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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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 hansmaulwurf Verfasst am: 19. März 2008 19:55 Titel: Das inhomogene elektrische Feld |
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Hallo und einen guten Tag zusammen,
Ist es möglich das inhomogene elektrische Feld am Rand eines Plattenkondensators zu berechnen ? bzw. näherungsweise zu berechnen....
Ich habe schon mehrer Bücher gewälzt, jedoch betrachten alle nur und ausschließlich das homogene Feld eines Plattenkondensators...
???
mfg hansm.
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. März 2008 13:59 Titel: |
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Sicher ist das möglich. Zum Beispiel kannst du ja das Potentialfeld einer beliebigen Ladungsdichteverteilung durch Integrieren der Beiträge zum Coulombpotential hinschreiben.
Die Frage dabei ist dann nur, je nachdem wie du deine geometrische Anordnung wählst und an welchen Stellen du den Wert des Potentials und des E-Feldes bestimmen möchtest, ob du die gewünschte Ladungsdichteverteilung mathematisch hinschreiben kannst, ob du die dafür erforderlichen Integrale selbst von Hand gelöst bekommst, und/oder ob du mit Software umgehen kannst, der du das Problem so eingibst, dass sie dir eine Lösung liefert und vielleicht sogar grafisch darstellt.
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 20. März 2008 14:56 Titel: |
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Ok erstmal Danke für deine Antwort, aber ich glaube dass Du mir ein wenig Angst machen möchtest , oder ?
Ok dass die Berechnungen kein Kinderspiel werden ist mir natürlich bewusst.
Im Elektrotechnikstudium ist das Coulombintegral nur am Rande in Erscheinung getreten ! :-( leider...
wie wäre dort eine sinnvolle Arbeitsweise, wie man ein solches Problem lösen könnte ... ?
Herzlichen Dank für deine Mühe
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 20. März 2008 15:07 Titel: |
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| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: |
wie wäre dort eine sinnvolle Arbeitsweise, wie man ein solches Problem lösen könnte ... ?
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Na, eigentlich habe ich das ja eben schon grob skizziert: Die ersten zwei Schritte davon, wenn du dich mathematisch fit genug dafür fühlst und das mal konkret angehen möchtest, wären dann wohl:
Ich würde vorschlagen, du machst dir eine Skizze und schreibst dann damit mathematisch die Ladungsdichteverteilung hin, die der Situation an zwei solchen Kondensatorplatten entspricht.
Und dann schreibst du dir damit den mathematischen Ausdruck für das Potential an einem Punkt im Raum als Integral aller Beiträge der einzelnen Teile der Ladungsdichteverteilung hin.
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 26. März 2008 18:01 Titel: |
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ok ich habe mich mal ein wenig mit der Materie auseinadergesetzt !
Ich "könnte" ja das Elektrische Feld auf der Achse einer ! homogen geladenen Kondensatorplatte berechnen: mit...
mit  = Einheitsvektor der von dem Quellpunkt zum Feldpunkt zeigt
wobei
 und  (Flächenladungsdichte der Kondensatorplatte)
 bescheiben die geometrischen Abmessungen des Kondensators.
Mein Problem ist nun, dass ich ja nun ertsmal nur das elektrische Feld von einer einzigen Platte in einem Raumpunkt beschreiben kann. Wie kann man die Beeinflussung der anderen Platte einfließen lassen ?
Desweiteren, sagt dies leider noch nix über mein inhomogenes Feld aus ? welches ja "gekrümmt " ist...
Herzlichen Dank für deine /eure Hilfe
Mfg hans m.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 26. März 2008 21:04 Titel: |
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Vorsicht: Die Flächenladungsdichte ist über die Kondensatorplatte nicht konstant. D.h. du weisst ad hoc eigentlich nicht die Ladungsverteilung und kannst sie höchstens näherungsweise als konstant ansetzten.
Eigentlich musst du die Laplacegleichung
 = 0)
mit der Randbedingung
 = U)
 = 0)
lösen, wobei U die angelegte Spannung ist.
Dafür gibt es geeignete numerisch-iterative Integrationsverfahren, wie zB. die 6-Punkt Formel.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 26. März 2008 21:57 Titel: |
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Ok das beschriebene Verfahren von "der markus" kann ich aber trotzdem verwenden , oder ? ist es möglich die Ladungsdichteverteilung "aufzuschreiben" bzw. mathematisch auszüdrücken ???
| Zitat: | Ich würde vorschlagen, du machst dir eine Skizze und schreibst dann damit mathematisch die Ladungsdichteverteilung hin, die der Situation an zwei solchen Kondensatorplatten entspricht.
Und dann schreibst du dir damit den mathematischen Ausdruck für das Potential an einem Punkt im Raum als Integral aller Beiträge der einzelnen Teile der Ladungsdichteverteilung hin. |
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Wenn Nein, hast du evtl. eine Quelle für die "6 Punkt Formel" wo man sich sowas anschauen kann ? eigentlich würde ich es gerne "selber" die Kapazität bzw. das elektrische Feld mathematische beschreiben können !
