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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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 Bruce Verfasst am: 15. Sep 2004 15:37 Titel: beschleunigtes System dreier Wagen (IPhO) |
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Hallo Mechanikfreunde,
wie ich zu letzt hier verfolgen konnte, gibt es unter euch Einige, die am
Auswahlverfahren für die IPhO '05 teilnehmen. Wer von euch noch freie Kapazitäten
hat und ein bischen Mechanik für die nächsten Runden trainieren möchte, dem sei
die nachfolgende Aufgabe gestellt.
Drei Wagen mit den Massen m1, m2 und m3 sind gemäß Skizze angeordnet.
Als äußere Kraft wirkt nur die Schwerkraft sowie die am Wagen 3 angreifende
Kraft F.
a) Welche Beschleunigung erfährt jeder der drei Wagen für F=0?
b) Wie groß muß die Kraft F mindestens sein, damit Wagen 1 sich
relativ zu Wagen 3 nach links und Wagen 2 sich nach oben bewegt?
Bemerkung:
Die Wagen 1 und 2 sind über ein masseloses Seil miteinander verbunden.
Das Seil wird über eine reibungsfreie Rolle geführt. Wagen 1 befindet sich
auf Wagen 3 und Wagen 2 gleitet entlang einer Führungsschiene an der rechten
Seite von Wagen 3 herunter. Reibungskräfte sollen unberücksichtigt bleiben.
Die Aufgabe ist auf jeden Fall mit den Mitteln der Schulphysik lösbar.
Schüler dürften spätestens ab der Jahrgangsstufe 12 über die notwendigen
Mechanikkenntnisse verfügen, wahrscheinlich aber früher.
Ich selbst habe nichts mit der IPhO zu tun und darf auch nicht daran
teilnehemen, da ich dafür schon zu alt bin.
So, dann bin ich mal gespannt auf die Diskussion die sich hoffentlich
hier entwickelt und an der ich mich natürlich beteiligen werde. Allerdings
kenne ich die Lösung und werde mich deswegen zunächst zurückhalten.
Gruß von Bruce
@edit
Formulierung von Teilaufgabe b) präzisiert.
Die aktuelle Formulierung ist eindeutiger.
| Beschreibung: |
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| Dateigröße: |
7.1 KB |
| Angeschaut: |
3193 mal |
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Zuletzt bearbeitet von Bruce am 15. Sep 2004 21:43, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathespezialschüler
Anmeldungsdatum: 14.05.2004
Beiträge: 22
Wohnort: Berlin
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| Mathespezialschüler Verfasst am: 15. Sep 2004 18:40 Titel: |
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Hi, dann versuch ich mich auch mal n bißchen an der Physik. 
zu a)
Also, ich hab hier in nem Thread mal mitbekommen, dass Newton "axiomiert" hat, dass
 , F=Kraft, m=Masse, a=Beschleunigung
Es sei "Wagen mit Masse m1" = W1, analog dann W2 und W3. Außerdem sei die zweite Kraft 
Da die Kraft, die auf W1 wirkt, 0 beträgt ist auch die Beschleunigung a1 auf W1 a1=0 (nach obiger Gleichung).
W2 wird mit g beschleunigt (relativ offensichtlich), denn und mit  . Somit wird auch W1 mit g beschleunigt.
b) Wenn die Kraft F auf W3 wirkt, so ist die auf ihn wirkende Beschleunigung  .
Ich weiß nich genau warum, aber ich glaube, dass sich dann W1 in entgegensetzter Richtung bewegt, und zwar mit gleicher Beschleunigung. (vielleicht wegen der Trägheit oder sowas? Das hab ich mal so gehört...)
Wenn das richtig ist, dann geht es folgendermaßen weiter: Dann ist die Kraft  , die auf W1 wirkt  . W2 erfährt die gleiche Beschleunigung. Dann ist die Auftriebskraft  . Damit W1 sich nach links bzw W2 nach oben bewegt, muss  :
 .
Ich glaube aber nicht, dass das richtig ist. Ich hab ja sozusagen mir nur selbst was hergeleitet (ausm Kochtopf gezaubert). Ich weiß z.B. nich, ob die Kräfte oder die Beschleunigungen, die auf W2 und W3 wirken, gleich sind. Außerdem glaube ich, dass F auch noch auf W3 direkt einwirkt und zusammen mit der Auftriebskraft dann nach rechts oben wirkt. Aber da wir das alles noch nich hatten...
Ich wollt ja nur mal probieren.
Ich würd mich freuen, wenns diskutiert wird und ich korrigiert werd. 
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 15. Sep 2004 20:47 Titel: |
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Hi MatheSpezi,
es ist sehr erfreulich, daß einer aus der jungen Garde hier mutig voranschreitet
und den Anfang macht. Respekt dafür  !!
