auch mal den Formeleditor unserer Mathenachbarn ausprobieren.
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Ich habe ins Blaue geschossen und ins Schwarze getroffen - Friedrich Dürrenmatt |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 05. Apr 2009 20:49 Titel: |
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Danke für den Hinweis; vielleicht ein Kompromiß.
F.
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d;-)
Anmeldungsdatum: 01.04.2009
Beiträge: 66
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| d;-) Verfasst am: 05. Apr 2009 21:39 Titel: |
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dein ansatz für den reibungsfreien fall stimmt glaube ich nicht, da:
}{dt} = \frac{dm}{dt} \cdot v + m \cdot \frac{dv}{dt} = \frac{dm}{dt} \cdot \frac{dx}{dt} + m \cdot \frac{d^{2}x}{dt^{2}} )
mit der erdbeschleunigung folgt die DGL:
außerdem ist laut dir:
 = \frac{4}{3} \pi \rho r^{3})
 = r_0 + \frac {\alpha}{\rho} t)
 = \frac{4}{3} \pi \rho (r_0 + \frac {\alpha}{\rho} t)^{3})
^{2})
mit  folgt:
... Lösungsvorschläge ???
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edit:
oops .. war ein rechenfehler drin :-/
Zuletzt bearbeitet von d;-) am 05. Apr 2009 23:21, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 05. Apr 2009 21:40 Titel: |
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Hmm, da stimmt einiges in deinem Anfangspost nicht so recht:
Deine DGLlautet ja:
 = 0 )
Dafür exitiert keine statrionäre Lösung, ein fallendes objekt auf das keine Reibung wirkt wird immer schneller.
(edit: Ab hier habe ich in eine falsche Richtung gedacht, lass es aber trotzdem mal stehen.)
Weiterhin wurde der Impulssatz falsch angewendet. Der Impulssatz sagt,
das für ein System die Summe der Änderung des Impulses Systems die äußere Kraft ist.
 .
Dabei darf sich aber das System nicht ändern, sprich es duerfen keine neuen Teilchen dazukommen. Ansonsten musst du von Anfang an die Teilchen, die hier dazukommen in den Impulsatz mit einbeziehen. Was richtigerweise rauskommt wäre
 \frac{d v}{dt} = mg )
(edit: das stimmt für diesen Fall nicht, siehe edit unten)
Das ist ein übrigens ein recht verbreiteter Fehler, man findet zum Beispiel immer wieder aufgaben in der Form, ein Tankwagen verliert pro Sekunde 10l Wasser und wird mit der Kraft F beschleunigt.
Ich erläutere das jetzt mal an dem Tankwagenbeispiel, aber man kann es
aber genauso für die Tropfen machen, dort müsste man auslaufen durch dazukommen erstzen und ein paar Vorzeichen umdrehen.
Als Lösungsansatz wird oft
(edit: Man kann es doch nicht ohne weiteres übertragen, siehe edit unten)
}{dt}=F )
genommen.
Man kann sich recht einfach klarmachen das da was nicht stimmen kann:
 + m(t) \frac{dv}{dt} = F )
Nehmen wir jetzt mal an es wirkt gar keine Kraft F, und es gilt
=m_0-\alpha t ) .
dann haben wir:
 + (m_0-\alpha t) \frac{dv}{dt} =0 ) ,
bzw.
} { (m_0-\alpha t)} )
Sagen wir der Tanker ist im Ruhezustand, dann wäre v(0)=0 und
 ,
soweit ist alles in Ordnung. Betrachten wir den Tankwagen jedoch aus einem bewegten Bezugssystem
 \neq 0 ) . Der Impulssatz gilt aber in jedem nicht beschleunigtem Bezugssystem, deshalb sieht die Bewegungsgleichung dort genau so aus, deshalb gilt:
 .
und die Geschwindigkeit ändert sich. Ob sich die Geschwindigkeit ändert kann nun aber nicht vom Bezugssystem abhängen. Es muss also was falsch sein.
Machen wir es mal richtig. Der Impulssatz gilt natürlichä
aber, das ausgelaufene Wasser war vorher Teil des Systems und ist auch nach dem auslaufen noch ein Teil des Systems. Den Impuls kann
man nun aus dem Gesamtimpuls des bisher ausgelaufenen Wasser und
dem Impuls des Tankwagens zusammensetzen:
Damit bekommt man:
weiterhin gilt:
 v(t) )
und damit
 + m(t) \frac{dv}{dt} = F )
Nun kann man sich recht einfach überlegen wie die Änderung des Gesamtimpulses des bereits ausgelaufenen Wassers ist.
