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Elektron im 2D-Quantendraht im Magnetfeld
 
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jentowncity



Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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Beitrag jentowncity Verfasst am: 29. Mai 2007 18:16    Titel: Elektron im 2D-Quantendraht im Magnetfeld Antworten mit Zitat

Hallo Leute!
Ich kämpfe schon seit Stunden ohne nennenswerten Erfolg an folgender Aufgabe:

Finden Sie die Eigenenergien des Hamiltonoperators eines Teilchens der Ladung e und der Masse m im äußeren Magnetfeld , das sich entlang der y-Achse in einem harmonischen Potential, und entlang der x-Achse frei bewegt:



Wählen Sie die Eichung so, dass Sie das Problem in einen 1D harm. Oszillator entlang der y-Achse und eine freie Bewegung entlang der x-Achse separieren können.
Gehen Sie nach quadratischer Ergänzung (Sie bekommen einen effektiven harm. Oszillator, wobei die Minima des effektiven Potentials verschoben sind) dann wie beim 1D harm. Oszillator vor, indem Sie den Hamiltonoperator durch einen geeignet als Superposition von y und gewählten Aufsteigeoperator und Absteigeoperator ausdrücken.

In der Übung haben wir den Tip bekommen die Eichung so zu wählen: .
Damit ergibt sich dann der Hamiltonoperator zu:

Wenn man das ausmultipliziert, ergibt sich:


Und hier seh ich nicht wie man weitermachen soll, d.h. wo man die qudratische Ergänzung benutzen soll.
Ich hab bei Beispielen ohne das harm. Potential wie hier: http://summa.physik.hu-berlin.de/~sokolov/QM1/QMall.pdf auf S.66/67 gesehen, dass man noch die Zyklotronfrequenz einführen kann und sich ein definieren kann und das etwas umschreiben.
Aber wie mich das hier konkret weiterbringt seh ich noch nicht.

Kann mir vielleicht jemand helfen? Hilfe
navajo
Moderator


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Beitrag navajo Verfasst am: 30. Mai 2007 10:38    Titel: Antworten mit Zitat

Moin!

Wo man da nun mit quadratischer Ergänzung weiterkommen soll seh ich nicht. Das Problem beim separieren ist ja der Mischterm .
Aber wenn du direkt mal von der freien Bewegung in x-Richtung ausgehst, dann gehts ganz gut: Also Ansatz wäre . Dann bringt px nämlich nur ne konstante und man kann die ebene Welle rauskürzen und behält ne DGL für .

Dann nochmal mit Aufsteige- und Absteigeoperatoren draufhauen seh ich dann aber nicht so den Sinn. Wenn man den harmonischen Oszillator schonmal gelöst hat, kann man die Energieeigenwerte ja einfach durch Vergleich abschreiben.

(Wenn jemand doch sieht wie man hier mit quadratischer Ergänzung was reißen kann würds mich interessieren)

gruß
navajo

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jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 30. Mai 2007 11:34    Titel: Antworten mit Zitat

Danke navajo!

Hab das eben kurz ausprobiert und komme auf folgendes:



mit und
Führt man noch die Substitution ein: , dann ergibt sich:



Das sieht zwar dem H.O. schon sehr ähnlich, aber ich komm im Moment trotzdem nicht weiter.
Sieht vielleicht jemand wie man hier weitermachen kann?
Ist überhaupt alles richtig und sinnvoll was ich da gemacht habe? Vielleicht bin ich auch auf einem Holzweg...
navajo
Moderator


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Beitrag navajo Verfasst am: 30. Mai 2007 17:03    Titel: Antworten mit Zitat

das was da steht ist schon richtig, aber fürht nicht so recht ans Ziel^^. Hast ja schon richtig gesehen, dass das heißt die x-Anteil ist schonmal gegessen.

