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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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 Seb90 Verfasst am: 11. Jun 2018 15:12 Titel: Magnetfeld eines radial leitenden Hohlzylinders |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich möchte gerne die innere Induktivität eines radial leitenden Hohlzylinders mit homogener Stromdichte (= nur Abhängig vom Radius) bestimmen und versuche gerade, dies über die Energie einer aufgeladenen Induktivität
und die Energiedichte des magnetischen Feldes
, integriert über das (zylindersymmetrische) Volumen des Leiters, zu bestimmen.
Mein Problem ist, dass ich keine vernünftige Beschreibung für die magnetische Feldstärke H oder alternativ die magnetische Flussdichte B finde. Hat jemand eine Idee, wie ich an eine Beschreibung des Magnetfeldes in diesem Fall herankomme?
Danke im Voraus
Sebastian
Meine Ideen:
Ich habe bereits versucht, über Biot-Savart einen Ausdruck zu finden, komme da aber zu einem Ausdruck, den ich per Hand und auch über Wolframalpha nicht integrieren kann.
Einen direkten Einstieg über Maxwell habe ich auch schon in Betracht gezogen, aber auch dort ist ja eine vorhandene Beschreibung des Magnetfeldes Voraussetzung.
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 11. Jun 2018 16:58 Titel: |
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| Seb90 hat Folgendes geschrieben: | | ich möchte gerne die innere Induktivität eines radial leitenden Hohlzylinders .. |
Was ist ein radial leitender Hohlzylinder? Hat er in axialer Richtung keine Leitfähigkeit? Wird er also tasächlich in radialer Richtung durchströmt?
| Seb90 hat Folgendes geschrieben: | | ... mit homogener Stromdichte (= nur Abhängig vom Radius) bestimmen |
Was denn nun? Homogen oder radienabhängig?
Ich nehme ja an, dass der Hohlzyliner (falls es denn einer ist und kein Vollzylinder) in axialer Richtung vom Strom durchflossen wird. Kannst Du das bestätigen?
Jetzt bleibt die Frage ob die Leitfähigkeit konstant oder radienabhängig ist. Falls sie radienabhängig ist, wie ist diese Abhängigkeit gegeben?
Kannst Du mal den Originaltext der Aufgabenstellung posten?
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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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| Seb90 Verfasst am: 11. Jun 2018 18:49 Titel: |
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Hallo,
danke für die Nachfrage.
Der Hohlzylinder hat eine axiale Leitfähigkeit, da das Material isotrop ist, aber der Stromfluss ist in guter Näherung radial gerichtet.
An der Innenfläche des Hohlzylinders wird homogen über die Fläche ein (ggf. zeitlich veränderlicher) Strom eingebracht, der radial nach außen abfließt. Die Stromdichte ist also abhängig vom Radius.
Eine Aufgabenstellung gibt es nicht, weil ich das Problem für eine reale Anwendung (Koaxialshunt) analysieren möchte. Ich habe eine Skizze angehängt.
In der realen Anwendung fließt der Strom im Innenleiter von unten nach oben, dann durch den Hohlzylinder nach Außen und über den Außenleiter wieder nach unten. Ich gehe von einem homogenen Stromeintrag in den Hohlzylinder aus, weil Innen- und Außenleiter eine deutlich höhere Leitfähigkeit als der Hohlzylinder haben.
| Beschreibung: |
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| Angeschaut: |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 11. Jun 2018 21:07 Titel: |
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| Seb90 hat Folgendes geschrieben: | | In der realen Anwendung fließt der Strom im Innenleiter von unten nach oben, dann durch den Hohlzylinder nach Außen und über den Außenleiter wieder nach unten. |
Die Schaltung müsstest Du mir erstmal skizzieren. Denn ich verstehe die Reihenfolge nicht. Erst durch den Innenleiter, dann durch den Hohlzylinder (meinst Du damit den Raum zwischen Innen- und Außenleiter?) und dann durch den Außenzyliner zurück? Wie kommt der Strom denn, wenn r im Innenleiter nach oben geflossen ist, wieder zurück in den Raum zwischen Innen- und Außenleiter? Ist es nicht vielmehr so, dass zwischen Innen- und Außenleiter eine feste Spannung existiert und der gesamte Strom zwischen Innen- und Außenleiter fließt, d.h. der eigentliche Widerstand besteht aus dem hohlzylindrischen Raum zwischen den ideal leitfähigen Innen- und Außenleiter. Und Du willst das Magnetfeld in diesem Widerstand bestimmen? Wozu brauchst Du das? Ehrlich gesagt, ich kann damit nichts anfangen.
