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jentowncity



Anmeldungsdatum: 08.05.2005
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Beitrag jentowncity Verfasst am: 10. Dez 2006 16:50    Titel: Observablen Antworten mit Zitat

Hallo an alle!

Ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und habe hier eine Aufgabe, die dran kommen könnte, die ich aber nicht lösen kann:

Für die Observablen A und B eines zweidimensionalen Zustandsraums gelte:

mit

mit

und
und

Das physikalische System sei im Zustand präpariert.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, bei der hintereinander ausgeführten Messung von B und A (zuerst B dann A) die Eigenwerte und zu finden.

Ich kann hier irgendwie gar nicht erst anfangen irgendwas zu rechnen, da ich nicht weiß, was ich hier überhaupt auf was anwenden muss... grübelnd

Kann mir da jemand helfen?

[die vektoren sehen viel schöner aus, wenn man neben | und > auch noch \left und \right benutzt .. hab's mal geändert ^^, para]
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 10. Dez 2006 17:14    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Die Wahrscheinlichkeit, dass Du für den Wert misst, ist:


Versuche mal, damit weiter zu kommen. In welchem Zustand ist die Wellenfunktion nach der Messung B?

Gruß
Marco
jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 10. Dez 2006 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

Danke Marco!

ich weiß zwar nicht genau wieso die Wahrscheinlichkeit zu messen sich dadurch ergibt, dass man auf anwendet und dann Betragsquadrat davon nimmt, aber damit kann ich leben. (oder kannst du mir das kurz erklären?)

Was ich aber noch gar nicht verstehe, ist genau deine Frage: "In welchem Zustand ist die Wellenfunktion nach der Messung B?"

Also wenn ich B messe, bekomm ich mit 50%iger Wahrscheinlichkeit eines der Bettas. Wenn ich jetzt wüßte, wie sich das system ändert nachdem ich B gemessen hab, dann würde ich eine änliche Rechnung wie du für machen. Dann würde sich die Wahrscheinlichkeit das Alpha zu messen ergeben aus:

Und am Ende ergibt sich die Wahrscheinlichkeit .

Stimmts?

Kannst du mir sagen, was nach der Messung von B da steht?

MfG jentowncity
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 10. Dez 2006 19:21    Titel: Antworten mit Zitat

jentowncity hat Folgendes geschrieben:
ich weiß zwar nicht genau wieso die Wahrscheinlichkeit zu messen sich dadurch ergibt, dass man auf anwendet und dann Betragsquadrat davon nimmt, aber damit kann ich leben. (oder kannst du mir das kurz erklären?)

OK, ich werde das versuchen. Es ist sehr gut, dass Du das nochmal fragst, weil es ganz extrem wichtig ist, dass Du das richtig verstanden hast!
b1 und b2 sind Eigenzustände zum Operator/Observablen B. Das Spektrum der Observablen ist beta1 und beta2, eine Messung der Observablen B kann also nur diese beide Ergebnisse haben (z. B. ist das auch so, wenn Du die z-Komponente des Spins eines Elektrons misst, da kann nur Spin-up und Spin-down dabei raus kommen).
Wenn sich das System im Eigenzustand b1 befindet, wird das Messergebnis von B immer beta1 sein und im Zustand b2 immer beta2.
Allerdings ist der Zustand psi eine Überlagerung der beiden Eigenzustände, so dass man vorher nicht weiß, welches Ergebnis raus kommen wird. Du kannst Dir eine solche Überlagerung am besten so vorstellen: Die beiden Eigenzustände sind ja orthogonal und normiert, deshalb kannst Du diese als Basis nehmen und alle Zustände in dieser Basis darstellen, wie bei normalen Vektoren in einem Vektorraum (eigentlich ist es das ja auch genau). Wenn Du jetzt die Messung machst, ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten als das Betragsquadrat der Projektionen des Zustandsvektors auf die beiden Basisvektoren. Dieses Skalarprodukt <b1|psi> ist gerade so eine Projektion auf den Basisvektor |b1>. Du ziehst also aus dem Vektor |psi> den Anteil raus, der in |b1>-Richtung liegt. Wie immer, musst Du dann noch des Betragsquadrat nehmen, um auf eine Wahrscheinlichkeit zu kommen.
Ich muss mal sehen, wie das in Büchern erklärt ist. So gut ist meine Erklärung nämlich noch nicht. Allerdings ist das die Grundbasis der gesamten Quantenmechanik, weshalb Du das unbedingt richtig verstehen musst! Am besten denkst Du das nochmal etwas durch und fragst dann nochmal gezielter, welcher Punkt Dir noch nicht ganz klar ist.
jentowncity hat Folgendes geschrieben:
Also wenn ich B messe, bekomm ich mit 50%iger Wahrscheinlichkeit eines der Betas.

genau!
jentowncity hat Folgendes geschrieben:
Wenn ich jetzt wüßte, wie sich das system ändert nachdem ich B gemessen hab, dann würde ich eine änliche Rechnung wie du für machen. Dann würde sich die Wahrscheinlichkeit das Alpha zu messen ergeben aus:

Und am Ende ergibt sich die Wahrscheinlichkeit .