Es kommt in der Zeit dt gerade die Menge -dm/dt*dt an Wasser dazu, dieses hate gerade die Geschwindigkeit v(t) hat. Damit ist
 ) .
Das Minus kommt daher das dm/dt fuer den Tanker negativ ist, beim
ausgelaufenen Wasser jedoch positiv. Dann hebt sich der dm/dt Term gerade weg und wir landen bei
 \frac{dv}{dt}=F ) ,
und damit bei der Gleichung bei der man mit
naiver Anwendung von Kraft = Masse * Beschleunigung
auch gelandet wäre.
(edit auvh das ist damit falsch)
Um auf deine Ursprüngleiche frage zurückzukommen. Eine stationäre
Lösungbei wachsender Masse kann es nicht geben. Da die Luftreibung mit
dem Radius linear wächst, während die Masse wie  wächst. Da kann es kein Gleichgewicht geben.
edit:
Bei näherem nachdenken bin ich mir nicht mehr so sicher ob man das ganze auf den Tropfen übertragen kann. Wenn man annimt das die Feuchtigkeit in der Luft nicht fällt. Hat diese den Impuls Null und damit
wäre auch die Änderung des Imulses der der Tropfen in der Luft Null und
der dm/dt Term fällt nicht Weg, auch die Bezugsystemabhängigkeit würde passen.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 05. Apr 2009 22:50 Titel: |
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Hallo d;-)
Mit Blickrichtung auf v(r) bleibe ich vorläufig bei der ursprünglichen Darstellung dv/dt + (3 alpha / rho*r) v = g.
Mit r0 = 0 kommt m.E. der Prozeß dm/dt = 4 pi alpha r^2 nicht ins Rollen. [Formal wird mit r0 = 0, v0 = 0 jedoch v = (g/4) t; KA]
Hallo sax,
die DGL lautete etwas anders: dv/dt + (3 alpha / rho*r ) v = g.
Über den Tankwagen werde ich nachdenken.
Die Luftreibung würde ich naiv als ~ v^2 ansetzen. Inwieweit das ~ r ist. wie Du schreibst, überblicke ich im Moment nicht.
Zur Verdeutlichung: Ob der gewählte Ansatz für bestimmte Phasen eines Regentropfen "lebens" Sinn macht, weiß ich nicht und wenn es einen Sinn gibt - vielleicht sogar hinsichtlich der Luftreibung -, so verstehe ich ihn bisher nicht.
Bedanke mich freundlich
Franz
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 05. Apr 2009 23:46 Titel: Schreibübung |
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Hallo!
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| Angeschaut: |
4294 mal |
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d;-)
Anmeldungsdatum: 01.04.2009
Beiträge: 66
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| d;-) Verfasst am: 06. Apr 2009 00:39 Titel: |
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für wird bei mir oben  ... wie gefordert
hatte nur später nen kleinen rechenfehler drin ... habs korrigiert und wie du siehst kommen wir auf die gleiche DGL ... die lösung hast du richtig angegeben
wie du siehst geht für 
d.h.  = \infty)
auch für den fall ohne gravitation (g=0) erhällt man eine sinnvolle lösung .. dann wird die endgeschwindigkeit nämlich 0, wie es der impulserhaltungssatz fordert ...
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d;-)
Anmeldungsdatum: 01.04.2009
Beiträge: 66
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| d;-) Verfasst am: 06. Apr 2009 00:44 Titel: |
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achja ... diese betrachtung macht natürlich nur für punktmassen sinn ... also so etwas wie ein zerreißen des tropfens wirst du in diesem modell nicht nachweisen können
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 06. Apr 2009 11:17 Titel: |
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| Zitat: |
Über den Tankwagen werde ich nachdenken.
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Ist hier auch fehl am Platz, trotzdem ist es eine interresante Sache wie ich finde und da ich es nun schon mal geschrieben hatte wollte ich es auch nicht wieder löschen, habe schon öfter Diskussionen darüber gehabt, und dachte auf den ersten Blick es sei das selbe...wieder was gelernt.
Zu der Dgl., was mich dabei stört ist
das in
Der Parameter r explizit von der Zeit abhängt, deshalb ist die Loesung
eigentlich auch nicht statinär. Du hast doch dann über
v(r) ausgerechnet oder? Ich dachte du meintest mit stationär eine Lösung bei der
gilt, und die existiert hier nicht.
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