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Petrificus
Anmeldungsdatum: 04.06.2007
Beiträge: 11
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 Petrificus Verfasst am: 04. Jun 2007 18:35 Titel: Singuläre Dichtefunktion |
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Hallo,
ich verzweifel gerade an der folgenden Aufgabe:
Gegeben sei ein unendlich langer stromdurchflossener Leiter mit der Ladungsdichte  pro Längeneinheit. Er liegt in der z- Ebene und ist in Parabelform gebogen, d.h. y = C x², wobei C eine konstante ist. Stellen sie die Ladungsverteilung p(r) im Raum in kartesischen Koordinaten mit Hilfe der Delta- Funktion dar.
Denke wir sollen soetwas benutzen wie:
 dV = \int \lambda(s) ds)
Folgendes Beispiel hatten wir in der Vorlesung:
Draht auf Diagonale: x = y
Ansatz:
 dV = \int dx \int dy \int dz \lambda \delta(x-y) \delta(z) = \int dx \lambda)
Aber das Differential ist:
Also:
 \lambda dV = \int \lambda(s) ds = \int \sqrt{2} \lambda dx )
Widerspruch. Der Ansatz muss lauten:
 = \sqrt{2} \lambda \delta(x-y) \delta(z) )
Ertsmal versteh ich nicht warum  \delta(z) = \int dx \lambda) gilt (Dass die z- Komponente wegfällt ist klar, aber den Rest versteh
ich nicht), und beim Aufstellen des Differentials macht das Quadrat Probleme... |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Jun 2007 01:54 Titel: |
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Magst du dir da erstmal anschauen, was die Deltafunktion genau ist?
Die Deltafunktion ist ja nur dort ungleich Null, wo ihr Argument, also das was in Klammern hinter dem Delta steht, gleich Null ist. Verstehst du damit schon, warum im Argument der Deltafunktion für die Winkelhalbierende  stand? |
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Petrificus
Anmeldungsdatum: 04.06.2007
Beiträge: 11
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| Petrificus Verfasst am: 05. Jun 2007 09:21 Titel: |
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Naja, weil ja x-y gleich Null ist, also die Deltafunktion nicht Null. Aber warum fällt denn das  weg und  bleibt stehen? Mit anderen Worten:
Wie genau werte ich dann diese Deltafunktion aus? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Jun 2007 14:16 Titel: |
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Was weißt du denn schon über die Delta-Funktion? Was passiert, wenn man drüber integriert? Geht das nicht nur in einer Dimension, sondern auch im Mehrdimensionalen? |
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Petrificus
Anmeldungsdatum: 04.06.2007
Beiträge: 11
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| Petrificus Verfasst am: 05. Jun 2007 14:32 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | Was weißt du denn schon über die Delta-Funktion? Was passiert, wenn man drüber integriert? Geht das nicht nur in einer Dimension, sondern auch im Mehrdimensionalen? |
Hm, unser Prof hat immer soetwas gesagt, wie: Die Deltafunktion pickt dir gerade die Nullstellen raus. In unserem Fall also:
Lösen wir das Integral dy, ist die Nullstelle der Deltafunktion gerade -x. Dies müssten wir jetzt in die Funktion einsetzen, da wir aber keine haben (bzw. sie ist 1) taucht kein y mehr auf? Das würde es erklären...
Also, ich hab mal das Differential aufgestellt:
)
Wie bin ich drauf gekommen?
dy errechnet sich ja gerade aus der Ableitung an der Stelle x multipliziert mit der infinitesimalen Strecke dx.
Ableizung von f(x):
 = 2Cx)
Also 
Es folgt also:
 dV = \int \lambda \sqrt{1+4C²x²} dx)
Bleibt zu überlegen, wie p(r) gewählt werden muss.
Allgemeiner Ansatz aus der Vorlesung:
 = A(\vec{r}) \lambda \cdot \delta(L(\vec{r},s)))
L(r,s) beschreibt den Weg entlang des Drahtes. Im Allgemeinen ist A eine Funktion des Ortes (steht ja auch oben).
Mein Ansatz:
 =\lambda \sqrt{1+4C²x²} \delta(x-\sqrt{\frac{y}{C}}) \delta(z) )
dz würde wegfallen.
Die Nullstelle würde, wenn wir unser Integral über y lösen gerade Cx² sein. Da unsere Funktion nicht von y abhängt, entfällt dieser Term. Dann würden beide Seiten übereinstimmen:
 dV =\iiint \lambda \sqrt{1+4C²x²} \delta(x-\sqrt{\frac{y}{C}}) \delta(z) dx dy dz = \int \lambda \sqrt{1+4C²x²} dx = \int \lambda ds)
Was sagt ihr dazu (oder du Markus) ? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 06. Jun 2007 04:36 Titel: |
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Ich glaube, da hast du schon fast alles prima verstanden 
Eine Frage habe ich noch:
Du hast in die Deltafunktion den Ausdruck ) hineingeschrieben, weil der eine Nullstelle bei  hat. Nun gibt es ja aber auch viele andere Ausdrücke, die dieselbe Nullstelle haben, wie zum Beispiel  oder  .
Ist es egal, welchen dieser Ausdrücke du in die Deltafunktion hineinschreibst, oder macht das für die Berechnung des Integrals einen Unterschied?
Kennst du eine Darstellung der Deltafunktion, mit der du das mal ausprobieren kannst und das Integral
 \, \dd y)
für die verschiedenen möglichen Ausdrücke in (...) mal selbst von Hand ausrechnen kannst? (Tipp: Vielleicht magst du das am besten zuerst mal für die beiden Ausdrücke ausprobieren, die ich vorgeschlagen habe.) |
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Petrificus
Anmeldungsdatum: 04.06.2007
Beiträge: 11
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| Petrificus Verfasst am: 24. Jul 2007 12:13 Titel: |
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Hey, wollt nur noch mal Danke für die Hilfe sagen. Is zwar schon n bissl länger her, aber egal.  |
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