Anders wäre es, wenn der Strom durch den Innenleiter hin- und durch den Außenleiter zurückfließen, aber kein Strom in radialer Richtung fließen würde. Dann ließe sich das kreisförmige Magnetfeld innerhalb der gesamten Anordnung bestimmen und daraus die Induktivtät dieses Widerstandselementes. Bist Du sicher, dass das nicht so gemeint ist?
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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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| Seb90 Verfasst am: 12. Jun 2018 08:49 Titel: |
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Guten Morgen.
| Zitat: | | Die Schaltung müsstest Du mir erstmal skizzieren. Denn ich verstehe die Reihenfolge nicht. Erst durch den Innenleiter, dann durch den Hohlzylinder (meinst Du damit den Raum zwischen Innen- und Außenleiter?) und dann durch den Außenzyliner zurück?[...] |
Die Schaltung ist ein Doppelpulstest, bei dem dieser Aufbau als koaxialer Shunt zur Strommessung in Leistungshalbleitern während der Schaltvorgänge benutzt wird.
Wie Du richtig erkannt hast meine ich mit dem Hohlzylinder den Raum zwischen Innen- und Außenleiter. Dieses Widerstandselement ist mit diesen beiden Leitern flächig verbunden. Ich kenne das verwendete Material leider nicht, wir haben hier aber zwei Varianten vorliegen, mit denen für die jeweiligen Shunts einmal ein Widerstand von  und einmal  realisiert wurde.
Die Zeichnung ist natürlich nicht ganz Maßstabsgetreu, aber mir geht es gerade eigentlich auch mehr um die Theorie dahinter.
| Zitat: |
Anders wäre es, wenn der Strom durch den Innenleiter hin- und durch den Außenleiter zurückfließen, aber kein Strom in radialer Richtung fließen würde. Dann ließe sich das kreisförmige Magnetfeld innerhalb der gesamten Anordnung bestimmen und daraus die Induktivtät dieses Widerstandselementes. Bist Du sicher, dass das nicht so gemeint ist?
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Diese Anordnung ist mir bekannt und dafür kenne ich auch die nötigen Formeln zur Berechnung der Induktivität. Das ist aber tatsächlich nicht mein Aufbau, sondern der Strom fließt tatsächlich radial durch das hohlzylindrische Widerstandselement. Ich würde, wie schon gesagt, durch die höhere Leitfähigkeit von Innen- und Außenleiter davon ausgehen, dass die Stromdichte im Hohlzylinder zwar abhängig vom Radius, nicht aber von der Z-Position im Zylinder ist. Man könnte das Widerstandselement also als Parallelschaltung von infinitesimal dünnen, radial leitenden Widerstandsschichten ansehen.
Die Berechnung des Widerstands ist auch kein großes Problem, aber ich möchte wie gesagt auf die Induktivität schließen können 
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 12. Jun 2018 12:19 Titel: |
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| Seb90 hat Folgendes geschrieben: | | Die Schaltung ist ein Doppelpulstest, ... |
Ich meinte nicht die Schaltung, in der Du den Shunt verwendest, sondern die Ersatzschaltung Deines Widerstandselementes. Denn der Koaxial-Shunt, wie von Dir beschrieben, ist offenbar Deine eigene "Erfindung", deren Vorteil(e) gegenüber herkömmlichen Koaxial-Shunts ich nicht erkennen kann. Kannst Du das vielleicht etwas näher erläutern?
| Seb90 hat Folgendes geschrieben: | | Man könnte das Widerstandselement also als Parallelschaltung von infinitesimal dünnen, radial leitenden Widerstandsschichten ansehen. |
Nein, wenn der Strom tatsächlich vom Innenleiter zum Außenleiter fließt, handelt es sich um eine Reihenschaltung.
Normalerweise, also bei herkömmlichen Koaxial-Shunts, wäre die von Dir gezeigte Anordnung an einem Ende kurzgeschlossen, der Außenzylinder bestünde aus dem eigentlichen Widerstandsmaterial, der Innenzylinder wäre aus hoch leitfähigem Material und fungierte als Messleitung. Die Messspannung würde am anderen Ende zwischen Innen- und Außenzylinder abgegriffen. Die Induktivität einer solchen Anordnung wäre die des stromdurchflossenen Außenrohres, also des eigentlichen Shunt-Widerstandes.
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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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| Seb90 Verfasst am: 12. Jun 2018 13:07 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Ich meinte nicht die Schaltung, in der Du den Shunt verwendest, sondern die Ersatzschaltung Deines Widerstandselementes. Denn der Koaxial-Shunt, wie von Dir beschrieben, ist offenbar Deine eigene "Erfindung", deren Vorteil(e) gegenüber herkömmlichen Koaxial-Shunts ich nicht erkennen kann. Kannst Du das vielleicht etwas näher erläutern? |
Der Koaxialshunt, um den es hier geht, ist nicht meine Erfindung, sondern wird so verkauft. Man kann in dem Link zwar das Innenleben nicht erkennen, wir haben hier aber mal einen Shunt aufgesägt und uns den Aufbau angeschaut. Er ist tatsächlich so, wie ich ihn beschrieben habe.