Vielen Dank für deine/eure Hilfe
mfg hansm.
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 27. März 2008 01:53 Titel: |
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| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: | | Ok das beschriebene Verfahren von "der markus" kann ich aber trotzdem verwenden , oder ? |
Bei diesem Vorschlag war ich davon ausgegangen, dass man (weil ich es noch nicht besser wusste) vielleicht einfach mal naiv ansetzen könnte, die Ladungsdichteverteilung auf den Platten sei homogen, in der Hoffnung, das ließe sich schonmal einigermaßen rechnen und ergebe einigermaßen sinnvolle Resultate.
Wenn man damit dann Formeln hinschreibt wie du oben, muss man aufpassen, dass auch der Abstand  zwischen Ladung  und gewünschtem Raumpunkt von der Position des jeweiligen Flächenelements abhängt, so dass auch über diese Abhängigkeit integriert werden muss. Ebenso für die Abhängigkeit des Richtungsvektors  . Indem du das berücksichtigst, siehst du dann auch, wie der entsprechende Ausdruck für die zweite Kondensatorplatte dann aussehen würde.
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Aber wie schnudl sagt, ist die Ladungsverteilung auf den Kondensatorplatten ja gar nicht homogen. Dafür funktioniert mein Ansatz nicht, also muss man sich erstmal darum kümmern, diese Ladungsverteilung überhaupt erst einmal zu finden.
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sax
Anmeldungsdatum: 10.05.2005
Beiträge: 377
Wohnort: Magdeburg
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| sax Verfasst am: 27. März 2008 12:10 Titel: |
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Es gibt eine analytische Loesung fuer das Feld am Rand eines ''halbunendlichen" Kondensators, eines Plattenkondensators der
von
reicht, zu berechnen. Dazu nutzt man die Funktionentheorie.
Ich habe das jetzt nicht parat, ich glaube aber im Greiner oder im Nolting
kann man das nachlesen.
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Der Horizont vieler Menschen ist ein Kreis mit Radius Null - und das nennen sie ihren Standpunkt. |
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 27. März 2008 14:58 Titel: |
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mhh ok ich danke euch für die Antworten:
-warum ist die Flächenladungsdichte bzw. die Ladungsverteilung auf den Platten nicht homogen ?
Es gibt ja anscheinend mehrere numersiche Verfahren: Welche ich jetzt noch gefunden habe : Teilflächenmethode, Bildladungsverfahren...sagen euch dies Methoden etwas ?
Herzlichen Dank
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 27. März 2008 17:10 Titel: |
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| hansmaulwurf hat Folgendes geschrieben: | mhh ok ich danke euch für die Antworten:
-warum ist die Flächenladungsdichte bzw. die Ladungsverteilung auf den Platten nicht homogen ? |
andersherum: warum sollte es homogen sein?
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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 27. März 2008 17:55 Titel: |
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ja aber die Flächenladungsdichte auf der Oberffläche der Platte ist doch homogen....die Ladungsverteilung im Raum ist natürlich nicht kontinuierlich (homogen)...verstehe ich das jetzt richtig ?
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 27. März 2008 18:09 Titel: |
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Die Flächenladungsdichte ist nur homogen, wenn du dich weit genug von den Rändern der Platte befindest. Am Rand ist sie sicher nicht homogen.
Die Ladungsdichte bekommt man durch Lösen der Laplacegleichung und verwenden der Poissongleichung für Orte auf der Platte:
Hier ist gezeigt, wie man die Laplacegleichung mit Gauß-Seidel iterativ löst.
Solche Finite-Elemente Verfahren programmiert man vermutlich aber nicht in einer halben Stunde, und wahrscheinlich nur, wenn man wirklich muss. Soviel ich weiss, werden die Feldverteilungen in Halbleitern auf dieser Basis berechnet.
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hansmaulwurf
Anmeldungsdatum: 09.07.2006
Beiträge: 140
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| hansmaulwurf Verfasst am: 27. März 2008 18:41 Titel: |
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Ja ok...das kann man sich schon vorstellen, aber warum ist es so ?
Also warum sind die Ladungen am Rand des KOndensators nicht gleichmäßig verteilt ? Wegen dem inhomogenen Elektrischen Feld ? Also wegen der Krümmung der Feldlinien ?
Vielen Dank
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 27. März 2008 18:46 Titel: |
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Stell dir einen dünnen metallischen Stab vor, auf dem eine positive Gesamtladung sitzt. Da sich die positiven Ladungen abstossen, werden diese nach aussen gedrängt - an den Enden ist die Ladungsdichte daher grösser als in der Mitte.
Bei einer Kondensatorplatte ist es analog. Man nennt das auch den Spitzeneffekt.
_________________
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
Wohnort: Wien
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| schnudl Verfasst am: 27. März 2008 23:07 Titel: |
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Ich habe jetzt schnell ein Husch-Pfusch C Programm geschrieben, auf der Basis der Differenzen-Methoden, welche ich vorher als Link gepostet habe. Es handelt sich um zwei parallele Platten, welche in z-Richtung unendlich lang sind und Potenzial +1V und -1V tragen.
