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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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 TruEnemy Verfasst am: 27. Feb 2013 13:53 Titel: Randwertprobleme - Separationsansatz |
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Hallo,
ich beschäftige mich im Moment mit der Lösung von Randwertproblemen in
der Elektrodynamik. Dabei beschäftige ich mich mit dem Lösungsansatz der
Separation der Variablen. Ich habe zu diesem Thema 10 Seiten Skript, blicke
aber nicht wirklich durch. Fundamental bei diesem Ansatz ist wohl, die Lösung
 = f(x)\cdot g(y) \cdot h(z)
<br />
)
in ein Produkt aus drei voneinander unabhäöngigen Funktionen zu schreiben,
wobei jede Funktion nur von einer Variablen abhängt. Soweit ist mir das klar
Aber wie sieht nun das grobe, weitere Vorgehen aus? Könnte mir da jemand
von Euch ein bisschen was dazu erklären, einen Überblick verschaffe? Danke.
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 27. Feb 2013 19:05 Titel: |
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Hallo,
was Du da aufgeschrieben hast ist nicht die Lösung, sondern der Lösungsansatz. Damit kannst Du die Laplace-Gleichung recht einfach und elegant lösen. Das grobe weiter Vorgehen ist erstmal den Ansatz in die Gleichung einzusetzen, ganz analog zu gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Einen Überblick solltest Du eigentlich durch das Skript bekommen, ansonsten steht das auch in jedem Buch über Elektrodynamik.
Erklärungen findest Du auch in Büchern. Was verstehst Du denn nicht? |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 01. März 2013 15:29 Titel: |
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Ja, natürlich meinte ich damit den Lösungsansatz und nicht die Lösung
selbst. Die Idee an sich ist mir klar. Aber das weitere Vorgehen ist
mir etwas zu detailliert, ich verliere dabei die Übersicht über das
gröbere Vorgehen. Sofern wir uns in Kugelkoordinaten befinden,
können wir den Lösungsansatz wie folgt schreiben:
 = R(r) \cdot W (\theta, \varphi)
<br />
)
Die Lösungen des Winkelanteils sind mir aus der QM geläufig, dabei
handelt es sich um die Kugelflächenfunktionen  ) .
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 02. März 2013 17:26 Titel: |
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Ich verstehe Deine Frage nicht so ganz. Willst Du das nun in kartesischen- oder in Kugelkoordinaten lösen? In Kugelkoordinaten ist die Lösung ungleich schwieriger.
Und welche Gleichung willst Du genau lösen? |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 02. März 2013 17:38 Titel: |
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Man kann das Problem ja in kartesischen und Kugelkoordinaten lösen.
Mein Problem ist einfach, dass ich eine Zusammenfassung des Lösungs-
weges will, aber das Skript sowie verschiedene Lehrbücher mir in diesem
Punkt einfach zu ausführlich sind. Ich will und muss nur das grobe Vorgehen wissen.
_________________
'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 02. März 2013 17:59 Titel: |
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Das Vorgehen ist aber abhängig davon, in welchem Koordinatensystem man eine Gleichung lösen will.
Du verschweigst immernoch um welche Gleichung(en) es überhaupt geht...
Warum schreibst Du Dir die Schritte nicht selbst raus? Das was Dir zu ausführlich ist kannst Du doch einfach weglassen.
Wenn es Dir schwerfällt, das Wesentliche von weniger wichtigen Nebenrechnungen zu unterscheiden, hast Du das Prinzip wohl noch nicht verstanden. Dann ist es ohnehin zu empfehlen erstmal jeden Schritt nachzuvollziehen. Sonst bringt Dir auch eine Zusammenfassung der Schritte nichts. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 02. März 2013 18:43 Titel: |
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Wichtiger ist hier wohl das Vorgehen in Kugelkoordinaten zu verstehen.
Die Diskussion der Randwertprobleme istim Prinzip ja eigentlich nur dazu
da, Lösungsstrategien für lineare, partielle Differentialgleichungen unter
Nebenbedingungen (Randwerte) kennenzulernen. Dazu muss es doch eine
allgemeine Vorgehensweise geben. Nehmen wir einfach mal das Dirichlet-
Randwertproblem: vorgegeben ist hier die Ladungsdichte  ) im Inneren
eines Volumens  und bestimmte Werte  ) auf dem Rand  (Fläche)
von . Zu Lösen ist also die Poisson-Gleichung unter den Bedingungen:
 = - \frac{1}{\epsilon_0} \rho (\vec{x}) \;\forall\;\vec{x} \in V )
 = f (\vec{x})\;\forall\;\vec{x} \in R )
Man sucht nun eine Lösung für das elektrostatische Potential  )
 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int d^3x^\prime\;\rho (\vec{x}^\prime)\;\frac{1}{|\vec{x} - \vec{x}^\prime|} )
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'Dass ich erkenne, was die Welt im Innersten zusammenhält' Faust, Goethe |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 02. März 2013 20:16 Titel: |
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Um diese Gleichung:
zu lösen, löst man das Problem erstmal für eine Punktladung mit q=1, also diese Gleichung:
=\delta(\vec x-\vec x'))
mit der Forderung =0) für alle 
Hat man diese Lösung gefunden, man nennt sie 'Greensche Funktion (des Laplace-Operators)', so kann man die Lösung angeben mit:
=\int\mathrm{d}^3x'G(\vec x,\vec x')\varrho(\vec x'))
Das ist das grobe Vorgehen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 02. März 2013 20:58 Titel: |
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Eure beiden Lösungen gelten nicht fuer beliebige Randbedingungen.
