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Klondyijk457
Gast
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 Klondyijk457 Verfasst am: 09. Sep 2012 17:37 Titel: (Elektro-) Magnetismus Relativität und Elektronen |
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Meine Frage:
Hallo,
schönes Wetter heute... und das stimmt auch. 
Eigentlich gibt es ja nicht Magnetismus und Elektrizität sondern nur Elektromagnetismus. Speziell wenn man die Relativitätstheorie hinzu nimmt...
Meine Ideen:
Ich habe hier mal ein kleines Paradoxon.
Man kennt ja die Gedankenexperimente mit dem geraden, neutralen Draht, in dem ein (e-)-Strom fließt und dem, in gleiche Richtung bewegten Elektron außerhalb.
[url] http://de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_Relativitätstheorie#Lorentzkraft [/url]
Reduzieren wir das mal auf 2 Elektronen:
Man nehme 2 Elektronen im Abstand r zueinander. Ruhen diese, wirkt nur eine elektrische, abstoßende Kraft.
In Bewegung wirkt auch eine magnetische, anziehende. Dadurch bewegen sie sich in diesem IS langsamer von einander weg.
Die Zeitdillatation schließt den Kreis und alle sind glücklich, dass es von den Ergebnissen her nur eine Realität gibt.
Soo...
Eine Frage vorab: Ich suche ne Formel für das Magnetfeld (o.ä) eines bewegten Elektrons. Sowas wie B ~ q_e*v_e/r^2 , ähnlich wie beim Coulomb.
Hat jemand eine Idee??
Naja, wie es auch aussieht, sicher ist, es gibt ein Magnetfeld um bewegte Ladungen.
Nehmen wir uns also nocheinmal die beiden Elektronen. Diese besitzen nun gerade den Abstand und die Geschwindigkeit, sodass sich elektrische Abstoßung und magnetische Anziehung im Feld des jeweils anderen aufheben. Wie beim "Wienfilter" sozusagen.
Somit fliegen die Elektronen "für immer" geradeaus neben einander her.
Im Elektronen-Bezugssystem gibt es allerdings keine magnetische Kraft, sodass sie sich in endlicher Zeit abstoßen.
Das ist das Problem. ..außer für v=c und unendliche Zeitdehnung. Aber ich bezweifele, dass sich die Elektronen in diesem Fall nur mit c bewegen können. Und andere bezweifeln eh die Möglichkeit der unendlichen Zeitdehnung.
Wer hat eine Meinung dazu?
Wo ist der Haken?? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 09. Sep 2012 18:59 Titel: |
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Das el.-mag. Feld eines bewegten Elektrons ist recht kompliziert zu berechnen.
Starten wir mit dem Coulombfeld
 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec{e}_r)
Nun wollen wir das el.-mag. Feld aus Sicht eines bewegten Bezugssystems berechnen. In diesem Bezugssystem muss keine zweite Ladung vorhanden sein.
Dazu wendet man die Lorentz-Transformation für el.-mag. Felder an
-(\gamma-1)(\vec{E}\vec{e}_v)\vec{e}_v)
-(\gamma-1)(\vec{B}\vec{e}_v)\vec{e}_v)
wobei ich c=1 setze und einen Einheitsvektor in Bewegungsrichtung einführe.
Nun kann man das o.g. Coulombfeld zweier Elektronen einfach addieren und anschließend die Lorentz-Transformation anwenden
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Klondyijk457
Gast
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| Klondyijk457 Verfasst am: 10. Sep 2012 00:15 Titel: |
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Okay,
danke erstmal.
Jetzt geht es also erstmal um das "B-Feld eines Elektrons" ?!?
Also, verstehe ich das richtig, dass vom ruhenden E-Feld ausgegangen wird. Und einfach Lorentz-transformiert wird?!
Dann kommt
-(\gamma-1)(\vec{B}\vec{e}_v)\vec{e}_v )
heraus, wobei B=0 und in diesem Fall  .
Also wäre
 , mit  , (...c=1).
Das sieht ja schon mal recht ordentlich aus. Dazu gleich mehr...*
Könntest du mir bitte kurz erklären wo genau die Gleichungen für E' und B' herkommen, ich habe das alles nicht mehr so direkt auf der Platte... ..ein kurzes aber präzises Stichwort könnte schon genügen. Und woher komen die (\gamma-1)-Terme??! ...wären für den gesuchten Spezialfall eh "0", aber ich wüsste das schon gerne..
