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Nachfrager
Gast
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 Nachfrager Verfasst am: 22. Sep 2014 11:04 Titel: Residuensatz Beispiel |
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Hallo,
Ich komme jetzt ins zweite Semester und bin gerade am Ende der Wiederholung des Stoffs aus dem ersten Semester für Theo 0.
Jetzt hänge ich an einer Sache (die nicht Klausurrelevant war  ):
Wenn man ein Integral über eine Funktion ausrechnen möchte die überall holomorph ist bis auf einige Polstellen, so kann man ja das Integral durch die Summe der Residuen mit einem Vorfaktor 2pi ersetzen, sofern sich ein Weg im komplexen finden lässt, der die Polstellen einschließt und verschwindet, wenn man die Grenzen links und rechts gegen unendlich laufen lässt (man schnürt quasi eine Schlinge um die Polstellen). Soweit so gut.
1. Im Jänich steht, dass die Residuen gerade die Koeffizienten der Laurentreihe sind. Aber wie kriege ich diese Residuen raus? Ich hatte leider noch keine HöMa und verstehe von daher noch nicht alle mathematischen Formulierungen und Beweise einwandfrei.
2. Wie finde ich solch einen Weg? Macht man das über geschicktes Vermuten und Ausprobieren?
Kann mir jemand vielleicht ein kurzes Beispiel dazu zeigen, woran man das sehen kann?
Viele Grüße |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 22. Sep 2014 12:22 Titel: Re: Residuensatz Beispiel |
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| Nachfrager hat Folgendes geschrieben: |
1. Im Jänich steht, dass die Residuen gerade die Koeffizienten der Laurentreihe sind. Aber wie kriege ich diese Residuen raus? Ich hatte leider noch keine HöMa und verstehe von daher noch nicht alle mathematischen Formulierungen und Beweise einwandfrei.
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http://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)#Praktische_Berechnung
| Zitat: |
2. Wie finde ich solch einen Weg? Macht man das über geschicktes Vermuten und Ausprobieren?
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Ja. Das hängt sehr stark von der zu integrierenden Funktion ab, welcher Weg geeignet ist. Es kann auch durchaus mehr, als einen geeigneten Weg geben. Er muss auch nicht immer bis ins Unendliche gehen.
Ein paar Beispiele gibt es zum Beispiel hier:
https://people.math.gatech.edu/~cain/winter99/supplement.pdf
(der Arfken hat auch eine relativ ausführliche Behandlung dieses Themas, mit vielen Beispielen und Uebungsaufgaben.) |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 22. Sep 2014 12:40 Titel: |
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Wenn du "Jänich" schreibst, meinst du dann Jänichs HöMa-Buch oder sein Funktionentheorie-Buch? Letzteres kann ich übrigens nur empfehlen, es ist elegant und vor allem kann man es mit vertretbarem Zeitaufwand durcharbeiten.
Ich kenne es so, dass man die Residuen definiert als die -1. Koeffizienten der Laurentreihe (macht auch anschaulich Sinn: wenn du Summation und Integration vertauschen darfst, machen nur die Integrale über 1/z Probleme, da der Hauptwert des Logarithmus leider nicht holomorph ist). So haben wir es in Funktionentheorie gemacht. Für die Koeffizienten gilt ja
 = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z - z_0)^n \quad a_n = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{B_{\rho} (z_0)} \frac{f(\zeta )}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\,\dd\zeta )
Dementsprechend ergibt sich für das Residuum:
\,\dd \zeta)
In der Praxis ist das aber ein mühsamer Weg, die Residuen zu berechnen. Einfacher geht es oft, indem man die Laurentreihen abliest, z.B. indem man geometrische Reihen identifiziert und für die holomorphen Terme die Taylorreihen benutzt.
Für die Residuen an Polstellen ist es nützlich, f als  = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}) in einer Umgebung von z0, wobei g holomorph ist, zu schreiben (m ist natürlich die Polstellenordnung - dass dies geht, ist ja gerade die Definition von Polstellen). Dann gilt gerade
}(z_0)}{(m-1)!}) .
Allgemein: Es gibt kein Patentrezept. Numerisch funktioniert natürlich immer der Weg über die Koeffizientenformel der Laurentreihe.
Zu deiner zweiten Frage: Der Weg muss keinesfalls alle Singularitäten einschließen. Für die Singularitäten, die nicht eingeschlossen werden, verschwindet einfach die Umlaufzahl.
EDIT: Ich sehe, das beantwortet die Frage nicht. Klar, es geht um reelle Integrale, die damit zu berechnen sind, dann müssen natürlich alle Singularitäten eingeschlossen werden.
PS: Sorry, da war einer (deutlich) schneller.
PPS: Die Resultate auf diesem Übungszettel sind auch ganz praktisch:
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~kasten/files/Funktionentheorie/funktheo1blatt11.pdf |
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