Die Simulationsergebnise für das Potenzial zeigen deutlich die Inhomogenität an den Rändern, aber auch, dass der Feldverlauf im inneren konstant ist. Das Grid ist 100x100, die Platten befinden sich bei x=30, 70 und zwischen 30<=y<=70. Es wurden insgesamt über alle Punkte 10,000,000 Iterationsschritte durchgeführt.
Hier der C Code, falls jemand experimentieren möchte:
| Code: |
#define N 101
double y[N][N];
double x[N][N];
void copyX2Y()
{
for (int i=0; i<N; i++)
for (int j=0; j<N; j++)
y[i][j] = x[i][j];
}
void setY()
{
int min = (int) ((N-1)/2 - 20);
int max = (int) ((N-1)/2 + 20);
int ymin = min;
int ymax = max;
for (int i=min; i<=max; i++)
{
y[ymin][i] = +1;
y[ymax][i] = -1;
}
}
void initY()
{
int i, j;
for (i=0; i<N; i++)
{
for (j=0; j<N; j++)
{
y[i][j] = 0;
}
}
}
void update(int i, int j)
{
if (i==0)
{
if(j>0 && j<N-1)
{
x[i][j] = (y[i+1][j] + y[i][j-1] + y[i][j+1])/3;
return;
//printf("\n1");
}
else
{
if (j==0)
{
x[i][j] = (y[i+1][j] + y[i][j+1])/2;
return;
//printf("\n2");
}
else
{
x[i][j] = (y[i+1][j] + y[i][j-1])/2;
return;
//printf("\n3");
}
}
}
if (i==N-1)
{
if(j>0 && j<N-1)
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i][j-1] + y[i][j+1])/3;
return;
//printf("\n4");
}
else
{
if (j==0)
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i][j+1])/2;
return;
//printf("\n5");
}
else
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i][j-1])/2;
return;
//printf("\n6");
}
}
}
if (j==0)
{
if(i>0 && i<N-1)
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i+1][j] + y[i][j+1])/3;
return;
//printf("\n7");
}
else
{
if (i==0)
{
x[i][j] = (y[i+1][j] + y[i][j+1])/2;
return;
//printf("\n8");
}
else
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i][j+1])/2;
return;
//printf("\n9");
}
}
}
if (j==N-1)
{
if(i>0 && i<N-1)
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i+1][j] + y[i][j-1])/3;
return;
//printf("\n10");
}
else
{
if (i==0)
{
x[i][j] = (y[i+1][j] + y[i][j-1])/2;
return;
//printf("\n11");
}
else
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i][j-1])/2;
return;
//printf("\n12");
}
}
}
else
{
x[i][j] = (y[i-1][j] + y[i+1][j] + y[i][j-1] + y[i][j+1])/4;
return;
////printf("\n13");
}
}
void iterate()
{
int i,j;
int min = (int) ((N-1)/2 - 20);
int max = (int) ((N-1)/2 + 20);
int ymin = min;
int ymax = max;
for (i=0; i<N; i++)
{
for (j=0; j<N; j++)
{
if ((i==min || i==max)&&(j>=min && j <= max))
{
x[i][j] = y[i][j];
}
else
{
update(i,j);
}
}
}
copyX2Y();
}
void outY()
{
FILE * fs = fopen("out.txt", "w");
for (int i=0; i<N; i++)
{
fprintf(fs, "\n %d", i);
for (int j=0; j<N; j++)
{
fprintf(fs, ";%5.3g", y[i][j]);
}
}
fclose(fs);
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
initY();
setY();
for (int i = 0; i<1000; i++)
{
iterate();
}
iterate();
outY();
return 0;
}
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 28. März 2008 16:20 Titel: |
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Wer sich die Ergebnisse meiner Simulation näher angeschaut hat, muss feststellen, dass diese meiner ursprünglichen Aussage widerspricht:
Die Flächenladungsdichte an einer metallischen Ebene muss überall konstant sein. Dies sieht man einerseits in der Simulation, andererseits folgt dies aber auch fundamental aus der Wirbelfreiheit der elektrischen Feldstärke: Da E überall senkrecht zur Ebene stehen muss, gibt es keine andere Möglichkeit, als jene, wo sich die Flächenladung gleichmässig verteilt.
@hansmaulwurf hatte also recht, wenn er eine konstante Flächenladungsdichte an der Oberfläche annimmt. Es gibt allerdings eine Art Singularität an den Rändern der Platten, da dort das Feld unendlich gross wird - zu sehen auch in der Simulation. Es ist nun die Frage, ob man die damit verbundene unendliche Flächenladungsdichte an den Rändern für die Feldberechnung vernachlässigen darf, da sie nur an einem unendlich dünnen Querschnitt wirkt, oder ob sich ein wirksamer Beitrag auch in grösserem Abstand ergibt...mal sehen...
@hansmaulwurf: hab dir private nachricht geschickt zu deiner frage.
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