Theoretisches Bewegungsproblem

Gast

Hallo ihr hochgradigen Physikfreaks, Augenzwinkern

folgendes theoretisches Problem bewegt mich.

Gegeben ist ein waagerecht liegender Zylinder, absolut reibungsfrei längs seiner Achse verschiebbar und ebenso reibungsfrei um seine Achse drehbar, sonst nicht bewegbar.

Auf den Zylinder aufgelegt denkt man sich nun eine waagerechte, bewegliche Dreikantschiene mit einer der spitzen Keilflanken den Zylinder berührend. Die Richtung der Schiene bildet mit der Zylinderachse einen Winkel von exakt 45°. Die Schiene hat eine seitliche Führung sodass sie nur absolut drehfrei längs ihrer Ausgangslage verschiebbar ist.

Die Schiene wird nun, sagen wir exakt einen Meter verzogen, verschiebt und dreht dadurch den Zylinder. Den Kontakt zw. Schiene und Zylinder denke man sich dabei ideal, das heißt es findet keinerlei Rutschen statt.

Die theoretische Frage ist nun, hängt das dabei stattfindene absolute Verschieben des Zylinders längs der Zylinderachse irgendwie auch nur geringstfügig von dem Radius des Zylinders ab. Es geht nur um exakte theoretische Werte, keine übereilten Anworten bitte, danke.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Antwort: Nein.

Die Komponente der Keilbewegung senkrecht zur Zylinderachse dreht den Zylinder um seine Achse, die Komponente der Keilbewegung parallel zur Zylinderachse verschiebt den Zylinder längs seiner Achse.

Als anschauliche Möglichkeit, sich die laut Aufgabe erlaubten Zylinderbewegungen vorzustellen, schlage ich vor, dass der Zylinder entlang seiner Achse ein Loch hat, durch das ein perfekt geschmierter, im Raum fester Stab geführt ist.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Nur erst mal bildlich - so wie unten?

Die Verschiebung des Zylinders in x-Richtung (kartes. Koordsys.) ist für die Beantwortung der Frage ja irrelevant, oder?

/edit:

Ganau andersrum, nur x ist interessant - und das ist nur eine Gleitbewegung. Ich schließe mich de-m-markus an!

Gast

Ja, ich denke das Bild stellt das richtig dar und es geht nur um die Verschiebung des Zylinders längs seiner Achse.

Wenn eure Antwort richtig ist, dann würde das bedeuten die Verschiebung beträgt exakt 1/2*Wurzel(2) und das bei einem Zylinder mit Radius von 10m genauso wie bei einem präzisen Stahlstift von der Stärke 1mm und würde theoretisch zudem bedeuten

lim(Radius->0) (von Verschiebung) = 1/2*Wurzel(2)

lieg ich damit richtig ?

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Falls du dich hier auf ein einfaches gleichschenkliges Dreieck beziehst:

Pro 1 LE Dreikantbewegung erfolgt

Stabbewegung, das stimmt.

GasTlog · Anmeldungsdatum: 13.06.2006 Beiträge: 5

Danke,
soweit erst mal ok, das hatte ich in etwa so erwartet, wenn auch nicht 100% sicher.

Gehen wir nun einen Schritt weiter in die reale Welt und geben erstmal nur der Drehbewegung einen Widerstand, eine zu überwindende Reibungskraft, aller Rest bleibt weiter reibungsfrei. Von den extremen Betrachtungen für den Radius soll vorerst ebenfalls abgesehen werden. Der Radius soll sich in einem verträglichen Rahmen bewegen, so, dass das mit der Versuchsdarstellung einen halbwegs realen Sinn macht. Sagen wir mal der Radius bewegt sich etwa zw. 1cm und 10cm. Die jeweiligen Oberflächen sind extrem präzis gearbeitet. Weiter nehmen wir an dass der Auflagekontakt ausreichen hoch ist, sodass ein Verutschen in dem Sinne, Stab bewegt sich um Länge x während der Zylinder um Null dreht nicht vorkommt.

Im üblichen Sinne würde man das als, es findet keinerlei Rutschen statt, bezeichnen.