Und vor allem, was ist überhaupt der Grund für die Trafo der Felder?
*So, Laut 'Formelsammlung' ergibt sich makroskopisch für das B-Feld um einen Leiter:
Nimmt man  an, mit rho_0: Lineare Ladungsdichte, und setzt die B's gleich, kommt man letztlich auf:
 .
Die Elektronen in typischen Leitern bewegen sich ja nicht wirklich schnell, also "\gamma->1", aber egal.
Da klingelt doch was... Aber was? Ich will es mal so formulieren: Woher könnte ich den Ausdruck "q/(2r)" in Bezug auf Elektronen kennen???
Mal ganz abgesehen von der "B-Feld-Berechnung":
Bei dem System aus 2 Elektronen müsste es doch je nach Abstand "r_0" zwichen den beiden eine Geschwindigkeit "v" orthogonal zu "r_0" geben, mit welcher sich beide Elektronen bewegen, bei der sich die abstoßende Kraft "F_el" und die anziehende "F_mag" gerade kompensieren. Darum wäre der Abstand dann immer konstant.(A)
Das mutmaßliche Problem ergibt sich, wenn man in das Bezugssystem der Elektronen wechselt:
Der Abstand "r_0" bleibt, weil orthogonal, unverändert.
Was fehlt ist die Geschwindigkeit und damit die kompensierende "F_mag".
Also bleibt eine abstoßende "F_el", die dazu führt, dass sich der Abstand zwischen den Elektronen mit der Zeit vergrößert.(B)
Diese Beobachtungen machen für mich aber nur bei v=c Sinn, weil der Vorgang im unbewegten Bezugssystem dann im bewegten in unendlicher Zeit, also nie ablaufen würde... Das würde aber einem "v(r)" wiedersprechen, ...da v=c nicht von r abhängt.
Analog zum "Wienfilter" muss man auch hier E- und B-Feld so einstellen, dass sie sich aufheben. Und das wird hier eben über den Abstand der Elektronen zueinander und ihre Geschwindigkeit gemacht...
War je klar, beim Herumstöbern, habe ich genau dieses Experiment auf Wikipedia unter "Elektrodynamik" gefunden. Wer hätte das gedacht...
"de.wikipedia.org/wiki/Elektrodynamik#Elektrodynamik_und_Relativit.C3.A4tstheorie"
Dort wird am Rande angemerkt, dass es tatsächnich nur für v=c so geht, aber nicht warum..
Wo ist mein Denkfehler?!? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 10. Sep 2012 07:36 Titel: |
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Deine Herleitung ist nicht ganz korrekt: zunächst setzt du korrekterweise B=0, also
(\vec{E}\vec{e}_v)\vec{e}_v)
Aber für E musst du das o.g. Coulombfeld einsetzen, und das ergibt leider einen recht komplexen Term, da natürlich eine Bedingung der Parallelität von v und E nicht global gelten kann; das Colulombfeld hat ja eine radiale Richtung, während v parallel zu einer Koordinatenachse zeigt.
Die Transformation ergibt sich aus dem Feldstärketensor F(E,B) der Elektrodynamik, d.h.
und dessen Lorentztransformation
http://de.wikipedia.org/wiki/Elektromagnetischer_Feldst%C3%A4rketensor
http://de.wikipedia.org/wiki/Lorentz-Transformation
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Klondyijk457
Gast
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| Klondyijk457 Verfasst am: 10. Sep 2012 15:11 Titel: |
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Danke nochmal. Es wird..
Aber warum ist das nicht korrekt??
Wie gesagt, es geht hier letztendlich um 2 Elektronen. Jeweils eines besitzt eine gegebene Geschwindigkeit und wird von den Feldern des anderen beeinflusst, die sowohl zueinander als auch zur Geschwindigkeit orthogonal stehen..
Sprich z.B. X-Achse: E-Feld, Y-Achse: v, Z-Achse: B-Feld
Das Coulombfeld ist doch eingesetzt worden. Woher sollte ich sonst das mu_0 bekommen.. Bei mir handelt es sich auch nicht mehr um Vektoren, wie man sieht..
Besten Dank für die expliziten links zu Wikipedia... Bei diesen Formeln taucht auch der (gamma-1)-Term auf, je nach dem wo man auf Wikipedia sucht.. Aber woher kommt der?
Und was ist die Begründung dafür, dass man Lorentz-transformieren darf und muss?? Was ist das "raumzeitliche" bei den Feldern?? -Denn ich dachte Einstein hätte nur was mit Raum, Zeit und Masse zu tun..