Aber nun muß ich dir deine Fehler erklären  .
Zu a)
F=m*a braucht man natürlich auf jeden Fall bei dieser Aufgabe. Damit hat man aber höchstens
die halbe Miete beisammen. Es gibt auch noch Actio=Reactio und dieses Newton'sche Axiom
benutzt man hier am besten in der Form des Impulserhaltungssatzes. Den hast Du allerdings
nicht beachtet (aber das macht nichts, das kannst Du ja jetzt lernen). Deine Feststellung,
daß auf W2 die Gewichtskraft Fg=(m2)g wirkt ist richtig, aber Du mußt bedenken, daß diese
Kraft auch die Masse von W1 mit beschleunigt. Deswegen kann die vertikale Beschleunigung
von W2 nicht g sein sondern muß kleiner als g sein.
Außerdem soll auch noch angegeben werden, welche horizontale Beschleunigung W3 für F=0 erfährt!
Zu b)
Du bist gar nicht so weit vom richtigen Ergebnis entfernt. Wenn Du daran denkst, daß in dem Fall,
in dem alle Wagen die gleiche Beschleunigung erfahren und die vertikale Beschleunigung von W2
verschwindet, F alle drei Massen gleich beschleunigt, dann bist Du deinem Fehler auf der Spur.
Es ist hilfreich, zunächst diesen Spezialfall zu betrachten, also den Wert für F zu berechnen,
für den die vertikale Beschleunigung von W2 verschwindet und alle drei Wagen die gleiche
horizontale Beschleunigung erfahren. Diesen Wert muß F überschreiten, damit die gwünschte Bewegung
der Wagen eintritt.
Es ist physikalisch korrekter, wenn Du statt vom Auftrieb von der Trägheit
des Wagen W1 sprichst. Diese Trägheit bremst den Fall von W2! Ein Auftrieb wie in einer Flüssigkeit
oder einem Gas ist das nicht.
Falls meine Bemerkungen verständlich waren, dann schaffst Du es eventuell noch, das Problem
zu knacken. Allerdings mußt Du deine physikalische Argumentation noch mal genau
Durchdenken und präziser darstellen.
Gruß von Bruce.
@edit
Da oben stand der Satz: Der Betrag der horizontalen Beschleunigung
von W1 ist natürlich gleich dem Betrag der vertikalen Beschleunigung von W2.
Das ist Unfug!
Leider ist mir das erst aufgefallen, nachdem ich den unten stehenden
Ansatz von Meromorpher gesehen habe.
Zuletzt bearbeitet von Bruce am 16. Sep 2004 21:44, insgesamt einmal bearbeitet |
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Meromorpher
Anmeldungsdatum: 09.03.2004
Beiträge: 388
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| Meromorpher Verfasst am: 16. Sep 2004 13:01 Titel: |
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Hallo, muss gerade warten bis der PC fertig gerechnet hat und fang auch mal an:
Sei x die Richtung in die F wirkt und z die Richtung der Gewichtskraft und M die Gesamtmasse.
Man kann die Kraft auch durch ein Potential ausdrücken:  .
Die kinetische Energie ist: +m_1\left(\dot{x}- \dot{z} \right)^2 \right)) .
Der Unterschied für  und  kommt daher, dass einmal die Geschwindigkeiten parallel und einmal orhtogonal zueinander sind.
 :
+m_1\left(\dot{x}- \dot{z} \right)^2 \right)+F \cdot x-m_2g \cdot z)
 \dot{z}^2 - m_1 \dot{x} \dot{z}+F \cdot x-m_2g \cdot z)
Es gilt:
 ,
 .
Also:
 \ddot{z} - m_1 \ddot{x})
Jetzt könnte man durch einsetzen  elimineren und durch integration lösen. Bedingung für b) ist, dass  .
Ich hab' jetzt keine Zeit/Lust mehr dazu, vielleicht nimmt jemand meine Überlegungen als Ansatz und schreibt ob die Zwangsbedingungen etc. richtig sind (da bin ich mir nicht sicher) und was rauskommt..
EDIT: Ein paar 1/2 korrigiert..
Zuletzt bearbeitet von Meromorpher am 16. Sep 2004 22:36, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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navajo
Moderator
Anmeldungsdatum: 12.03.2004
Beiträge: 618
Wohnort: Bielefeld
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| navajo Verfasst am: 16. Sep 2004 17:46 Titel: |
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So ich will auch :
Die Gravitation wirkt nur auf m2, weil unter m1 m3 ist. Wegen dem Faden wird aber auch m1 mitbeschleunigt:
a_{12}=m_2g)
Die Beschleunigung ist gesucht, also umgeformt:
g)
Und wegen Actio=Reactio wird auch noch m3 beschleunigt:
Nach a_3 aufgelöst:
a_{12})
Ob das richtig ist? 
