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bond
Anmeldungsdatum: 22.11.2015
Beiträge: 14
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 bond Verfasst am: 01. Jan 2016 13:25 Titel: Quantenzustand Phasenänderung |
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Hallo, ich soll zeigen, dass weder die Wahrscheinlichkeit ein bestimmes Ergebnis  zu erhalten noch der Erwartungswert  davon beeinflusst werden wenn sich die globale Phase eines Zustands  ändert:
Mir fehlt noch der komplette Ansatz. Kann mir jemand helfen? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18015
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| TomS Verfasst am: 02. Jan 2016 00:39 Titel: |
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Wie sind denn die Wahrscheinlichkeit sowie der Erwartungswert definiert?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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bond
Anmeldungsdatum: 22.11.2015
Beiträge: 14
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| bond Verfasst am: 03. Jan 2016 11:14 Titel: |
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Hallo TomS, der Erwartungswert für den Ort  ist definiert als:
x\Psi(x,t)dx)
und die Wahrscheinlichkeit ist definiert als:  wobei  und  zwei Zustände sind.
So ganu bringt mich das noch nicht weiter. Kannst du mir helfen? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 03. Jan 2016 12:27 Titel: |
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Vergleiche doch mal die Betragsquadrate der Amplituden, die du erhältst wenn du a) oder b)  jeweils auf einen beliebigen weiteren Zustand projizierst. Damit erschlägst du sowohl die Wahrscheinlichkeiten als auch die Erwartungswerte. |
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bond
Anmeldungsdatum: 22.11.2015
Beiträge: 14
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| bond Verfasst am: 03. Jan 2016 12:49 Titel: |
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Hallo index_razor, so wirklich verstanden habe ich nicht was du mir sagen möchtest. Ich habe das mit der Wahrscheinlichkeit einmal probiert.
^2)
Das müsste die Wahrscheinlichkeit für  sein ausgehend vom dreidimensionalen.
Das war es für die Wahrscheinlichkeit?
Bei dem Erwartungswert muss ich dann berechnen:
Oder was ist hier zu tun? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 03. Jan 2016 13:00 Titel: |
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| bond hat Folgendes geschrieben: | Hallo index_razor, so wirklich verstanden habe ich nicht was du mir sagen möchtest. Ich habe das mit der Wahrscheinlichkeit einmal probiert.
Das müsste die Wahrscheinlichkeit für sein ausgehend vom dreidimensionalen.
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"Ausgehend vom dreidimensionalen"? Was soll das bedeuten? Die Dimension des Ortsraumes spielt hier überhaupt keine Rolle. Das Skalarprodukt, welches du berechnen mußt spielt sich im Hilbertraum ab, nicht im euklidischen Ortsraum.
Es handelt sich bei  um eine komplexe Amplitude. Wie ist das Betragsquadrat einer komplexen Zahl definiert?
| Zitat: |
Bei dem Erwartungswert muss ich dann berechnen:
Oder was ist hier zu tun? |
Du hast das Betragsquadrat unter dem Integral vergessen. Ansonsten stimmt es im Prinzip schon. Es besteht allerdings kein Grund in der Ortsdarstellung zu rechnen. Du sollst die Aussage ja auch für einen beliebigen Operator beweisen. Der Erwartungswert ist  . Du kannst aber auch von der Spektraldarstellung von A ausgehen
und benutzen, daß du die Invarianz für die Wahrscheinlichkeiten schon gezeigt hast. |
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bond
Anmeldungsdatum: 22.11.2015
Beiträge: 14
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| bond Verfasst am: 03. Jan 2016 13:57 Titel: |
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Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist  .
 In dem Fall wird komplex konjugiert. Wenn ich das nicht in komponenten mit einem zeilen und Spaltenvektor aussrechnen kann wie soll ich das dann machen?
Wenn der Erwartungswert auch darstellbar ist als  dann wird auch hier wie berechne ich das Skalarprodukt hier wenn nicht mit zeilen und Spaltenvektor? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 03. Jan 2016 14:04 Titel: |
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| bond hat Folgendes geschrieben: | Das Betragsquadrat einer komplexen Zahl ist .
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Genau. Und was kommt raus, wenn du  mit seinem Komplex-Konjugierten multiplizierst?
| Zitat: |
In dem Fall wird komplex konjugiert.
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Nein, es wird  , also die Amplitude, komplex konjugiert.
| Zitat: |
Wenn ich das nicht in komponenten mit einem zeilen und Spaltenvektor aussrechnen kann wie soll ich das dann machen?
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Was denn für Zeilen und Spalten? Du benötigst nur die algebraischen Eigenschaften komplexer Zahlen, sowie die Tatsache, daß das Hilbertraumprodukt sesquilinear ist.
| Zitat: |
Wenn der Erwartungswert auch darstellbar ist als dann wird auch hier wie berechne ich das Skalarprodukt hier wenn nicht mit zeilen und Spaltenvektor? |
Hier gilt genau dasselbe. Du ziehst den Faktor aus bra und ket vor das gesamte Produkt (Sesquilinearität beachten). Mehr mußt du nicht tun.
P.S.: Ich finde es allerdings unnötig, die Invarianz des Erwartungswertes nochmal explizit auszurechnen. Wenn du die Invarianz bereits für das Wahrscheinlichkeitsmaß gezeigt hast, überträgt sie sich auch auf alle existierenden Momente der Verteilung. Es gibt m.E. keinen Grund den Erwartungswert hier extra zu behandeln. |
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bond
Anmeldungsdatum: 22.11.2015
Beiträge: 14
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| bond Verfasst am: 03. Jan 2016 18:41 Titel: |
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Hallo index_razor, ich denke jetzt habe ich verstanden wo du drauf hinaus willst. Ich kann nicht ohne weiteres herausziehen da dies ebenfalls komplex konjugiert werden muss.
Das ist die Wahrscheinlichkeit für  und wie man sieht macht es keinen Unterschied ob man  oder  betrachtet.
Wenn das soweit korrekt ist werde ich mich später an den Erwartungswert setzen. Das müsste dann die selbe Rechnung sein bloß das man zweimal herauszieht und bei beiden Faktoren nach der komplexen konjugation ebenfalls  erhält und damit der ganze Ausdruck invariant bleibt. |
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