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physs
Gast
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 physs Verfasst am: 15. Jan 2011 14:51 Titel: Zwillings-Astronauten (Relativitätstheorie) |
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Hallo, ich habe mal ein Logikproblem bei der Rlativitätstheorie.
Angenommen es gibt zwei Zwillinge und beide reisen von der Erde aus los. Die wollen jetzt z.B. sich in 4 Lichtjahren Entfernung treffen, aber sind mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten unterwegs. Wenn an diesem Treffpunkt der Schnellere auf den Langsameren gewartet hat, welcher ist dann älter?
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß, was jetzt das Inertialsystem ist. Wenn ich die Erde nehme, geht die Zeit vom schnelleren Zwilling ja langsamer, aber andererseits muss er ja auch eine Weile warten und bewegt sich dabei nicht mehr...
Kommt es dabei auf die Geschwindigkeitsdifferenz an? Angenommen der eine fliegt mit 4/5 der Lichtgeschwindigkeit und der andere mit 3/5 oder so...kann man das dann bestimmen?
Bin verwirrt, danke für Antworten  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 15. Jan 2011 15:51 Titel: |
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Je komplizierter die Geschwindigkeitsverläufe sind, desto schwieriger die Rechnung. Generell ist die sogenannte invariante Länge der Weltlinie der beiden Astronauten gleichbedeutend mit deren Eigenzeit und damit auch ein Maß für ihr jeweiliges Altern.
Ich setze im folgenden der Einfachheit halber c=1; dann gilt
wobei s die vierdimensionale "Länge" bezeichnet, die i.A. auch negativ sein kann, aber hier speziell für eine physikalisch mögliche Bewegung betrachtet wird und daher immer positiv ist; die Eigenzeit bezeichne ich mit griech. tau.
Nun betrachten wir eine Kurve C durch die Raumzeit und deren Länge S
Aufgrund von c=1 ist dies auch die Eigenzeit, die entlang dieser Kurve C vergeht, d.h. ein Astronaut altert entlang dieser Kurve um
Das Linienelement ds kann nun geschrieben werden als
wobei ich auf die weiteren Dimensionen (und damit räumlichen Kurven, Kreisbahnen usw.) verzichte. Ausklammern von dt liefert
)
also den bekannten Faktor aus der Relativitätstheorie. Nun schreiben wir
wobei ich einfach nur die Wurzel gezogen habe. t steht nun für die Koordinatenzeit in einem bestimmten Koordinatensystem, d.h. z.B. im Ruhesystem, von dem aus die Rakete startet. Wir betrachten nun zwei Astronauten A und B, die sich jeweils mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, aber letztlich am Zielpunkt wieder treffen. D.h. aber, sie müssen sich zur selben Zeit t=T wieder treffen, damit laufen beide Integrale von 0 bis T
Außerdem muss man nun noch erlauben, dass zumindest ein Astronaut unterwegs seine Geschwindigkeit ändert, sonst können sie sich ja nie mehr treffen; also erhalten wir sicher zwei Integrale, wobei die beiden Integrale für das erste sowie das zweite Wegstück stehen.
}_{A,B}}^2} + \int_{T^\prime_{A,B}}^T dt\sqrt{1-{v^{(2)}_{A,B}}^2})
Bisher gilt implizit immer v=v(t). Nehmen wir nun an, dass entlang dieser beiden Wegstücke die beiden Astronauten mit konstanter Geschwindigkeit unterwegs sind, dann kann man sofort integrieren und es gilt
}_{A,B}}^2} + (T-{T^\prime_{A,B}}) \sqrt{1-{v^{(2)}_{A,B}}^2})
Die Zeiten T' für die beiden Astronauten A und B stehen für die Zeit (im Ruhesystem), zu denen die Astronauten jeweils ihre Geschwindigkeit wechseln. Natürlich müssen sämtliche Geschwindgkeiten und Zeiten so zusammenpassen, dass beide Astronauten bei T jeweils gleich weit geflogen sind. Das müsstest du nun noch ausnutzen, um die Rechnung zu beenden.
