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navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
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 navix Verfasst am: 06. Dez 2021 23:02 Titel: Raketen an Drehscheibe |
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Meine Frage:
Eine große massive Drehscheibe aus Holz (Radius  , Dicke  , Dichte
 ) ist mittig frei drehbar an einer senkrechten Achse befestigt.
Am Rand der Scheibe (beim Radius ) werden vier Feuerwerksraketen so angebracht, dass sie alle im Uhrzeigersinn ausgerichtet sind. Jede Rakete wiegt  . Nun werden die Raketen gezündet und stoßen mit der Ausströmgeschwindigkeit von  insgesamt  ihrer jeweiligen Masse geradeaus nach hinten aus.
Mit welcher Winkelgeschwindigkeit dreht sich die Scheibe danach?
Setzen Sie fur die Raketen während der Beschleunigung ihre mittlere Masse ein!
Meine Ideen:
Hi, ich hänge schon seit einigen Stunden an dieser Aufgabe. Zunächst habe ich mal eine Skizze gemacht (Anhang). Vom Ansatz her habe ich mir überlegt, dass ich die Raketengleichungen und das Drehmoment benötige.
Da die Raketen im Uhrzeigersinn ausgerichtet sind, wird die Scheibe bei Zündung in eine Drehung mit dem Uhrzeigersinn versetzt. Wegen der Impulserhaltung wirkt auf die Rakete eine Schubkraft  . Weil die Raketen an der Scheibe befestigt sind, wirkt zudem eine Kraft  auf die Achse der Scheibe. Dadurch wird ein Drehmoment  erzeugt, welches in der Skizze nach unten zeigt (Rechte-Hand-Regel).
 und sind offensichtlich immer im  Winkel zueinander, also kann man das Drehmoment schreiben als
} = R \cdot F_\mathrm{Antrieb})
Jetzt gilt doch
Das Trägheitsmoment kann man nachschlagen und die Masse aus  ,  und  bestimmen.
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich die Antriebskraft der Rakete bestimmen soll.
Folgende Formeln sind mir zu Raketen bekannt:
 \quad a(t) = \frac{\mu \cdot v_\mathrm{rel}}{M(t)})
 \quad v_1 = v_0 + v_\mathrm{rel} \cdot \ln{\left(\frac{M_0}{M_1}\right)})
Die Endgeschwindigkeit könne man also leicht bestimmen mit, aber die bringt mir ja nicht wirklich etwas in Bezug auf die Kraft. Erste Formel ist auch schwierig, da uns der Massenstrom nicht bekannt ist.
Mir ist auch nicht wirklich klar, was mit "Setzen Sie fur die Raketen während der Beschleunigung ihre mittlere Masse ein!" gemeint ist.
LG
navix
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2021 09:01 Titel: |
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Ist die Brenndauer des Raketentreibstoffs angegeben?
EDIT
Nicht notwendig!
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 07. Dez 2021 10:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 07. Dez 2021 09:10 Titel: Re: Raketen an Drehscheibe |
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| navix hat Folgendes geschrieben: | | Leider habe ich keine Ahnung, wie ich die Antriebskraft der Rakete bestimmen soll. |
Die Kraft wird nicht benötigt. Aus  und der Gesamtmasse des ausgestossenen Treibstoffs der Raketen ergibt sich der Drehimpuls der Scheibe inkl. Raketen, und, wenn man wie angegeben von den mittleren Raketenmassen ausgeht, die Winkelgeschwindigkeit.
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gast_free
Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 195
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| gast_free Verfasst am: 07. Dez 2021 09:36 Titel: |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2021 10:11 Titel: |
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F_s = Schubkraft
t_b = Brenndauer
m_T = Masse Treibstoff
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roycy
Anmeldungsdatum: 05.05.2021
Beiträge: 961
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| roycy Verfasst am: 07. Dez 2021 10:58 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | F_s = Schubkraft
t_b = Brenndauer
m_T = Masse Treibstoff
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Ja, aber welches I denn?
