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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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 kommando_pimperlepim Verfasst am: 21. Nov 2006 19:17 Titel: Potentialberechnung mit Separationsansatz |
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In theoretischer Elektrodynamik sollen wir ein Potential berechnen, an der Aufgabe hänge ich schon zwei Tage und komme nicht so richtig vorwärts, darum wäre ich für Ratschläge sehr dankbar.
Es soll die Laplace-Gleichung  gelöst werden. Das Potential (siehe Bild im Anhang) soll auf der oberen Seite eines Quadrats der Seitenlänge a einen vorgegebenen Wert haben (Isolator) und auf den drei anderen Quadratseiten geerdet sein (0). Das ganze muss man sich noch in z-Richtung wie einen "unendlich ausgedehnten Kasten" vorstellen.
Gesucht ist das Potential im Inneren des "Kastens".
Wir sollen den Separationsansatz wählen.
 = X (x) Y (y) Z (z))
bzw. weil das Problem von z unabhängig ist
 = X (x) Y (y) Z)
Setzt man das in die Laplacegleichung ein, so erhält man
bzw. für eine Konstante 
 und 
Dann könnte man die Ansätze wählen:
 =X_1 e^{\lambda x} + X_2 e^{-\lambda x})
und
=Y_1 e^{i \lambda y} + Y_2 e^{-i \lambda y})
Das Eigentliche Problem geht bei den Randbedingungen los. Scheinbar gelange ich zu einem Widerspruch. Auch ohne die Ansätze von X (x), Y(y) explizit zu berücksichtigen komme ich zu dem Rätsel, dass gelten muss:
Obere Platte:  Y(a)Z)
Da diese Gleichung aber für alle x gelten muss, und Z=konst) ist, muss doch auch gelten  = konst) ??? Kommt mir komisch vor, aber das sagt ja der Separationsansatz.
Noch schlimmer wird es, wenn man die geerdeten Flächen betrachtet, da müsste für =\varphi(a,y) = X (0) Y(y)Z= X (a) Y(y) Z) Wenn aber X (wegen vorigem Gedanken) konstant und i. A. ungleich 0 ist (weil i. A.  ), müsste wieder gelten  =0) Dann währe aber auch Y(a)=0 und die Gleichung vorher würde nicht erfüllt.
Bin dankbar für jeden Tipp. Es ist das erste mal, dass ich mit diesem Separationsansatz arbeite, also sorry wenn ich mich blöd anstelle.
| Beschreibung: |
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2749 mal |
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 21. Nov 2006 23:52 Titel: |
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Ich gebe Dir nur mal nen Tip:
Du kannst natürlich einen Separationsansatz machen:
 = X (x)\cdot Y(y))
Dann kommst Du durch Lösen der Eigenwertgleichungen auf
 = \lambda^2 X_{\lambda})
und
 = -\lambda^2 Y_{\lambda})
auf partikuläre Lösungen für gegebene Eigenwerte.
Die allgemeine Lösung wird aber eine bestimmte Superposition der partikulären Lösungen sein (die Laplacegleichung ist ja linear):
 = \sum_{i,j} A_{i,j} X_{j, \lambda_i}(x) \cdot Y_{j, \lambda_i}(y))
Die Eigenwerte werden i.A. j-fach entartet sein (es gibt ja, wie Du schon erkannt hast, jeweils zwei Lösungen pro Eigenwert)
Diese Summe ist zunächst den Randbedingungen Rechenschaft schuldig - nicht die einzelnen Summanden ! Nun gilt es, aus den Randbedingungen die richtigen Koeffizienten rauszuholen:
Es muss gelten
0<x<a:
 \cdot Y_{j, \lambda_i}(a) = \Phi_0 )
x=0; x=a
 \cdot Y_{j, \lambda_i}(a) = 0)
klingelt es jetzt ?
Aufgrund von einfachen Symmetrieüberlegungen kommt man für das Innere des Kondensators auf den einzig sinnvollen Lösungsansatz
 = \sum_n A_n \sin (\frac{n \pi}{a} x) \cdot (e^{\frac{n \pi}{a} y} - e^{- \frac{n \pi}{a} y}) + B_0)
Die Randbedingungen werden dann:
0<x<a
 \cdot (e^{n \pi} - e^{- n \pi}) = \sum_n a_n \sin (\frac{n \pi}{a} x) )
x=0, x=a
 )
wobei ich
)
gesetzt habe.
Die Koeffizienten lassen sich leicht durch eine Fourierreihenentwicklung bestimmen (Rechteck, antisymmetrisch zum Ursprung mit Periode a und Gleichanteil  ), was ich jetzt aber nicht durchziehen will sondern nur aus einer Formelsammlung abschreibe:
n=1, 3, 5, ...:
oder
} )
n=0, 2, 4, ...:
Dass hier ein Gibbsches Phänomen entsteht weiss ich zwar, kann es physikalisch aber nicht richtig deuten. Fest steht, dass die Feldstärke am "isolierten Berührungspunkt" den beiden Platten unendlich wird, und daher eine Idealisierung vorliegt, die es in der Praxis nicht geben kann.
_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe) |
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 22. Nov 2006 07:49 Titel: |
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Vielen Dank für deine Hilfe. Einen Punkt habe ich nicht so richtig verstanden:
Das Potential ist eine Funktion von x und y:
| schnudl hat Folgendes geschrieben: | Ich gebe Dir nur mal nen Tip:
(...) Lösungsansatz
Die Randbedingungen werden dann:
0<x<a
x=0, x=a
wobei ich
gesetzt habe.
(...)
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Für y=a heißt der letzte Faktor  ) aber im Allgemeinen Fall steht da ja eine y-Abhängigkeit. Für mich sieht das so aus, als würdest du diese unterschlagen haben, weil du dann den Faktor für den Spezialfall der  -Randbedingung als allgemeinen Koeffizienten setzt und damit entwickelst.
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kommando_pimperlepim
Anmeldungsdatum: 15.11.2004
Beiträge: 133
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| kommando_pimperlepim Verfasst am: 22. Nov 2006 10:29 Titel: |
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Entschuldige habe es jetzt verstanden, da du nur die 4. Zwangsbedingung entwickelst, gibt es keine y-Abhängigkeit.
Aber eine neue Frage zerbricht mir den Kopf:
Wenn ich eine konstante Funktion  nach
 + d_n cos(2\pi nx/a) \})
entwickeln will, dann würde ich doch alle Koeffizienten 0 erhalten bis auf 
Wie müsste ich denn ) umschreiben, um auf ) zu kommen, denn danach entwickelt man ja mit der Fourier-Formel. Wenn ich den Übergang n -> 2n mache, müsste ich ja über halbe Indizees summieren.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2006 12:21 Titel: |
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Die Funktion ist aber nicht konstant, sondern verschwindet an den Rändern x=0 und x=a. Die Reihe entspricht formal genau einer Fourierreihe.
Natürlich beschreibt mein Ansatz nur das Innere des Kondensators, für das Äüßere müsste man sich etwas analoges überlegen.
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schnudl
Moderator
Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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| schnudl Verfasst am: 22. Nov 2006 13:08 Titel: |
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Hier eine Berechnung bis n=11.
Der Gleichanteil ist nicht berücksichtigt.
x und y sind im Bild vertauscht.
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