Nun ist es andererseits aber doch so, dass eine Kraftübertragung nur stattfinden kann wenn da eine Art infinitesimale Verzahnung vorhanden ist, die das übertragen muss und kann. Eine Art Ultramikroverzahnung. Da diese nicht 1:1 ineinander passt müsste eine Laufstreckendifferenz auftreten, die zudem von dem Drehwiderstand und so wie ich denke nun auch von dem Radius abhängen dürfte.

Was mich nun daran interessiert ist, wie etwa dürfte die funktionale Abhängigkeit in Bezug, erstens auf den Drehwiderstand und zweitens auf den Radius, in erster Näherung aussehen, bzw zu erwarten sein.

Ich behaupte also unter realen Gegebenheiten wird bei einem Verzug des Stabes um 1 LE, bei Null echtem Rutschen, die Bewegung des Zylinders MARKANT von dem Idealwert 1/2*sqrt(2) LE abweichen. Um die funktionale Abschätzung dieses Wertes in Abhängigkeit von Drehwiderstand und Radius gehts mir.

Mir gehts nicht um die Ermittlung der effektiven realen Propotionalfaktoren die sind eh nur empirisch zu ermitteln, sondern darum, wie dieser Zusammenhang in der funktionalen Abhängigkeit zu r, r^2, sqrt(r), log(r) oder was auch sonst immer zu erwarten ist und entsprechendes bezüglich des Drehwiderstandes.

Ich weiß nicht ob das letztlich auf die Bestimmung einer Differentialgleichung rausläuft oder was auch immer, ich weiß nur dass man wohl irgendwelche infinitesimalen Betrachtungen anstellen muss um das einigermaßend treffend abschätzen zu können.

Ich denke, das ist weder allzueinfach noch sonderlich uninteressant, dann mal ran ihr Experten, ich bin gespannt auf eure Abschätzungen.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ich verstehe nicht ganz, was genau du uns hier aufbinden willst.

Einerseits darf dein Zylinder völlig reibungsfrei in x-Richtung gleiten, andererseits möchtest du gern in einer infinitesimalen Ralität leben.
Falls - und vielleicht solltest du uns einfach mal in dein Projekt etwas einweihen - du ein ... Konstrukteur bist, der sich da irgendeine Maschine zusammendenkt, dann wird das ganze sehr wohl beträchtlich abweichen, weil so eine Stahlwalze eine ganz enorme Reibung aufbringen wird. Ich bezweifle sogar, ob sie sich überhaupt bewegen täte.

Was beabsichtigst du mit diesem Überlegungen? Warum muss es unbedingt ein Dreikant sein? Und was soll das ganze mit einer Verzahnung zu tun haben???
Ich bin nun wahrlich kein Experte, aber noch diese eine Überlegung:

Falls es dort tatsächlich eine Verzahnung geben sollte - und ja, die gibt es - dann wird, bei einem idealen 45°-Winkel, der Laufverlust sowohl in x-, als auch in y-Richtung auftreten. Demzufolge wird sicherlich kein Fortkommen über 1/sqrt(2) LE möglich sein; da das gleiche jedoch auch in y-Richtung stattfindet, sollte sich die Abweichung schlimmstenfalls linear berechnen lassen, oder?

Das Fortkommen in y-Richtung indes ist Radiusunabhängig; wenn der Dreikant in y-Richtung um y LE nach rechts wandert, wird der Berührungspunkt immer bei (y_0+y) liegen, unabhängig vom Radius der Walze. Natürlich würde man unterschiedliche Umdrehungen beobachten können.

Na ja, ich weiß nicht so ganz was du willst. Vielleicht weiß jemand anders mehr...

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Wenn du für die Drehbewegung oder für die Bewegung längs der Achse einen Reibungswiderstand annimmst, dann rechnest du das mit einem Gleitreibungskoeffizienten.

Die Gleitreibungskraft ist dabei dann unabhängig von der Dreh- bzw. Bewegungsgeschwindigkeit, die Reibungsarbeit ist proportional zum Drehwinkel bzw. der zurückgelegten Strecke.

