Analogien zwischen QM und QFT

Jonnymonny · Gast

Moin. Bei Einführungen zur Quantenfeldtheorie läuft es meistens so ab das erst der klassischen harmonische Oszillator als diskretes System quantisiert wird und dann wenn es zur QFT kommt wird ein kontinuierlicher harmonischer Oszillator quantisiert (spin 0 Feld) das wäre dann die erste QFT. Danach kommt dann die Quantisierung eines Vektor feldes (spin 1/2 Feld), aber was ist dann das analog als diskretes klassisches System?

Also Skalarfeld (spin 0): klassisch, diskret -> quantenmechanisch, kontinuierlich.

Wie ist das jetzt bei Vektorfeldern (spin 1/2)?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Ich würde das etwas anders darstellen:

Skalar: Klein-Gordon-Feld => Spin-0 QFT
Spinor: Dirac-Feld => Spin-1/2 QFT
Vektor: Maxwell- o. Yang-Mills-Feld => Spin-1 QFT

Wichtig: Spin-1/2-Felder sind Spinorfelder; Vektorfelder sind Spin-1-Felder

Jonnymonny · Gast

Hi. Ok aber was ist ein klassisches und diskretes Klein-Gordon Feld? Ich suche diese Analogie die es bei spin-0 zwischen klassisch, diskretem und nicht-klassisch kontinuierlichem harm. Oszillator gibt.

Jonnymonny · Gast

Halo. Klein-Gordon Feld oben durch Dirac Feld ersetzen

Jonnymonny · Gast

Halo=Halt.

Ok noch mal. Also das Klein-Gordon Feld wäre in dem Fall der klassische diskrete harmonische Oszillator. Wie sieht es beim Dirac Feld aus?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Was meinst du mit "klassisch" und was mit "diskret"?

Ein Feld wird dadurch zu einem quantenmechanischen Feld bzw. einer Wellenfunktion, dass du es als solches interpretierst. Die Schrödingergleichung, Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung, Maxwell-Gleichung, ... sind zunächst einfach Feldgleichungen. Dass es sich in den ersten drei Fällen um quantenmechanische Felder bzw. Wellenfunktionen handelt, liegt nicht im Feld selbst begründet, sondern darin, dass du bestimmte andere Formalismen darauf anwendest, z.B. die Berechnung von Erwartungswerten. Dies tust du mit dem elektromagnetischen Feldern nicht, und nur deswegen liegt dabei kein quantenmechanischen Feld vor.

Alle diese Felder haben jedoch noch nichts mit der Quantenfeldtheorie zu tun; zur Quantenfeldtheorie gelangst du erst, indem du diese Felder in Feldoperatoren überführst; dies resultiert dann z.B. in der QED.

Nun kann man sich überlegen, wie man zu eine klassischen Feldtheorie gelangt, z.B. mittels einer Kette gekoppelter, diskreter, harmonischer Oszillatoren; ich kann nur vermuten, dass man sowas z.B. auch für diskrete Spin-Freiheitsgrade durchführen kann und dass man zu soetwas wie der Pauli- oder der Dirac-Gleichung gelangt. Ich habe das aber nie selbst durchgerechnet, und ich halte es auch für irrelevant.

Wichtig dabei ist, dass dieser Übergang von diskreten Freiheitsgraden zu Feldern nichts quantenmechanischen an sich hat oder irgendwas mit Quantenmechanik oder Quantenfeldtheorie zu tun hat.

Jonnymonny · Gast

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8581

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18051

Man könnte sich auch mal die Gittereichtheorie anschauen. Dabei wird ja eine Quantenfeldtheorie wie QED oder QCD diskretisiert. Ausgangspunkt ist die fermionische Lagrangedichte

Im Falle der QCD wird das Eichfeld durch eine su(3)-Matrix dargestellt

Die Diskretisierung führt auf eine Kopplung benachbarter, diskreter Fermion-Freiheitsgrade. Die Eichfelder sind definiert auf den Links zwischen Gitterpunkten; man definiert das pfadgeordnete Produkt zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten

Mittels der SU(3)-Matrix U schreibt man nun die Lagrangedichte der Eichfelder sowie der Fermionen um. Der erste Term führt auf den kinetischen Term, der zweite auf den Kopplungstem mit dem Eichfeld. Für g = 0 bzw. A = 0, d.h. U = 1 erhält man die freie Theorie ohne Eichfelder. Man erhält Kopplungsterme zwischen benachbarten Punkten x der Form

wobei die c's im wesentlichen numerische Konstanten sind.

Siehe z.B. Seite 57 in

http://www.itp.uni-hannover.de/saalburg/Lectures/wiese.pdf