Rindsbiene
Anmeldungsdatum: 11.06.2016
Beiträge: 8
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 Rindsbiene Verfasst am: 03. Jul 2016 15:22 Titel: Phasenraumtrajektorien eines Pendels |
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Hallo an alle,
bei meiner Aufgabe ist folgendes gegeben:
Pendel mit Masse m
Länge l
konstantes Gravitationsfeld
 = -mgl cos(\phi)
<br />
<br />
)
Ich soll die Lagrange-Funktion aufstellen:
L = T - V
)
und davon ausgehend die Hamilton-Funktion berechnen:
)
Im nächsten Teil der Aufgabe soll ich die Hamilton'schen BGLs aufstellen:
 q )
Ich bin jetzt einfach davon ausgegangen, dass ich  durch q ersetzen muss, da  die generalisierten Koordinaten darstellen, was in dieser Aufgabe eben ist.
Ist das so korrekt?
Im nächsten Schritt soll ich die Phasenraumtrajektorien  ) berechnen.
Ich gehe davon aus, dass ich also die BGLs lösen soll.
Mein Ansatz lautet:
dann setze ich  dort ein und erhalte:
 q (1- \frac{1}{l}))
Kann mir bitte jemand sagen, ob das so stimmt?
Vielen Dank!!
LG
Rindsbiene |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 04. Jul 2016 05:25 Titel: |
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Hi!
Den verallgemeinerten Impuls hast Du richtig bestimmt, aber die Hamilton-Funktion nicht. Mal so generell als Tipp: Die Hamilton-Funktion stimmt für eine große Klasse von Systemen mit der Energie überein. Das kann man auch zeigen mit dem Eulerschen Theorem über homogene Funktionen (Details z.B. im Buch von Landau/Lifschitz), falls die kinetische Energie homogen von Grad 2 in den Geschwindigkeiten ist. In diesem Fall ist nämlich  (an Stelle der 2 würde nach dem Eulerschen Theorem allgemein der Homogenitätsgrad stehen). Das heißt,  = T + V) in diesem Fall. Falls ihr das Eulersche Theorem nicht behandelt habt, darfst Du das Resultat vermutlich nicht benutzen. Aber Du solltest Dir trotzdem merken, daß eine quadratische Abhängigkeit der kinetischen Energie von den Geschwindigkeiten zu  führt, und Dein Ergebnis anzweifeln, falls Du auf etwas anderes kommst.
Natürlich sollte Dich eine Summe  auch schonaus Dimensionsgründen mißtrauisch machen. 
Und noch etwas: Eine quadratische Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten führt auch dazu, daß die Impulse proportional zu den Geschwindigkeiten sind. Das heißt, ob Du nun ein  oder  Phasendiagramm nimmst, spielt keine Rolle, es ist nur eine Verzerrung der Form. Für ersteres ist es doch sehr anschaulich, daß die Phasenraumtrajektorien in der Nähe der Gleichgewichtslage näherungsweise Ellipsen sind. Mit physikalischen Überlegungen kannst Du auch das Verhalten an den Umkehrpunkten erhalten (so genannte "Separatrix"), d.h. Du weißt, wie das Phasenraumdiagramm ungefähr aussehen sollte.
Aufgrund der falschen Hamilton-Funktion ist natürlich auch die Bewegungsgleichung falsch (jedenfalls die erste; die zweite ist auch falsch, aber das liegt nicht an der falschen Hamilton-Funktion, sondern da hast Du richtig falsch gerechnet). Noch ein Tipp: Die Bewegungsgleichung  kannst Du überprüfen, indem Du die Euler-Lagrange-Gleichung aufstellst. Denn die liefert Dir ja eine Gleichung für  . 
Und die Gleichung für  kannst Du noch einfacher überprüfen: Sie geht aus der Substitution  hervor. Diese Gleichung ist also trivial! Wenn Du Dir nochmal anschaust, wie die Hamiltonschen Gleichungen bewiesen werden, wirst Du das auch feststellen: Der nichttriviale Teil ist der Beweis der erstgenannten Gleichung, diese folgt aus der ELG. Die zweitgenannte Gleichung ist einfach die Aussage, daß die Legendre-Transformation involutiv ist.
Ich hoffe, daß Du mit diesen Tipps nochmal Dein Ergebnis überprüfst und zum richtigen Ergebnis gelangst.
Nebenbei: Du mußt unbedingt Ableiten trainieren! Auch aufgrund Deines letzten Threads.  = - \sin (q)) , das solltest Du wissen.
Dann noch etwas: Die Hamiltonschen Gleichungen sind ein DGL-System erster Ordnung. Das löst man nicht, indem man es in eine DGL zweiter Ordnung umwandelt, wie Du es versucht hast. Natürlich kann man grundsätzlich alles machen, wenn es zur Lösung führt, aber eine DGL erster Ordnung kannst Du viel besser lösen als eine DGL zweiter Ordnung. Das ist ja gerade der Witz bei der Hamilton-Methode (abgesehen davon, daß der Hamilton-Formalismus mathematisch viel greifbarer ist, z.B. aufgrund des Satzes von Liouville, der zum Beispiel den Poincaréschen Wiederkehrsatz als sehr tiefe nichttriviale Konsequenz hat).
In diesem Fall mußt Du allerdings ohne eine Lösung auskommen. Ich habe mal von einer analytischen Lösung des mathematischen Pendels gelesen. Ich muß zugeben, daß ich mir bisher nicht die Zeit genommen habe, sie zu überprüfen (dabei ist sie nicht einmal besonders lang), und sie scheint noch nicht ins allgemeine Bewußtsein vorgedrungen zu sein, denn man hört ziemlich oft, das mathematische Pendel sei nicht analytisch lösbar. Aber eines ist sicher: Niemand verlangt von Dir in einer Übungsaufgabe, daß Du eine Lösung findest. Du sollst nur ) bestimmen, dazu brauchst Du keine Zeitabhängigkeit.
Habt ihr mal besprochen, daß  ist? So drückt sich Energieerhaltung im Hamilton-Formalismus aus. Das wäre wirklich die einfachste Möglichkeit: Energieerhaltung liefert Dir direkt die Phasenraumtrajektorien.
Ich würde vermuten, daß das die gewollte Lösung ist. |
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