_________________
Das Universum ist 4 Mio Jahre alt, unbewohnt und kreist um die Sonne. |
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Mathespezialschüler
Anmeldungsdatum: 14.05.2004
Beiträge: 22
Wohnort: Berlin
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| Mathespezialschüler Verfasst am: 16. Sep 2004 21:13 Titel: |
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| Bruce hat Folgendes geschrieben: |
Es gibt auch noch Actio=Reactio und dieses Newton'sche Axiom
benutzt man hier am besten in der Form des Impulserhaltungssatzes. Den hast Du allerdings
nicht beachtet (aber das macht nichts, das kannst Du ja jetzt lernen). Deine Feststellung,
daß auf W2 die Gewichtskraft Fg=(m2)g wirkt ist richtig, aber Du mußt bedenken, daß diese
Kraft auch die Masse von W1 mit beschleunigt. Deswegen kann die vertikale Beschleunigung
von W2 nicht g sein sondern muß kleiner als g sein. Der Betrag der horizontalen Beschleunigung
von W1 ist natürlich gleich dem Betrag der vertikalen Beschleunigung von W2. |
Das mit dem Impulserhaltungssatz hatte ich ja noch nich und die newtonschen Axiome auch noch nich. Das hatte ich ja aus dem Board hier (regelmäßiger Leser).
Aber wenn ich mit der 11. fertig bin und ich das alles hatte, dann guck ich mir das nochmal an.
Ich bin ja schon froh, dass mein Ansatz gar nicht so falsch ist.
Also danke für die Rückmeldung!
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Bruce
Anmeldungsdatum: 20.07.2004
Beiträge: 537
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| Bruce Verfasst am: 16. Sep 2004 21:16 Titel: |
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@navajo
Wenn ich deinen Ansatz richtig verstanden habe, dann liegst Du falsch!
Schau dir mal die nachfolgende Herleitung an. Dein wesentlicher Fehler
liegt nach meiner Einschätzung darin, daß Du auch für a) nicht auf den
Energieerhaltungssatz verzichten kannst.
Ich gebe zunächst mal die von mir berechnete Lösung für a) an.
Die x-Koordinate: Horizontal von rechts nach links.
Die z-Koordinate: Vertikal von oben nach unten.
Es sei x die x-Koordinate von W3 und z die z-Koordinate von W2.
Dann ist
)
die Geschwindigkeit von W3 relativ zum Boden und für die
Geschwindigkeiten v1, v2 der Wagen W1 bzw. W2 gilt:
 \qquad v_2=(\dot{x},\dot{z}).)
Zum Zeitpunkt t=0 soll x=z=0 und v1=v2=v3=0 gelten.
Außerdem wird M=m1+m2+m3 gesetzt.
Die horizontale Komponente des Gesamtimpulses der 3 Wagen ist 0
und bleibt konstant, da in der Horizontalen keine äußere Kraft
auf das System einwirkt. Demnach gilt:
+(m_2+m_3)\,\dot{x}=0 \,\Rightarrow\, \dot{z}=\frac{M}{m_1}\,\dot{x} \,\Rightarrow\, z=\frac{M}{m_1}\,x)
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt:
^2+m_2(\dot{x}^2+\dot{z}^2)+m_3\dot{x}^2)=m_2gz.)
Hier wird
berücksichtigt. Setzt man das in den Energierhaltungssatz ein, so folgt:
mit
\,-\,\frac{m_1}{m_2}})
Also gilt:
Das war, wie versprochen, alles im Rahmen der Schulphysik bis spätestens Jahrgangsstufe 12!
Hat jemand von euch schon in der Schule den Lagrange-Formalismus der analytischen Mechanik
kennengelernt? Ich jedenfalls nicht, aber meine Schulzeit war ja auch im letzten Jahrtausend .
Falls ich was falsch gemacht habe, dann laßt es mich bitte wissen!!
Gruß von Bruce.
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Meromorpher
Anmeldungsdatum: 09.03.2004
Beiträge: 388
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| Meromorpher Verfasst am: 16. Sep 2004 22:49 Titel: |
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Wenn ich F=0 setze (und die Richtung von z umdrehe) bekomme ich (schnell überschlagen) das Gleiche raus.. Fazit: 2x ähnlich: Dann stimmts (hoffentlich)
Mit klassicher Mechanik ist es aber etwas viel Aufwand für den a)-Teil..
Mein Abi liegt auch schon ein halbes Jahrzehnt zurück. Keine Ahnung wann man was gemacht hat. Anders kann ich das auch gar nicht mehr. Würde ich nicht Tutorien fürs Grundstudium halten hätte ich selbst das vergessen
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