Ich habs mir dann so gedacht, dass ich das auflöse. Dann hat man 2 Terme mit und einen mit . Die beiden kannst du dann zusammenfassen, also zu . Zusammen mit dem y-Term kommt da dann die quadratische Ergänzung ins Spiel (nu weiß ich auch wofür die gedacht war Augenzwinkern) und du bekommst was von der Form , wo dann dein neues wird.
Das und der Term der durch die quadratische Ergänzung dazu kam kannst dann noch in die Energie stecken, wir lösen ja schließlich und dann sollte das eigentlich Ähnlichkeit mit dem harmonischen Oszillator haben smile

gruß
navajo

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jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 31. Mai 2007 12:12    Titel: Antworten mit Zitat

Ah, jetzt versteh ich das ganze schon besser! Danke navajo!
Also wenn ich alles nach deinen Anweisungen machen und die quadratische Ergänzug in der Form benutze, dann bekomm ich Folgendes:



mit
Dann kommt für die Energien raus:



Ist das richtig?
Und wenn ja, wie kann ich die Auf- und Absteigeoperatoren deffinieren? Ich soll dann nämlich noch den Erwartungswert von y herleiten. Es ist mir klar, dass <y'>=0 so wie neim normalen H.O. ist und daraus folgt, dass sein muss.

Aber ich denke, ich sollte diese Operatoren trotzdem angeben, damit ich auch das N angeben kann, denn es gilt ja: .
Nur wie sehen diese Operatoren aus?
Meine bis jetzt einzige Idee ist, dass man die genauso wählt wie beim normalen H.O., nur ersetzt man mit und y mit (weil man das Ganze jetzt sozusagen auf y' bezieht, aber den Operator in y angeben soll)

Ist das richtig?
navajo
Moderator


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Beitrag navajo Verfasst am: 31. Mai 2007 14:22    Titel: Antworten mit Zitat

Jo, so hab ich mir das gedacht Thumbs up!

Hast nur nen kleinen Fehler bei dem konstanten Term durch die quadratische Ergänzung. Auf , du musst dann aber eben das Quadrat davon abziehen, also , du hast dabei dann aber nur den Zähler quadriert und den Nenner vergessen. Demenstsprechend ist dann halt auch nicht richtig das ausgeklammert, bzw es bleibt dann noch beim -Term was übrig.

Aber ansonsten ist die Energie halt richtig wenn du den Term korrigierst. So bist ja eben genau bei Gleichung vom Harmonischen Oszillator:

Damit kannst dann eigentlich einfach alle Sachen wie aufsteigeoperatoren und erwartungswerte einfach vom harmonischen oszillator stumpf Abschreiben nur dass du dann am Ende immer zurücksubstituieren musst wenn irgendwo was mit nem Strich dran übrig ist, aber hast du ja auch schon genauso für den Erwartungswert von y gemacht.

Achja, was man noch wissen muss ist , aber das ist ja schon okay, weil .

gruß
navajo

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jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 31. Mai 2007 14:58    Titel: Antworten mit Zitat

Alles klar, jetzt ist die Aufgabe dann erledigt! Big Laugh

Aber ich glaube ich hab keinen Fehler gemacht bei der quadratischen Ergänzung, jedenfalls seh ich ihn nicht...
Ich hab ja die Ausgangsgleichung:

und das ist ja die Form und das ist gleich
und hier hab ich dann stumpf eingesetzt. Im Prinzip hab ich schon das Ergebnis der quad.Erg. benutzt, d.h. ich kann mich da gar nicht verrechnet haben grübelnd
Oder überseh ich da was ganz triviales?
navajo
Moderator


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Beitrag navajo Verfasst am: 31. Mai 2007 17:54    Titel: Antworten mit Zitat

Jo, du hast recht.Hab vergessen mit dem a auszumultplizieren. Falscher Alarm ^^

gruß
navajo

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Beitrag jentowncity Verfasst am: 31. Mai 2007 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

Alles klar, dann können wir hier den Punkt setzen.

Vielen Dank für deine Hilfe navajo! Prost

MfG jentowncity
Passepartout



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Beitrag Passepartout Verfasst am: 03. Jun 2007 21:46    Titel: Antworten mit Zitat

jentowncity hat Folgendes geschrieben:
dann bekomm ich Folgendes:



mit
Dann kommt für die Energien raus:




Hm, kommt da nicht ein Minus hin, wenn Du die Energien auf die andere Seite ziehst?


Gruß,
Passepartout

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, oder nicht grübelnd
jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 03. Jun 2007 23:24    Titel: Antworten mit Zitat

nee, das ist schon richtig so, weil



und wenn du das auflöst, stehts da.

MfG jentowncity
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