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2021 12:09 Titel: |
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| roycy hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
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Ja, aber welches I denn? |
I = Massenträgheitsmoment
I_S = Massenträgheitsmoment Scheibe
I_R = Massenträgheitsmoment Rakete
q = Anteil Masse Treibstoff an Masse Rakete
 = Mittlere Masse der Rakete
n = Anzahl Raketen
}{2} = m_R\cdot (1- \frac{q}{2} ))
 kannst Du selber bestimmen.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 07. Dez 2021 17:05, insgesamt einmal bearbeitet |
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roycy
Anmeldungsdatum: 05.05.2021
Beiträge: 961
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| roycy Verfasst am: 07. Dez 2021 12:15 Titel: |
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[quote="Mathefix"][quote="roycy"] | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
kannst Du selber bestimmen. |
Mir war das sowieso klar- ich fragte nur nach, weil vorher niemand den Steiner- Anteil der 4 Raketen beim Trägheitsmoment erwähnte.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2021 13:31 Titel: |
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Mir leuchtet nicht ein, warum die mittlere Raketenmasse berücksichtigt werden soll.
Die Rakete beschleunigt bis Brennschluss. Dann ist der Treibstoff aufgebraucht und nur die Strukturmasse der Rakete = 0,4 * m_R bleibt übrig und geht in das Massenträgheitsmoment ein.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Dez 2021 13:35 Titel: |
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[quote="roycy"][quote="Mathefix"] | roycy hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
kannst Du selber bestimmen. |
Mir war das sowieso klar- ich fragte nur nach, weil vorher niemand den Steiner- Anteil der 4 Raketen beim Trägheitsmoment erwähnte. |
Indirekt doch, denn welchen Einfluss sollte denn sonst die mittlere Raketenmasse haben?
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 07. Dez 2021 18:40 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Mir leuchtet nicht ein, warum die mittlere Raketenmasse berücksichtigt werden soll. |
Die exakte Lösung ist analog zur Raketengleichung:
)
mit
wobei  die Masse der Raketen und das Trägheitsmoment der Scheibe ist. Ihr rechnet oben mit der ersten Näherung
Wenn man da anstelle von  den Mittelwert von und  einsetzt, dann wird der Fehler deutlich kleiner.
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navix
Anmeldungsdatum: 21.10.2021
Beiträge: 63
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| navix Verfasst am: 08. Dez 2021 00:14 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | F_s = Schubkraft
t_b = Brenndauer
m_T = Masse Treibstoff
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Ist  die Gesamtmasse an Treibstoff, also ) , oder nur von einer Rakete?
Ich gehe mal davon aus, dass  die Summe der Beträge aller 4 Schubkräfte ist, da diese ja alle gleichermaßen zum Drehmoment beitragen. Dann könnte man diese 4 Raketen doch zu einer zusammenfassen, die die 4-fache Masse besitzt und eine 4-mal so hohe Schubkraft aufweist.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Dez 2021 14:04 Titel: |
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DrStupid:
Massenträgheitsmomente
Bei Start
Bei Brennschluss
Wieso lt. Aufgabe die mittlere Raketenmasse anzusetzen ist, erschliesst sich mir nicht. Relevant ist die Masse bei Brennschluss und die ist 0,4 * m_R.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 08. Dez 2021 15:16, insgesamt 6-mal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Dez 2021 14:21 Titel: |
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| navix hat Folgendes geschrieben: |
Ist die Gesamtmasse an Treibstoff, also , oder nur von einer Rakete?
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m_T ist die Gesamtmasse an Treibstoff und I ist das gesamte Massenträgheitsmoment bei Brennschluss.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 08. Dez 2021 15:15 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Beide Gleichungen
DrStupid
und
führen zu dem exakt gleichen Ergebnis
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Nein, sie führen nur im Rahmen der angegebenen Genauigkeiten zum gleichen Ergebnis. Mit Io im Nenner ist die Näherung kleiner als die exakte Lösung und mit I im Nenner ist sie größer. Der wahre Wert liegt fast genau in der Mitte. Deshalb verringert sich der Fehler bei Verwendung des Mittelwertes um mehrere Größenordnungen. Die Idee, den Mittelwert zu verwenden, ist deshalb prinzipiell richtig. Dass der Unterschied in diesem speziellen Fall keine Rolle spielt, weiß man erst, wenn man es ausgerechnet hat.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Dez 2021 16:50 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Beide Gleichungen
