Feldquantisierung

Quantenpunkt · Gast

Hallo,
bei der Feldquantisierung ersetzt man die klassischen Felder durch Feldoperatoren. Diese Feldoperatoren müssen bestimmte Kommutatorrelationen genügen und wirken auf Zustände eines Fockraumes.
Ich kann ja jetzt einen Hamiltonoperator mit solchen Feldoperatoren ausdrücken.
In der Quantenelektrodynamik sähe der Operator so aus:

Dabei soll es sich bei den psi und A's um Operatoren handeln.
In der Quantenmechanik bin ich es jetzt gewohnt, dass für ein konkretes Problem in die Schrödingergleichung ein bestimmtes Potential eingesetzt wird. Zum Beispiel das Coulomb Potential für das Wasserstoffatom.
In der QED ist aber der Hamiltonoperator immer gleich. Wie sähe das denn aus, wenn ich jetzt bspw. das Wasserstoffatom "exakt" lösen möchte. Ich weiß, dass es praktisch nicht exakt lösbar ist, aber ich möchte wissen, was das hier bedeutet.
Ist es richtig, dass man zur Berechnung der Lambshift den Wechselwirkungsteil des Hamiltonoperators als Störoperator nimmt und als ungestörte Zustände die Zustände aus der gewöhnlichen Quantenmechanik nimmt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

1)

Zunächst mal musst du in der QED einen physikalischen Hamiltonoperator mittels Eichfixierung bestimmen.

Zum Hintergrund: A° ist keine dynamische Variable, sondern ein Lagrange-Multiplikator, da keine Zeitableitung von A° auftritt; Ursache ist F°° = 0. Daher kannst du die Wirkung S mittels partieller Integration so umschreiben, dass alle Ableitungen von A° auf die jeweils anderen Terme abgewälzt werden; in S verbleibt ein Term der Form A°G, wobei G für das Gauußsche Gesetz steht. Die physikalisch Zustände erfüllen dann den zeitunabhängigen Constraint

Eine naheliegende Eichung ist A° = 0.

G erzeugt zeitunabhängige Eichtransformationen theta, die A° = 0 respektieren, mittels

Diese kann man nutzen, um von den verbleibenden drei Eichfeldern noch eine weitere Komponente zu eliminieren. Es verbleiben zwei Komponenten plus ein zusätzlicher Wechselwirkungsterm, der im wesentlichen der Coulomb-Wechselwirkung entspricht.

2)

Andere Methoden der Eichfixierung sind möglich, führen jedoch immer auf zwei physikalische (transversale) Polarisationen. Verzichtet man auf die zweite Eichfixierung, muss sichergestellt sein, dass ein unphysikalischer Freiheitsgrad „entkoppelt“; sußerdem muss jede weitere Näherung dies ebenfalls garantieren.

3)

Üblicherweise quantisiert man mittels ebener Wellen, d.h. man führt für die Feldoperatoren A, E und psi eine Fouriertransformation durch und interpretiert die Fourierkomponenten als Erzeuger und Vernichter freier Teilchen (= ebener Wellen). Dies ist eine sinnvolle Vorgehensweise für Streuvorgänge mit asymptotisch freien Teilchen.

Im Falle des Wasserstoffatoms oder anderer gebundener Zustände ist das eher ungeschickt, da ebene Wellen der Symmetrie nicht angepasst sind. Man benötigt also ein anderes, vollständiges Funktionensystem.

Nun zerlegt man die Felder außerdem noch mittels der klassischen Lösung zu

Phi steht stellvertretend für A, E, psi.

I steht für einen beliebigen Index; im Falle des Wasserstoffatoms benötigt man neben der Summe über I, die über alle gebundenen Zustände läuft, noch ein Integral über die Streuzustände. Im Falle des Elektronfeldes entspricht u(x) gerade den Lösungen der Diracgleichung im 1/r Potential.

Wesentlich ist, dass die Erzeuger (bzw. Vernichter) nur die Fluktuationen auf dem klassischen Hintergrund erzeugen (bzw. vernichten). Das klassische Feld 1/r wird also nicht quantisiert.

Die Zerlegung ist nicht eindeutig, man wählt sie „geschickt“, so dass die resultierenden Korrekturen „klein“ bleiben.

4)

Im Falle der Lamb-Shift schreibt man den Hamiltonoperator der QED demnach als

wobei der zweite Term die klassischen Lösungen für genau einen zu betrachtenden Zustand des Wasserstoffatoms enthält. Der erste Term entspricht gerade der ungestörten Energie aus der Diracgleichung, d.h.

...

(erst mal so viel)

Quantenpunkt · Gast

Hallo TomS.
danke für deine Antwort.
Bevor ich mir das zu gemüte führe, würde ich gerne wissen was du mit A° meinst. ich kenne diese Notation nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

A° ist die Null-Komponente des Viererpotentials.