Kurzum: Werden alle erdenklichen Felder bei Bewegung transformiert???
Und: Woher weiß man, dass man hier so transformieren muss, wie man es macht, und nicht anders, z.B. auf eine noch nicht ergründete Weise..?!
Ach, bezüglich
etc.
Vergesst das, das ist nie passiert.
Wenn ich es mir recht überlege, müsste das obige B(I,..) die "Summe" einzelner Elektronen-B-Felder sein, analog zum E-Feld eines geladenen Drahtes, das ebenfalls mit 1/r abfällt.
Plots von Elektronen-E-Feldern hat jeder schon mal gesehen: "radiale Strahlen".
Mich würde das Aussehen vom Elektronen-B-Feld interessieren, speziell die Form des B-Feldes "vor" und "hinter" dem bewegten Elektron. Denn eigentlich sollte es ja nur B-Feld in der Ebene senkrecht zur Flugbahn geben, oder?? Klingt für mich allerdings nicht stetig genug... Seitlich davon handelt es wie bekannt um kreisförmige Feldlinien, soviel ist sicher.
Und sonst, keine Meinung zum Wienfilter etc.?? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 10. Sep 2012 17:52 Titel: |
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| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Wie gesagt, es geht hier letztendlich um 2 Elektronen. |
Nein, es geht zunächst mal um das statische Coulombfeld eines einzelnen Elektrons aus Sicht des (relativ zu diesem) ruhenden Beobachters sowie um das daraus resultierende el.-mag. Feld für einen (relativ zu diesem) bewegten Beobachter. Zwei Elektronen haben wir noch gar nicht betrachtet.
| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Aber warum ist das nicht korrekt?? |
Weil die Geschwindigkeit z.B. in x-Richtung zeigt, das Feld aber auch y- und z-Komponenten haben kann, je nach dem an welchem Punkt man es betrachtet.
Betrachten wir zwei Spezialfälle:
a) der Beobachter befindet sich auf der x-Achse in Ruhe, das Elektron bewegt sich entlang der x-Achse. Dann sind (auf der x-Achse) E-Feld und Geschwindigkeit exakt parallel. Aber irgendwo anders im Raum (nicht auf der x-Achse) nimmt ein Beobachter ein zeitlich variierendes E-Feld auch mit variierender Richtung (!) wahr.
b) der Beobachter befindet sich nicht auf der x-Achse, sondern ist in y-Richtung versetzt und bewegt sich mit dem Elektron mit. Dann kann man analog argumentieren.
| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Das Coulombfeld ist doch eingesetzt worden. … Bei mir handelt es sich auch nicht mehr um Vektoren, wie man sieht. |
Das ist evtl. das Problem.
Betrachte zwei ruhende Elektronen bei (x,y,z) = (a,-b/2,0) und (a,b/2,0) aus Sicht eines ruhenden Beobachters bei (0,0,0). Dieser wird eine Kraft auf das zweite Elektron verursacht durch das elektrische Feld des ersten Elektrons u.u. feststellen
Betrachte zwei sich parallel bewegende Elektronen bei (x,y,z) = (vt,-b/2,0) und (vt,b/2,0) aus Sicht eines ruhenden Beobachters bei (0,0,0). Dieser wird eine Kraft (Coulomb + Lorentz!) auf das zweite Elektron verursacht durch das elektromagnetische Feld des ersten Elektrons u.u. feststellen. Aber dazu muss er das Feld des ersten Elektrons am Ort des zweiten Elektrons berechnen, und dabei zeigt die Geschwindigkeit, die in Lorentz-Trf. eingeht, immer in x-Richtung, die Felder weisen jedoch zu jedem Zeitpunkt radial von den Punkten (vt,-b/2,0) und (vt,b/2,0). Damit gilt zwar aus Sicht des einen Elektrons immer, dass das andere Elektron genau in y-Richtung versetzt ist und damit das Elektron immer nur ein statisches E-Feld des jeweils anderen Elektrons in y-Richtung sieht (beide Elektronen sind relativ zueinander in Ruhe); aus Sicht des ruhenden Beobachters gilt dies jedoch nicht, da sich bzgl. dieses Beobachters beide Elektronen bewegen!! Aus dessen Sicht muss das el. Feld wie von mir beschrieben transformiert werden.
| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Bei diesen Formeln taucht auch der (gamma-1)-Term auf, je nach dem wo man auf Wikipedia sucht.. Aber woher kommt der? |
Letztlich aus der von mir genannten Lorentz-Transformation für Vierer-Tensoren zweiter Stufe.
| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Und was ist die Begründung dafür, dass man Lorentz-transformieren darf und muss?? |
Die „Begründung“ liegt genau in der Forminvarianz der Maxwellgleichungen unter Lorentz-Transformation. Die Problematik besteht darin, dass es sich hier nicht um Vektoren sondern um Vektorfelder handelt. Bei Vierervektoren „im Raum“ wie einem Raumzeitpunkt mit (t,x), Vierergeschwindigkeit, … reicht es aus, genau diesen Vektor zu betrachten bzw. zu transformieren. Bei Vektor- und Tensorfeldern gilt ein komplizierteres Transformationsverhalten, d.h. z.B. erscheint ein elektrisches Feld E am Punkt P für einen bewegten Beobachter eben als el.-mag. Feld gemäß der o.g. Transformation.
| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Kurzum: Werden alle erdenklichen Felder bei Bewegung transformiert??? |
Ja.
Wobei im einfachsten Fall bei Skalarfeldern (z.B. der Temperatur), der Wert unverändert bleibt, während bei Vektorfeldern (Viererpotential, Viererstromdichte) und Tensorfeldern (el.-mag. Feldstärkentensor, Energie-Impuls-Tensor) kompliziertere Transformationsvorschriften anzuwenden sind.
| Klondyijk457 hat Folgendes geschrieben: | | Woher weiß man, dass man hier so transformieren muss, wie man es macht, und nicht anders, z.B. auf eine noch nicht ergründete Weise..?! |
Na ja, das lernt man im Zuge der relativistischen Elektrodynamik. So ganz auf die Schnelle kann man das nicht erklären …
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Klondyijk457
Gast
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| Klondyijk457 Verfasst am: 12. Sep 2012 23:28 Titel: |
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Ich verstehe nicht ganz worauf du hinaus willst..
So wie die Formel für den B-Feld-Betrag aussieht,
kann die doch garnicht falsch sein... 
Mir geht es eher um das "Paradoxon".
Das statische E-Feld ist dies:
=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec{e}_r)
Das B-Feld ist "[0,0,0]".
Die bewegten E- und B-Felder sind diese
(\vec{E}\vec{e}_v)\vec{e}_v)
D.h.: Das B-Feld steht senkrecht auf v und E, hat also keine Komponente in v-Richtung..
Das E-Feld wird (wegen des (gamma-1)-Terms) in die Ebene senkrecht zur Flugbahn "gedrückt".
Wir betrachten nur einen bestimmten Punkt im Feld. Der befindet sich, wenn in-Richtung-v "vorne" ist, "seitlich" zum Elektron.
Dort ist
Letztlich bekomme ich für die Lorentz-Kraft,
)
heraus, mit c=1. Hier sieht man, dass man E nicht explizit einsetzen muss. Es genügt die Eigenschaften in dem einen Punkt zu kennen.
Gefordert wird, um das Paradoxon aufzulösen, dass F_L=0 nur für v=c (bzw. v=1), was hier der Fall ist.
Also doch kein Paradoxon...
...ich denke so passts... |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18206
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| TomS Verfasst am: 13. Sep 2012 00:51 Titel: |
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OK, wir gehen aus von
und setzen
Dann ist
E(\vec{e}_r\vec{e}_v)\vec{e}_v)
Nun betrachtest du den Punkt, an dem sich das zweite Elektron „neben“ dem ersten befindet. Dort ist
wobei der letzte Vektor senkrecht auf der Ebene steht, in der der Geschwindigkeitsvektor sowie der Verbindungsvektor der beiden Elektronen liegen. Damit folgt für diesen Punkt
Für die Lorentzkraft gilt zunächst
)
Wobei das Minuszeichen vor dem zweiten Term daher stammt, dass die Geschwindigkeit des Elektrons im B’ Feld gerade der negativen Geschwindigkeit des Lorentzboosts entspricht.
Einsetzen liefert
 = q\gamma E(\vec{e}_r + v^2\vec{e}_v\times(\vec{e}_v\times\vec{e}_r)) = q\gamma (1-v^2)E\vec{e}_r = q\gamma^{-1} \vec{E} )
OK, das Ergebnis gilt für genau den Ort des zweiten Elektrons im Feld des ersten u.u.; ja, ich sehe das ein, was du sagst.
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