Separationsansatz/Produktansatz

Maschine · Anmeldungsdatum: 18.11.2011 Beiträge: 74

Hallo ihr Lieben,

ich hätte mal eine Frage zur oben genannten Problematik.

Wir haben den Separationsansatz nun schon einige male in der VL gehabt, allerdings immer mit einem Potenzial

oder

im zweiten Fall gilt

im ersten Fall vereinfacht sich dieser Ansatz zu:

da ja V=0

mit dem Separationsansatz

diese werden dann zu drei eindimensionalen Schrödingergleichungen:

Nun ist allerdings die Frage wie und wo mein V mit eingeht?
Gehen von dem V auch nur die jeweiligen x,y,z Terme mit in die letzten drei Gleichungen ein oder geht dort dann das komplette V wie bei mir nun

mit ein?
Andes gefragt muss ich folgendes berechnen:

Oder sehen meine Gleichungen dann dolgendermaßen aus:

Ich gehe mal davon aus da ich zeigen muss das es sich bei dem Ergebnis um 3 1-d Schrödingergleichungen handelt, dass der erste Ansatz da doch mehr Sinn macht oder?

Für Antworten bin ich dankbar
LG

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du kannst ein Produktansatz nur machen, wenn das Potential als Summe zerfällt

entsprechend ist dein erster Vorschlag korrekt, allerdings muss das Potential natürlich auch mit der entsprechenden Wellenfunktion multipliziert werden.

Maschine · Anmeldungsdatum: 18.11.2011 Beiträge: 74

ah ja du hast natürlich recht das ich die Wellenfkt. noch als Faktor an das Potential anhängen muss.
Vielen Dank für die Hilfe!

Maschine · Anmeldungsdatum: 18.11.2011 Beiträge: 74

Ich komme nun leider nicht beim lösen der DGL weiter vlt kann mir da noch einmal jemand kurz Helfen.

Ich habe jetzt also 3 1d SG von denen ich nur eine Lösen muss da die anderen beiden dann analog gelöst werden.:

Also muss ich folgende DGL lösen.

mit

mit dem Ansatz

komme ich auf

wenn ich das nach

umstelle ist dieses ja nun von x abhängig was nicht sein darf!

Ich denke mein Ansatz ist hier nicht der richtige.

Könnte mich vlt. jemand auf den richtigen Ansatz stoßen????

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Hast du bereits den quantenmechanischen harmonischen Oszillator behandelt?

Maschine · Anmeldungsdatum: 18.11.2011 Beiträge: 74

ich glaube den sollen wir mit dieser Aufgabe quasi schon vorarbeiten damit der in der VL nicht mehr gerechnet werden muss aber sicher bin ich mir da nicht mehr ganz!
Mir würde aber erst einmal der Ansatz genügen. Durchrechnen bekomme ich dann denke ich schon hin.
(ich bin im Raten immer so schlecht was DGL´s angeht smile

.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Ansatz wäre:
psi = (polynom in x) * exp(c*x^2)

oder einfach mal nachgucken:
http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator_(Quantenmechanik)
Da steht die Loesung zu dieser Differentialgleichung.

Maschine · Anmeldungsdatum: 18.11.2011 Beiträge: 74

So ich hab noch n bissl rumgerechnet und bin auf folgendes gekommen.

Mein Ansatz ist jetzt:

eingesetzt in die Schrödingergleichung ergibt das (ich habe schon durch A und

geteilt!):

*1

Da E unabhängig von x sein muss (da stationäre SG) muss gelten:

dsaraus folgt:

und so gilt:

eingesetzt in *1 ergibt das:

So nun ist das aber laut einigen Quellen die ich mir durchgelesen habe nur die sog. Nullpunktsenergie. Also die geringste Energie die das Teilchen in dem Potential annehmen kann.
Wie komme ich denn nun auf die Energien

???????
Da habe ich gar keine Idee. In den Quellen fallen da in meinen Augen einfach irgendwelche Formeln vom Himmel. Ich verstehe aber leider nicht wo die herkommen.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Maschine · Anmeldungsdatum: 18.11.2011 Beiträge: 74

Um den Threat mal zuende zu führen smile

es wurde von mir garnicht verlangt die Wellenfunktionen zu berechnen! Also habe ich quasi schon für die VL vorgearbeitet.

Vielen Dank an alle fleißigen Helfer Big Laugh