Braunsche Röhre: Warum Elektron hinter Anode nicht gebremst?

intheend18764 · Gast

Hallo zusammen,

in einer Braunschen Röhre saust ein Elektron durch das Loch in der Anode des Beschleunigungskondensators. Von da an wird seine Geschwindigkeit in x-Richtung als konstant angenommen (z.B. als Grundlage für die Berechnung des weiteren Verlaufs durch die Ablenkkondensatoren). Aber warum soll das gelten? Müsste das Elektron nicht von der Anode wieder zurückgezogen werden? So ein Kondensator hat doch auch Feldlinien auf der Rückseite der Platten?

Was ich schon überlegt habe:
- Dachte kurz daran, ob es was damit zu tun haben könnte, dass man die Anode üblicherweise auf Erdpotential legt (nach dem Motto "was neutral ist, kann ja nichts anziehen"). Aber ich glaube, diese Vorstellung ist falsch, denn das Nullpotential ändert ja nichts am E-Feld.
- Ich habe auch überlegt, ob sich das Feld hinter der Anode vielleicht mit dem Feld von der Kathode gegenseitig aufhebt. Aber da Coulombkräfte distanzabhängig sind, müsste dann die anziehende Kraft der Anode trotzdem überwiegen.
- Ich habe auch überlegt, ob das Elektron vielleicht tatsächlich gebremst wird, jedoch in vernachlässigbar kleiner Weise. Habe überlegt, ob ich das mal durchrechnen soll - allerdings habe ich auch keine Ahnung, wie man die Feldstärke hinter der Anode (und damit die Bremsbeschleunigung) berechnet.

Vielen Dank für euer Mitdenken und eure Hilfe!

willyengland · Anmeldungsdatum: 01.05.2016 Beiträge: 678

Üblicherweise ist doch die Anode so angelegt, dass das Feld in y-Richtung gerichtet ist, das Elektron aber in x-Richtung fliegt?
Evtl. wirkt das Feld im nicht-idealen Fall auch minimal in x-Richtung, aber das wird wohl vernachlässigt.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Im Limes unendlich ausgedehnter Platten und infinitesimalem Loch wird das exakt.

Man startet mit den E-Feld einer Platte mit Linienladungsdichte sigma. Links (-) bzw. rechts (+) von der Platte gilt

Dabei bezeichnet e einen senkrecht zur Platte stehenden Einheitsvektor.

Nun sind die Gleichungen der Elektrostatik linear, es gilt das Superpositionsprinzip, d.h. wir erhalten das Feld zweier Platten durch Addition der Felder der einzelnen Platten.

Im Kondensator trägt die zweite Platte die negative Ladungsdichte der ersten, die Feldrichtung kehrt sich um.

Addition liefert also links von der linken Platte sowie rechts von der rechten Platte

Innerhalb des Kondensators d.h. rechts von der linken sowie links von der rechten gilt

Am einfachsten sieht man das anhand einer Skizze.

intheend18765 · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18083

Weil das für jede einzelne Ladung gilt.

Man muss aber über die Coulombfelder aller Ladungen summieren – genauer gesagt integrieren.

Es wird einfacher, wenn man zunächst das Potential statt des Feldes betrachtet. Für das Coulomb-Potential am Punkt r, verursacht durch einer Ladung am Punkt r_0 gilt:

Jede Ladung trägt mit ihrem Coulomb-Potential bei. Und für das Coulomb-Potential aller Ladungen auf der homogen geladenen Platte folgt

wobei aufgrund der homogenen Ladungsverteilung weiterhin diese Proportionalität gilt.

Betrachtet man die unendlich ausgedehnte Platte als xy-Ebene, so ist zunächst klar, dass das Problem invariant bzgl. Rotation um die z-Achse sowie Translationen in x- und y-Richtung ist. Äquipotentialflächen müssen parallel zur xy-Ebene verlaufen, das resultierende E-Feld hat nur eine z-Komponente senkrecht zur Platte und ist überall im Raum unabhängig von den x- und y-Koordinaten.

Die z-Abhängigkeit findet man mittels des Gaußschen Gesetzes der Elektroststik

für die räumliche Ladungsdichte rho.

Integriert man rechts über ein endliches quaderförmiges Volumen V mit zwei Deckflächen parallel zu Platte, wobei der Quader einen Teil der Platte umschließt, so gilt für die eingeschlossene Ladung

Für die linke Seite folgt mittels des Gaußschen Integralsatzes

wobei rechts über die Fläche A integriert wird, die der Berandung des Volumens V entspricht. Da das Feld senkrecht auf der Platte steht, liefert das Skalarprodukt des Normalenvektors einfach den Betrag des E-Feldes, das Integral letztlich das Produkt aus dem Betrag mal der Fläche. Dies entspricht gerade dem elektrischen Fluss Phi durch die Fläche.

Man erhält also

Phi und E sind zunächst noch abhängig von z. Betrachtet man jedoch Quader, die immer die Platte einschließen, sich jedoch bzgl. der z-Koordinaten ihrer Deckflächen unterscheiden, so ist die rechts stehende Ladung immer identisch, damit auch der elektrische Fluss Phi durch die Deckflächen und letztlich das elektrische Feld E. Es kann keine z-Abhängigkeit geben, das Feld ist konstant.

A-Freak als Gast · Gast

Wenn man eine braunsche Röhre normal benutzt dann hat der Raum hinter der Anode - Mitte zwischen den Ablenkplatten - Leuchtschirm überall das gleiche Potential wie die Anode selbst, es gibt in dem Raum also kein Feld das die Elektronen wieder bremsen würde.