Mein Ziel ist es, zu verstehen, wie die Geometrie des Widerstandselements in diesem Aufbau die Induktivität beeinflusst.
| Zitat: | | Nein, wenn der Strom tatsächlich vom Innenleiter zum Außenleiter fließt, handelt es sich um eine Reihenschaltung. |
In radialer Richtung hast Du natürlich recht, das ist eine Reihenschaltung. Ich bezog mich aber auf die Übereinanderschichtung dieser infinitesimal dünnen Scheiben. Das ist eine Parallelschaltung. Tut mir leid, wenn ich mich unklar ausgedrückt habe.
| Zitat: | | Normalerweise, also bei herkömmlichen Koaxial-Shunts, [...] |
Genau das ist ja gerade mein Problem: Es ist eben kein "herkömmlicher" Koaxialshunt und darum weiß ich nicht, wie ich das Magnetfeld im Widerstandsmaterial beschreiben kann 
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 12. Jun 2018 13:23 Titel: |
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| Seb90 hat Folgendes geschrieben: | | Ich bezog mich aber auf die Übereinanderschichtung dieser infinitesimal dünnen Scheiben. |
... in denen aber die Stromdichte nicht konstant ist. Was soll das also?
Wenn der von Dir verwendete Shunt so verkauft wird, dann ist es ein "herkömmlicher". Er kann auch aus zwei Rohren und einer zentralen Messleitung bestehen (wie es bei den von Dir gezeigten offenbar der Fall ist), wobei das innere längs durchströmte Rohr den eigentlichen Messwiderstand und das äußere Rohr die Stromrückleitung darstellt. Alles andere wäre Humbug.
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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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| Seb90 Verfasst am: 12. Jun 2018 13:55 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
... in denen aber die Stromdichte nicht konstant ist. Was soll das also?
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Einer meiner Ansätze war es ja, mir über Maxwell IV eine Beschreibung für das Magnetfeld in einem differentiellen Leitungselement herzuleiten und dieses dann über das Volumen zu integrieren. Die Stromdichte kann ich immerhin beschreiben:
=\frac{I_0}{2\pi r L})
Wobei  der gesamte in den Innenleiter hineinfließende Strom und L die Länge des Hohlzylinders ist.
Weiter bin ich aber leider nicht gekommen, weil ich Maxwell IV nicht nach dem Magnetfeld umstellen kann, ohne vorher zumindest die geometrische Form zu kennen.
| Zitat: | | Wenn der von Dir verwendete Shunt so verkauft wird, dann ist es ein "herkömmlicher". Er kann auch aus zwei Rohren und einer zentralen Messleitung bestehen, wobei das innere längs durchströmte Rohr den eigentlichen Messwiderstand und das äußere Rohr die Stromrückleitung darstellt. |
Das hat unser Schnittbild aber leider nicht gezeigt. Wie gesagt, es geht mir auch nicht unbedingt um dieses spezielle Produkt - wobei es natürlich den Startpunkt meiner Überlegungen darstellt -, sondern um die analytische Beschreibung des Magnetfelds in einem solchen Leiter.
| Zitat: | | Alles andere wäre Humbug. |
Würdest Du das bitte etwas näher erläutern? Das ist nicht sarkastisch oder abfällig gemeint, ich bin wirklich interessiert und dankbar für Deine Hilfe!
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 12. Jun 2018 14:57 Titel: |
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Im Anhang zeige ich Dir mal einen "herkömmlichen" Koaxial-Shunt, bei dem das eigentliche Shunt-Element der Manganin-Zylinder ist. Über die innere Stromklemme wird ihm der zu messende Strom zugeführt. Am anderen Ende ist der Messwiderstand über das hier braun dargestellte Kontaktstück mit dem Außenrohr (Kupfer-Zylinder) verbunden, über das der Strom zur äußeren Stromklemme zurückgeführt wird. Innen- und Außenzylinder sind natürlich durch eine dünne Schicht nichtleitenden Materials voneinander isoliert. Die ist hier nicht erwähnt, weil die Isolation zwar wichtig ist, aber wegen des geringen Potentialunterschieds keinen besonderen Aufwand erfordert. Der Spannungsabfall über dem Messwiderstand (Manganin-Zylinder) wird natürlich zwischen dem einen und dem anderen Ende des Widerstandszylinders gemessen. Dazu wird das Potentail des einen Endes über eine zentrale Messleitung zum anderen (braunen) Ende geführt. Zwischen Messleitung und "braunem" Ende wird die Spannung (meistens per Koax-Stecker) gemessen. Der Raum zwischen Messleitung und Widerstandszylinder ist zur mechanischen Stabilisierung der Messleitung häufig noch mit Isoliermaterial gefüllt.
