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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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 Aristo Verfasst am: 31. Jan 2018 12:17 Titel: Fouriertransformation eines Wellenpakets |
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Meine Frage:
Geben Sie die Formel fuer die Fouriertransformation eines Wellenpakets f(x) vom Orts in den Impulsraum an.
Das heisst also, dass ich eine Funktion, die vorher den Ort von etwas angegeben hat, nun den Impuls an bestimmten Stellen im Raum angeben soll.
Meine Ideen:
Die Frouriertransformation sieht fuer mich allgemein so aus:
 = \frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{n=1}^8 (a_{n} cos (\frac{n \pi x}{L} ) + b_{n} sin (\frac{n \pi x}{L} )) )
Im 1D- Fall und in einigen Erklaerungen (zu meiner Frage) wird scheinbar diese Formel genutzt
= \frac{1}{2\pi } \int_{-8}^8 \! f(x) e^{-ikx} \, \dd x )
An dieser Stelle kurz der Hinweis: Ich habe einige Erklaerungen gefunden, nur keine richtig verstanden. Fuer mich besteht zwischen dem Ort und dem impuls allgemein der Zusammenhang, dass durch p=mv, folgendes gilt:
Die Fourierreihe verstehe ich in so Fern, als dass es eine Darstellung einer beliebigen Funktion durch die Wellenfunktionen sin und cos ist. So kann man aus einem "Problem" eins mit Welleneigenschaften machen. Welche der beiden Fourierfunktionen ich nun nutze und warum verstehe ich nicht.
Intuitiv haette ich die Fourierreihe nach der Zeit abgeleitet. Leider weiss ich nicht wie ich die Funktion einfuege (in dem Fall f(x))
Zuletzt bearbeitet von Aristo am 31. Jan 2018 13:12, insgesamt einmal bearbeitet |
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benruzzer
Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160
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| benruzzer Verfasst am: 31. Jan 2018 13:02 Titel: |
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Deine erste Formel beschreibt die sog. Fourier-Reihe. Diese eignet sich um periodische Funktionen zu beschreiben.Warum du die obere Grenze 8 hast ist mir nicht klar. Hier müsste  stehen. Mit dieser Reihe kannst du jede periodische Funktion exakt darstellen. (Vgl. dazu Taylor-Reihe: Ist eine Darstellung durch Polynome, mit der man einige Funktionen auch exakt darstellen kann z.B. Sinus). Mit der Euler-Formel kann man cos und sin auch als Exponential-Funktion schreiben:
 = \sum_{n=-\infty}^\infty f_n(\omega_n) \exp(i\omega_nx)
<br />
)
Die Fouriertransformation wird durch nicht periodische Funktionen motiviert. Hier kann man sich vorstellen, dass die Periodendauer T gegen geht. Damit werden die diskreten Frequenzen aus der Summe wegen :
praktisch kontinuierlich und wir können statt der Summation zur Integration übergehen:
 = \sum_{n=-\infty}^\infty f_n(\omega_n) \exp(i\omega_nx) \rightarrow f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}\omega f(\omega) \exp(i\omega x)
<br />
)
Jetzt kann man das Integral "umdrehen":
 = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x f(x)\exp(-i\omega x)
<br />
)
und mann wechselt dadurch zwischen Orts- und Impulsraum (beachte Zusammenhang von  und Impuls) . Die Vorfaktoren habe ich mit Absicht weggelassen, da es hier unterschiedliche Konventionen gibt. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 31. Jan 2018 13:24 Titel: |
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Waere euler aber nicht ein Teil, der imaginaer ist und einer der reell ist? Bei der Fourierreihe am Anfang haben wir gar keinen imaginaeren und bei der Summe hat die e Funktion dann einen imaginaeren Teil im Exponenten 
Dass man diese Summe als Integral verstehen darf glaube ich verstanden zu haben.
Warum kann man das Integral einfach 'umdrehen'? Normalerweise kann ich doch nicht einfach die Variablen tauschen. Das scheint der wichtigste Schritt bei der Begruendung zu sein. |
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benruzzer
Anmeldungsdatum: 02.02.2014
Beiträge: 160
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| benruzzer Verfasst am: 31. Jan 2018 20:15 Titel: |
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Die Koeffizienten  können i.A. auch komplex sein.
Man tauscht nicht einfach die Variablen, sondern wendet die inverse Fouriertransformation an (das Vorzeichen in der exp-Funktion ändert sich auch). Für eine Plausibilisierung, kannst du mal versuchen in die Fouriertransformation die inverse Fouriertransformation einzusetzten. Wenn du die Dirac-Delta Funktion kennst, siehst du den Zusammenhang. Ansonsten kannst du z.B. hier nachlesen: https://itp.uni-frankfurt.de/~jeschke/E4/kapitel1_2up.pdf |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 01. Feb 2018 11:42 Titel: |
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Herzlichen Dank! Das hat mir ein gutes Stueck weitergeholfen |
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