Der Altersunterschied der Astronauten ergibt sich demzufolge als Differenz dieser beiden Terme einmal für A und einmal für B. Das ist aber schon etwas komplizierter, wie du siehst.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5044
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| DrStupid Verfasst am: 15. Jan 2011 16:20 Titel: Re: Zwillings-Astronauten (Realtivitätstheorie) |
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| physs hat Folgendes geschrieben: | | Angenommen es gibt zwei Zwillinge und beide reisen von der Erde aus los. Die wollen jetzt z.B. sich in 4 Lichtjahren Entfernung treffen, aber sind mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten unterwegs. Wenn an diesem Treffpunkt der Schnellere auf den Langsameren gewartet hat, welcher ist dann älter? |
Für den Weg s braucht der Langsame dafür die Zeit
t1 = s/v1
Dabei vergeht in seinem Ruhesystem die Zeit
t1' = t1·sqrt(1-v1²/c²)
Der schnellere braucht die Zeit
t2a = s/v2
und muss dann noch für die Zeit
t2b = t1 - t2a
warten. Dabei vergeht in seinem Ruhesystem die Zeit
t2' = t2a·sqrt(1-v2²/c²) + t2b |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2011 15:13 Titel: |
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Schauen wir uns mal an, wie wir weiterkommen.Als erstes setzen wir an, dass beide Astronauten zur selben Zeit am selben Ort sein müssen, also
}_A + (T-T^\prime_A) v^{(2)}_A = T^\prime_B v^{(1)}_B + (T-T^\prime_B) v^{(2)}_B = s)
wobei s die zurückgelegte Strecke ist.
Für den Fall, dass der Astronaut A sich zuerst schneller bewegt als der Astronaut B, dann aber (in Ruhe, d.h. mit v=0) auf ihn wartet, vereinfacht sich das zu
}_A = T v^{(1)}_B = s)
Nun kann man die Gleichung für die Eigenzeiten vereinfachen
}_{A,B}}^2} + (T-{T^\prime_A}) )
}_B}^2} )
Nun eliminiert man T und T' aus der ersten Gleichung mittels der Geschwindigkeiten sowie s und setzt in die Gleichungen für die Eigenzeiten ein.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 16. Jan 2011 16:22 Titel: |
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Also
und damit
)
Um einen vernünftigen Vergleich durchführen zu können, bildet man den Quotienten
}{v_A\sqrt{1-v_B^2}}
<br />
)
Diese Darstellung hat den Vorteil, dass die Werte T und T' aus dem Ruhesystem völlig eliminiert sind, d.h. es treten nur noch die beiden Eigenzeiten der Astronauten (ggf. die zurückgelegte Strecke s) sowie (im Quotienten) die nur noch Geschwindigkeiten der Astronauten auf.
Außerdem hat die Formel sozuagen die Synchronisierung eingebaut; sie gilt explizit für den Punkt, an dem sich die beiden Astronauten wieder treffen.
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physs
Gast
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| physs Verfasst am: 21. Jan 2011 16:23 Titel: |
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O, wie kompliziert. Also mit Integralen kenne ich mich noch nicht aus....Bin erst in der 10/EF.
Ich habe das bisher so gerechnet. Ist das richtig? Eher nicht, also: Was muss ich da noch verbessern?
Hinflug1:
Er braucht 5 Jahre um mit 80% Lichtgeschwindigkeit 4 Lichtjahre zurückzulegen. (Bezugssytsem Erde?)
Bei einem Gammafaktor von 5/3 bewirkt die Zeitdilatation, dass auf dem Raumschiff nur 3 Jahre vergehen.
Bei einem Gammafaktor von 5/4 vergehen auf dem Raumschiff 6,67*0,8=9,333 Jahre.
--> Unterschied=1,67 Jahre |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 21. Jan 2011 22:58 Titel: |
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| physs hat Folgendes geschrieben: | | O, wie kompliziert. Also mit Integralen kenne ich mich noch nicht aus.... |
Es ging nur um die Herleitung; ich wollte die zur expliziten Berechnung notwendigen Formeln nur ableiten
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18110
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| TomS Verfasst am: 21. Jan 2011 23:16 Titel: |
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Versuche doch einfach, die genannten Formeln anzuwenden:
Die beiden Geschwindigkeiten sind klar; s ist der zurückzulegende Weg (4 LJ). Für die beiden v's kannst du direkt 4/5 und 3/5 einsetzen. In der ersten Formel wird außerdem die "Wartezeit des schnelleren Astronauten berücksichtigt; die hast du übersehen.
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