Die theoretischste Annahme in deiner Versuchsanordnung ist diejenige, dass der Kontakt zwischen Dreiecksschiene und Walze nur in einem einzigen Punkt erfolgt. In der Realität, wenn man die Materialien aneinanderdrückt, wird die Kontaktfläche endlich groß sein, weil sich die Materialien ein kleines bisschen verformen. Auf dieser Kontaktfläche soll Haftung erfolgen, das ist die Verzahnung der Unebenheiten der Oberflächen ineinander, von der du gesprochen hast, das heißt, wenn die Kraft, die auf die Walze übertragen wird, nicht größer als ein maximal möglicher Wert wird, dann haftet das hier und rutscht nicht.

Dieser maximal mögliche Wert ist die Haftreibungskraft, sie ist proportional zur Kontaktfläche, zum Haftreibungskoeffizienten und zu der Normalkraft, mit der die Dreiecksschiene und die Walze gegeneinandergedrückt werden.

GasTlog · Anmeldungsdatum: 13.06.2006 Beiträge: 5

Die theoretischste Annahme in deiner Versuchsanordnung ist diejenige, dass der Kontakt zwischen Dreiecksschiene und Walze nur in einem einzigen Punkt erfolgt. In der Realität, wenn man die Materialien aneinanderdrückt, wird die Kontaktfläche endlich groß sein, weil sich die Materialien ein kleines bisschen verformen

Richtig @dermarkus,
das triffts etwas besser und zeigt zugleich schonmal eine Abhängigkeit bezüglich dem Radius. Weiterhin wird das bedeuten dass eine Art Geschmirgel dort stattfinden wird. Kräfte die sich zum größeren Teil in sich aufheben werden aber nicht 100%.

Das war übrigens auch der Hauptgrund warum das im ideellen Fall ein Dreikant sein musste der auf der spitzen Keilseite antreibt, unter üblichen Vorstellungen die ungünstigste Variante.

@Schrödingers Katze

nein, um ein Aufbinden gehts ganz und garnicht, es geht darum geometrische und physikalisch bedingte Parameter zu finden die diese abhängigen Differenzen beschreiben könnten, NEBEN einer physikalisch stofflichen Konstante, die materialeigen sein dürfte. Die Spielchen mit den halbrealen Konditionen sollen das Gesamtproblem nur helfen in überschaubarere Schritte aufzuspalten, sonst nichts.

Am Ende sollte eine Aussage stehen die in ihrer Beschreibung sowohl auf die geometrischen Bedingungen (Radius usw) als auch auf die real wirkenden physikalischen Kräfte mit eingeht.

Im Prinzip geht es grob vereinfacht darum:
Man kennt zB aus einem präzisen Versuch die anliegende Laufstreckendifferenz der beiden Teile und will nun eine möglichst treffende Voraussage machen können wie diese Laufstreckendifferenz bei z.B. einem Zylinder mit einem zehntel oder hunderstel das Ausgangsradiuses ausfallen würde. (Ist eben kein Schulversuch bei dem alles schwierig zu Fassende außen vor gelassen wird, nein hier steht genau das im Mittelpunkt).

Hab gerade nicht soviel Zeit, aber ich komme auf jeden Fall wieder.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Hab ich auch gar nicht so gemeint, natürlich kann und soll hier jeder viele Fragen stellen und sich nicht davon ablenken lassen, wenn kleine dumme Mäusefresser schief zurückfragen.

Inwiefern kann man denn irgendwann mal die Prämisse, der Zylinder gleite Reibungsfrei, aufheben, um das Projekt in eine reale Anwendungsumgebung zu führen, ohne dabei auf alles andere zu verzichten?
Also für mich erscheinen jetzt diese Effekte bezüglich infinitesimaler Verzahnung und alles "vernachlässigbar" gegenüber der Reibung und so. Oder ist da tatsächlich messbar? Ich meine, verschiedene Radien würden ja auch wieder verschiedene Auflageflächen und damit verschiedene Reibungskräfte verursachen - oder beachtet man sowas extra?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

@Kater:

Die Verzahnung der Oberflächen ist gerade das, was die Reibung produziert. Sie ist die mikroskopische Erklärung für Gleitreibung und Haftreibung.