DrStupid
und
führen zu dem exakt gleichen Ergebnis
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Nein, sie führen nur im Rahmen der angegebenen Genauigkeiten zum gleichen Ergebnis. Mit Io im Nenner ist die Näherung kleiner als die exakte Lösung und mit I im Nenner ist sie größer. Der wahre Wert liegt fast genau in der Mitte. Deshalb verringert sich der Fehler bei Verwendung des Mittelwertes um mehrere Größenordnungen. Die Idee, den Mittelwert zu verwenden, ist deshalb prinzipiell richtig. Dass der Unterschied in diesem speziellen Fall keine Rolle spielt, weiß man erst, wenn man es ausgerechnet hat. |
Danke. Hatte bei meiner Berechnung erkannt, dass I nahe bei I_0 liegt und deshalb der Momentenansatz in diesem speziellen Fall gut passt
Habe dann meinen Post gelöscht.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Dez 2021 16:50 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Beide Gleichungen
DrStupid
und
führen zu dem exakt gleichen Ergebnis
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Nein, sie führen nur im Rahmen der angegebenen Genauigkeiten zum gleichen Ergebnis. Mit Io im Nenner ist die Näherung kleiner als die exakte Lösung und mit I im Nenner ist sie größer. Der wahre Wert liegt fast genau in der Mitte. Deshalb verringert sich der Fehler bei Verwendung des Mittelwertes um mehrere Größenordnungen. Die Idee, den Mittelwert zu verwenden, ist deshalb prinzipiell richtig. Dass der Unterschied in diesem speziellen Fall keine Rolle spielt, weiß man erst, wenn man es ausgerechnet hat. |
Danke. Hatte bei meiner Berechnung erkannt, dass I nahe bei I_0 liegt und deshalb der Momentenansatz in diesem speziellen Fall gut passt
Habe dann meinen Post gelöscht.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 11. Dez 2021 14:43 Titel: |
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Die Drehimpulsbilanz
 = dm\cdot v\cdot r- dm\cdot v_{rel} \cdot r )
ergibt ohne die Notwendigkeit die Massenträgheitsmomente zu bestimmen
 )
 )
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 11. Dez 2021 22:26 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Das wäre die Winkelgeschwindigkeit, die die Raketen erreichen würden, wenn sie die Scheibe nicht mitschleppen müssten.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Dez 2021 10:04 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Das wäre die Winkelgeschwindigkeit, die die Raketen erreichen würden, wenn sie die Scheibe nicht mitschleppen müssten. |
Dann hätte es m_0_R und m_R heißen müssen.
In m_0 und m ist die Masse der Scheibe m_S und der Rakete m_R enthalten.
Nach Aufgabenstellung:
m_0 = m_S/2 + m_R
m = m_S/2 + 0.4*m_R
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 12. Dez 2021 20:58 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Dann hätte es m_0_R und m_R heißen müssen. |
Mit der Gesamtmasse stimmt es auch nicht, weil sie nicht proportional zum Trägheitsmoment ist.
PS: Deine Gleichung gilt nur für den Fall, dass die Masse der Scheibe an ihrem Rand konzentriert ist. Es geht aber um eine Holzscheibe, bei der man näherungsweise von einer homogenen Masseverteilung ausgehen kann.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 13. Dez 2021 10:03 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Dann hätte es m_0_R und m_R heißen müssen. |
Mit der Gesamtmasse stimmt es auch nicht, weil sie nicht proportional zum Trägheitsmoment ist.
PS: Deine Gleichung gilt nur für den Fall, dass die Masse der Scheibe an ihrem Rand konzentriert ist. Es geht aber um eine Holzscheibe, bei der man näherungsweise von einer homogenen Masseverteilung ausgehen kann. |
Meine Absicht war, die in der Aufgabenstellung vorgegebene halbe Masse zu erklären.
In der Raketengrundgleichung wird die Masse der Rakete als Punktmasse angesehen. Um bei Rotation die verteilte Masse der Scheibe in eine äquivalente Punktmasse zu transformieren, wird in der TM der Begriff der reduzierten Masse bzw. Ersatzmasse verwendet. Bei einer Scheibe entspricht die reduzierte Masse/Ersatzmasse der Hälfte der Masse der Scheibe.
Man betrachtet die halbe Masse der Scheibe als Punktmasse wie eine Nutzlast als Bestandteil der Raketenmasse.
Dadurch sollte die Lösung der Aufgabe erleichtert werden, indem einfach die Raketengrundgleichung verwendet wird und nicht der Weg über die Erhaltung des Drehimpulses gegangen werden muss.
Es handelt sich also nicht um eine Näherungslösung.
Korrekt wäre gewesen, wenn ich statt  und  die Bezeichnungen  und  verwendet hätte.
Sorry für die Verwirrung.
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