Die Induktivität dieses Messelementes wird natürlich durch die in ihm gespeicherte magnetische Energie bestimmt. Die Berechnung ist, wenn man sie sehr genau vornehmen will, etwas aufwendig. Wegen der geringen Dicke des Rohres lässt sich allerdings in erster Näherung das Magnetfeld als homogen annehmen. Dazu wird in den Durchflutungssatz (Ampere-Gesetz) der mittlere Radius des Widerstandsrohres eingesetzt, so dass sich für die magn. Feldstärke ergibt
mit
})
Wie Du damit weiterrechnest, ist Dir sicherlich bekannt. Falls nicht, kannst Du ja nachfragen. Jedenfalls ergibt sich damit die Induktivität zu
}{\pi\cdot (r_a+r_i)})
Ich frage nich allerdings, wozu Du die Induktivität selber berechnen willst. Die müsste doch im Datenblatt des des Shunts angegeben sein, oder nicht?
| Beschreibung: |
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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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| Seb90 Verfasst am: 12. Jun 2018 15:21 Titel: |
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Ich fange mal mit Deiner abschließenden Frage an:
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Ich frage nich allerdings, wozu Du die Induktivität selber berechnen willst. Die müsste doch im Datenblatt des des Shunts angegeben sein, oder nicht?
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Das ist ja gerade das Bittere: ein wirkliches Datenblatt gibt es so nicht. Das, was am nächsten an ein Datenblatt herankommt, ist das hier. Nur findet man dort leider keine Angaben über die Induktivität des Bauteils, geschweige denn den Induktivitätsverlauf über die Frequenz. Und die Bandpassfrequenz, die dort angegeben ist, ist - wie ich nach einigen frustierenden Messversuchen feststellen musste - nicht etwa die Grenzfrequenz des stromführenden Teils, sondern die des Messanschlusses. Für den stromführenden Teil liegt sie - je nach Shunt - zwischen ca. 850kHz und 1MHz.
Datenblätter sind halt leider auch ein Stück weit PR 
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
[...]
Wie Du damit weiterrechnest, ist Dir sicherlich bekannt. Falls nicht, kannst Du ja nachfragen.
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Dankeschön. Für den Koaxialshunt mit einem axial bestromten Widerstandselement wie in Deinem Bild verstehe ich die Herleitung, die ist nicht sonderlich kompliziert. Meine Frage zielte aber genau auf ein radial bestromtes Widerstandselement hin ab.
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Seb90
Anmeldungsdatum: 11.06.2018
Beiträge: 7
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| Seb90 Verfasst am: 15. Jun 2018 14:06 Titel: |
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Hallo,
ich habe eine Idee, die mich weiter bringen könnte, sofern ich keinen Denkfehler begangen habe.
Mein Ansatz:
Wenn man zwei nebeneinanderliegende infinitesimale Mantelflächen
auf der Außenseite des Zylinders betrachtet und sich für diese Flächen den jeweils durch sie hindurchfließenden Strom
dA=J(r)dA\vec{e_r}
<br />
)
betrachtet, dann müssten sich nach der Rechten-Hand-Regel die Z-Komponenten der dazugehörigen Magnetfeldanteile gegenseitig aufheben.
Für innenliegende Flächenelemente gilt dies auch für die Tangentialkomponenten in  -Richtung, nur an den Stirnflächen des Hohlzylinders nicht.
Dort bildet sich an der "Oberseite" durch Überlagerung der benachbarten Anteile ein Feld in  -Richtung (im Uhrzeigersinn) aus, an der "Unterseite" eines in -Richtung (gegen den Uhrzeigersinn).
Wenn man sich nun Maxwell IV anschaut, dann muss das geschlossene Wegintegral der magnetischen Feldstärke über die Randkurve einer stromdurchflossenen Fläche gleich dem durch sie hindurchfließenden Strom sein:
Das Problem ist hier nur, eine Flächenumrandung zu wählen, die den gesamten Stromfluss umschließt. Ich habe meinen Ansatz dafür mal als Skizze beigelegt.
Teilt man also den Integrationsweg  in die vier Wegsegmente auf und beachtet die Richtung des Magnetfeldes bzw. dessen Fehlen in Z-Richtung, dann kann man die Maxwell-Gleichung lösen zu
Habe ich einen Fehler gemacht, oder ist das tatsächlich die Lösung des Problems?
Schönes Wochenende!
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