Fourier-Trafo

Apo · Anmeldungsdatum: 22.04.2017 Beiträge: 67

Hallo zusammen,

ich soll hier die Fourier-Transformierte E(w) von folgender Welle berechnen:

An sich sollte das mit der Formel

kein Problem sein, aber irgendwie habe ich Problme damit, die Grenzen sinnvoll zu verwerten, da die Stammfunktion am Ende entweder cos, sin oder e enthält.. habt ihr vielleicht so schon Tipps, oder soll ich mein Endergebnis auch noch posten? smile

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Schreibe sin() und cos() ebenfalls mittels e-Funktionen.

Was weißt du über die Diracsche delta-Funktion?

Apo · Anmeldungsdatum: 22.04.2017 Beiträge: 67

So ein paar wenige Eigenschaften kenn ich, aber ich befürchte du musst mir erklären wie ich die Delta-Funktion hier verwenden kann

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Schreib doch erst mal sin() und cos() wie oben geagt; welche Integrale sind dann zu lösen?

Steffen Bühler · Moderator Anmeldungsdatum: 13.01.2012 Beiträge: 7244

Eventuell ist diese Aufgabe ja auch nur so gedacht, dass man erkennt, dass dieses Signal einfach aus einer einzigen Sinus- und einer einzigen Cosinusschwingung besteht. Dann kann man die Fourier-"Reihe" direkt hinschreiben.

Viele Grüße
Steffen

Apo · Anmeldungsdatum: 22.04.2017 Beiträge: 67

Naja, vermutlich

.. ich weiß hier allerdings nicht, wie bzw. ob w1,w2 und w zusammenhängen grübelnd

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Perfekt. Jetzt musst du nur noch den Term exp(-iwt) in die Klammer ziehen und anwenden, dass die Fourier-Transformierte der e-Funktion die Delta-Funktion ist und du bist fertig!

Apo · Anmeldungsdatum: 22.04.2017 Beiträge: 67

Ich fürchte, das musst du mir genauer erklären... das verrechnen mit dem letzten Term ist kein Problem, aber wie verwende ich dann die Delta-Funktion?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Es gilt einfach:

Also musst du eigentlich gar nichts mehr rechnen, sondern nur die 4 Terme entsprechend ersetzen.

Nils

Apo · Anmeldungsdatum: 22.04.2017 Beiträge: 67

Das heißt, mein Ergebnis wäre

?
Wie würde ich das dann interpretieren? Dass mein E(w) überall Null ist außer an den Stellen

und

?
Bzw., falls das Ergebnis oben richtig ist, wie würde ich interpretieren dass der Faktor vor der zweiten Klammer komplex ist?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Genau! Sowohl die Sinus- als auch die Cosinus-Funktion haben im Spektrum zwei Peaks, die symmetrisch zum Ursprung sind.

Der komplexe Faktor i beim Sinus bedeutet einfach, dass der Sinus gegenüber dem Cosinus um 90° Phasenverschoben ist.

Stell dir am besten die Fourierkomponenten eines Zeitsignals als Zeiger vor, die um die Frequenz-Achse rotieren können. Die komplexe Phase ist dann einfach der Rotationswinkel. Der Cosinus hat also zwei Zeiger, die beide nach "oben" zeigen und der Sinus hat zwei Zeiger, von denen einer nach "hinten" und einer nach "vorne" zeigt (entsprechend der Phase +i und -i).

Viele Grüße,
Nils

Apo · Anmeldungsdatum: 22.04.2017 Beiträge: 67

Super, dann habe ich es jetzt wohl verstanden smile

Vielen Dank für eure Hilfe!