Aber Aether hat recht, dass die allgemeinen Loesungen von partiellen Differentialgleichungen mit Hilfe der Greenschen Funktion funktioniert.
Der Separationsansatz ist "nur" eine Methode, um eine PDGL mit mehreren Variablen auf welche mit weniger Variablen (im Idealfall nur einer) zurückzuführen. Dies funktioniert im Allgemeinen, wenn der DGL-Operator in eine Summe zerfaellt, in der sich verschiedene Ableitungen nicht mischen. |
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Yildirim
Gast
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| Yildirim Verfasst am: 03. März 2013 00:11 Titel: |
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@TrueEnemy
Zu deinem ) kann ich eine beliebige Funktion ) mit=0) addieren und erhalte damit eine weitere Lösung der Gleichung.
Das f(x) bietet dir eine gewisse Freiheit mit der du vorgegebene Randbedingungen erfüllen kannst.
Im Zusammenhang mit der Poisson-Gleichung sind die greenschen Identitäten ganz hilfreich. |
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. März 2013 21:33 Titel: |
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Es geht mir nicht um die Green-Funktion. Die Idee dahinter ist mir klar.
Im Prinzip ist mir auch die Idee hinter dem Separationsansatz klar: man
versucht, viele spezielle Lösungen zu finden, um dann mittels Linearkom-
binationen eine allgemeine Lösung zu entwickeln.
Zudem haben wir in der Vorlesung bzw. im Skript auch keine beliebigen
Randbedingungen besprochen, sondern alleine die Dirichlet- und Riemann-
Randbedingungen.
_________________
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TruEnemy
Anmeldungsdatum: 01.11.2010
Beiträge: 516
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| TruEnemy Verfasst am: 03. März 2013 21:44 Titel: |
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| Yildirim hat Folgendes geschrieben: | @TrueEnemy
Zu deinem kann ich eine beliebige Funktion mit addieren und erhalte damit eine weitere Lösung der Gleichung.
Das f(x) bietet dir eine gewisse Freiheit mit der du vorgegebene Randbedingungen erfüllen kannst. |
Stichwort: Eichtransformation?
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 03. März 2013 22:19 Titel: |
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Was willst Du dann wissen, wenn Dir alles klar ist? Könntest Du Deine Frage vielleicht etwas präzisieren? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 04. März 2013 05:21 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: |
Im Prinzip ist mir auch die Idee hinter dem Separationsansatz klar: man
versucht, viele spezielle Lösungen zu finden, um dann mittels Linearkom-
binationen eine allgemeine Lösung zu entwickeln.
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Dies ist eventuell "im Spirit" richtig, wenn man denn unbedingt möchte. Aber eigentlich ist es einfach falsch. |
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Yildirim
Gast
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| Yildirim Verfasst am: 04. März 2013 17:15 Titel: |
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| TruEnemy hat Folgendes geschrieben: | Es geht mir nicht um die Green-Funktion. Die Idee dahinter ist mir klar.
Im Prinzip ist mir auch die Idee hinter dem Separationsansatz klar: man
versucht, viele spezielle Lösungen zu finden, um dann mittels Linearkom-
binationen eine allgemeine Lösung zu entwickeln.
Zudem haben wir in der Vorlesung bzw. im Skript auch keine beliebigen
Randbedingungen besprochen, sondern alleine die Dirichlet- und Riemann-
Randbedingungen. |
Hallo
Mit den greenschen Identitäten meine ich nicht das Lösungsverfahren mit Greenschen Funktionen.
Man kann die Poisson-Gleichung in eine Form bringen bei der auf der linken Seite der Gleichung nur das Potential steht und auf der rechten Seite hat man drei Terme. Einmal den Coulomb-Term und zwei Terme für Dirichlet und von-Neumann Randbedingungen. In dieser Form ist die Angabe des gesuchten Potentials schon fast trivial. Um dahin zu kommen, braucht man die greenschen Identitäten. |
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