Stimmts?

Kannst du mir sagen, was nach der Messung von B da steht?

MfG jentowncity

Ja, das klingt schon alles sehr gut! Thumbs up!
Nach der Messung der Observablen B ist das System immer in einem Eigenzustand dieser Observablen, und zwar genau in dem gemessenen. Wenn Du also bei der Messung von B ein beta1 gemessen hast, ist das System im Eigenzustand |b1> und wenn Du beta2 gemessen hast, im Eigenzustand |b2>. Auch das ist ganz, ganz wichtig! Die Messung beeinflusst immer und ganz fundamental das gemessene System. Das System ist danach in einem anderen Zustand als vorher. Das ist letztendlich auch die Basis für die ganze Quantenkryptographie, aber das führt jetzt zu weit... Augenzwinkern

Du machst also eine Messung von B und betrachtest nur noch die, die ein Ergebnis von beta1 geliefert haben, also ist das System danach auch im Zustand |b1>. Danach machst Du die Messung der Observablen A. Die Gesamtwahrscheinlichkeit kannst Du dann so ausrechnen, wie Du das schon geschrieben hast.

Gruß
Marco
jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 10. Dez 2006 22:13    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die gute Erklärung Marco!
Habs jetzt einigermaßen verstanden.

Nachdem ich also beta1 gemessen habe ist das System im Zustand |b1>.
Wenn ich jetzt A messe, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich alpha2 messe:



Also kommt insgesamt raus W=1/4. Oder muss der Faktor vor dem |b1> stehen bleiben? Ich denke nicht grübelnd

Wie wär das denn umgekehrt, also die Wahrscheinlichkeit für ?

Ich hab das eben ausprobiert und da kommt bei mir 0 raus, da die Wahrscheinlichkeit alpha2 zu messen =0 ergibt.

Stimmt das?

MfG jentowncity
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 10. Dez 2006 22:56    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Ich hab auch W=¼ raus!

Ja, genau! |psi> ist nämlich eigentlich der Zustand |a1>, Deshalb gibt es schon 0 Wahrscheinlichkeit, bei A zu messen.
Das ist gerade das Merkwürdige! Dadurch, dass Du zuerst Messung B machst, bekommst Du plötzlich bei Messung A welche mit , die es bei einer direkten Messung von A gar nicht gäbe! Der Witz ist halt, dass der Zustand tatsächlich durch die B-Messung so geändert wird, dass plötzlich die A-Messung sowohl alpha1 also auch alpha2 Ergebnisse liefert.

Gruß
Marco
jentowncity



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Beitrag jentowncity Verfasst am: 11. Dez 2006 12:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ales klar, danke nochmal! Thumbs up!

Jetzt hab ich auch eine Ahnung, wie das mit der Quantenkryptographie in Prinzip abläuft. Da kommt es halt wahrscheinlich auf die genaue Reihenfolge der Messung (Dekodierung) an und dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit eine Nachricht zu dekodiern ohne den dazu passenden "Schlüssel" zu kennen gewaltig ab.

Nochmal etwas Allgemeines: wenn ich also ein psi gegeben hab, wo ein paar Zustände überlagert vorkommen, mit einem Vorfaktor, und ich messe einen der Zustände, dann bleibt das System danach in dem gemessenen Zustand, ohne Vorfaktor?

MfG jentowncity
as_string
Moderator


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Beitrag as_string Verfasst am: 11. Dez 2006 13:10    Titel: Antworten mit Zitat

jentowncity hat Folgendes geschrieben:
Nochmal etwas Allgemeines: wenn ich also ein psi gegeben hab, wo ein paar Zustände überlagert vorkommen, mit einem Vorfaktor, und ich messe einen der Zustände, dann bleibt das System danach in dem gemessenen Zustand, ohne Vorfaktor?

Im Prinzip musst Du die neue Wellenfunktion normieren. Die gegebenen Eigenzustände sind dabei schon normiert. Wenn die Wellenfunktion also nach der Messung in einem der Eigenzustände ist, dann ergibt die Normierung einfach eine 1 und Du kannst den Vorfaktor weg lassen.
So allgemein "nach Messung kann man Vorfaktor weg lassen" möchte ich das aber nicht formulieren. Wenn die Eigenzustände zu der Observablen wirklich gegeben sind und normiert sind, dann schon (s. o.), aber das müsste nicht immer so sein vielleicht. Die Grundregel ist einfach: Die Zustände müssen immer normiert sein.

Gruß
Marco
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