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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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 golbi Verfasst am: 04. Dez 2008 19:07 Titel: Faltung |
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hi,
ich soll die Faltung einer Rechteckfunktion f(x) mit der Summe zweier Dirac-Delatafunktionen =\delta(x+b)+\delta(x-b)) berechnen.
Als Hinweis war noch gegeben, dass gilt:
f(x)~dx = f(b) )
Die Faltung ist definiert als g(x-y)~dy = f(b) )
Ich hab dann g eingesetzt und häng jetzt an folgenger Stelle:
\delta(x-y+b)~dy + \int_{-\infty}^{\infty}~f(y)\delta(x-y-b)~dy ) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 04. Dez 2008 19:20 Titel: |
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Tipp: Kannst du die beiden Integrale am Ende ganz einfach auswerten, wenn du die Eigenschaften der Deltafunktion verwendest, die du bereits kennst?
Kennst du bereits eine Eigenschaft der Deltafunktion, die in Formelform sagt, dass die Deltafunktion in so einem Integral gerade den Funktionswert der anderen Funktion an einer bestimmten Stelle "herauspickt"? |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 04. Dez 2008 19:37 Titel: |
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das einzigste was angegeben war, war der hinweis. meinst du vielleicht das?
in der vorlesung haben wir uns mit dem thema noch garnicht beschäftigt. mit dem hinweis komm ich aber nicht weiter, weil in der deltafunktion im argument von g -y steht.
Zuletzt bearbeitet von golbi am 04. Dez 2008 23:56, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 04. Dez 2008 20:24 Titel: |
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Was weißt du bisher schon über die Deltafunktion?
Würde es dir zum Beispiel helfen, wenn du verwenden könntest, dass eine Deltafunktion spiegelsymmetrisch bezüglich der Nullstelle ihres Arguments wäre? |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 05. Dez 2008 00:12 Titel: |
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Beim ersten Summanden ist die Nullstelle ja bei y=x+b. Dann gilt:
\delta(x-y+b)~dy = \int_{-\infty}^{\infty}~f(y)\delta(x+y+b)~dy)
Dann benutz ich denn Hinweis von oben und komm auf f(x+b). Beim zweiten Summanden geh ich analog vor.
Stimmt das soweit? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Dez 2008 00:27 Titel: |
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Das wäre eine Spiegelsymmetrie bezüglich y=0, nicht bezüglich der Nullstelle des gesamten Arguments der Delta-Funktion (also der gesamten Klammer hinter dem Delta).
Hast du schon mal gesehen, wie der Graph einer Deltafunktion so aussieht? |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 05. Dez 2008 11:19 Titel: |
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ich hab mir den wikipediaartikel ma angeschaut und da auch den graph gefunden.
gilt dann:
\delta(x-y+b)~dy =\int_{-\infty}^{\infty}~f(y)\delta(y-x-b)~dy=f(x+b)) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Dez 2008 13:19 Titel: |
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Einverstanden  |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 05. Dez 2008 15:29 Titel: |
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ok, danke für die hilfe schonmal.
ich hab mir zwischenzeitlich noch was anderes überlegt und find den fehler dabei irgendwie nicht:
die rechteckfunktion ist ja symmetrisch zur x-achse. es gilt also f(-y)=f(y)
das hab ich jetzt in die formal eingesetzt und komm auf
\delta(x-y+b)~dy=\int_{-\infty}^{\infty}~f(-y)\delta(x-y+b)~dy= - \int_{-\infty}^{\infty}~f(-y)\delta(x-y+b)~d(-y)=-f(-x-b)=-f(x+b)) |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Dez 2008 16:55 Titel: |
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| golbi hat Folgendes geschrieben: |
\delta(x-y+b)~dy= - \int_{-\infty}^{\infty}~f(-y)\delta(x-y+b)~d(-y)) |
Wie kommst du auf diesen "Umformschritt"? Um so etwas in der Art zu machen, müsstest du schon eine komplette Substitution machen mit allem, was dazugehört. |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 05. Dez 2008 17:01 Titel: |
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Eigentlich hab ich nur verwendet, dass gilt f(y)=f(-y) (aufgrund der Symmetrie der Rechteckfunktion) und dass dy=-d(-y) ist. Das Argument der Deltafunktion hab ich ja nicht verändert.
Was meinst du genau mit Substituion? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Dez 2008 17:03 Titel: |
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Hast du schon mal gelernt, wie man mit Hilfe von Substitution integriert? Fällt es dir leichter, das ohne Fehler zu durchschauen, wenn du die ursprüngliche und die substituierte Variable mit unterschiedlichen Buchstaben bezeichnest? Also zum Beispiel  ?
Zuletzt bearbeitet von dermarkus am 05. Dez 2008 17:21, insgesamt einmal bearbeitet |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 05. Dez 2008 17:15 Titel: |
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also: z=-y und dy=-dz
dann gilt:
\delta(x-y+b)~dy=\int_{-\infty}^{\infty}~f(-y)\delta(x-y+b)~dy=-\int_{\infty}^{-\infty}~f(z)\delta(x+z+b)~dz=\int_{-\infty}^{\infty}~f(z)\delta(x+z+b)~dz=f(-x-b)=f(x+b))
die letzte umformung dabei wieder aufgrund der symmetrie. jetzt stimmts, oder?
Zuletzt bearbeitet von golbi am 05. Dez 2008 17:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Dez 2008 17:20 Titel: |
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Ja, jetzt scheinen mir alle Vorzeichen zu stimmen. In den letzten beiden Termen hast du nun noch x und z miteinander verwechselt, stimmts?
//edit: Einverstanden, jetzt stimmts |
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golbi
Anmeldungsdatum: 03.11.2007
Beiträge: 77
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| golbi Verfasst am: 05. Dez 2008 17:50 Titel: |
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ok, als nächstes soll ich die faltung von der faltung der beiden gleichen rechteckfunktionen =\theta (x+0,25a)-\theta (x-0,25a)) (theta ist hier die heavisidefunktion) mit der funktion g wie oben bestimmen.
dazu hab ich mir zuerst die faltung der beiden rechteckfunktionen angeschaut. formell sieht das dann so aus:
f(y-x)~dy)
ich hab zuerst die beiden funktionen aufgemalt. die erste ist ein rechteck um die y-achse mit höhe 1 und breite 0,5a. die zweite funktion ist einfach um den wert x nach rechts verschoben.
jetzt wollte ich das integral mithilfe einer fallunterscheidung lösen. wenn der betrag von x kleiner als 0,25a ist das integral immer 0.
ist das soweit richtig? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 08. Dez 2008 18:44 Titel: |
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Zwei Tipps:
* Mach für neue Aufgaben gerne jeweils einen neuen Thread auf. Dann ist es auch für die Helfenden viel leichter, das schnell zu finden und schnell zu helfen, auch wenn derselbe grade mal keine Zeit für die nächste Aufgabe haben sollte.
* Nur zu, dein Ansatz für die neue Aufgabe scheint mir Sinn zu machen Ob dein Ansatz Sinn macht und erfolgreich ist, merkst du oft, indem du konkret anfängst, das selbst zu rechnen Und gerne auch, indem du dir dazu jeweils eine Skizze machst, um dir das ganze zu veranschaulichen |
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