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ohneplan123
Gast
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 ohneplan123 Verfasst am: 11. Feb 2015 02:03 Titel: EM-Welle im Rechteck-Hohlleiter |
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In den letzten Zügern meiner Beschäftigung mit der elektromagnetischen Welle, bin ich auf folgende Klausuraufgabe gestoßen:
In einem Rechteck-Hohlleiter (Achse parallel zur z-Achse; Wände bei x=0, x=a, y=0, y=b; ideal leitend ->d.h. innerhalb der Wände verschwinden E- und B-Feld) breite sich eine in z-Richtung fortschreitende Welle aus:
 = \left(\hat B_x (x)\vec e_x+\hat B_y(x) \vec e_y+ \hat B_z (x)\vec e_z \right)e^{i\left(kz-\omega t\right)})
a) Welchen Gleichungen und Randbedingungen müssen die
)
genügen?
b) Bestimmen Sie diese! Wie lautet dann die Dispersionsrelation, die Phasen und Gruppengeschwindigkeit? Bestimmen Sie das zugehörige E-Feld.
hätte gern, dass hier mal jemand drüberschaut und mir entsprechend unter die Arme greift, wenn nötig.
a)
Als erste muss das B-Feld natürlich den Maxwellgleichungen genügen. Insbesondere dem Gaußsatz für Magnetfelder:
Daraus folgt für die Komponenten des Polarisationsvektors:
e^{i\left(kz-\omega t\right)}= 0 \quad \Rightarrow\quad \underline{\frac {\partial\hat B_x(x)}{\partial x} = 0})
e^{i\left(kz-\omega t\right)}= 0 \quad \Rightarrow\quad \underline{ik\hat B_z(x)e^{i\left(kz-\omega t\right)} = 0})
Dann müssen die Randbedingungen für die Wände gelten:
 = vec B(x=a,y,z,t) = 0)
=\hat B_x(a) = 0})
=\hat B_y(a) = 0})
=\hat B_z(a) = 0})
Und aus den Maxwellgleichungen folgt am Ende noch die Erfüllung der entsprechenden Wellen Gleichung:
-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\vec B = 0)
e^{i\left(kz-\omega t\right)} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat B (x)e^{i\left(kz-\omega t\right)} = 0)
e^{i\left(kz-\omega t\right)} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat B_x (x)e^{i\left(kz-\omega t\right)}})
e^{i\left(kz-\omega t\right)} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat B_y (x)e^{i\left(kz-\omega t\right)}})
e^{i\left(kz-\omega t\right)} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\hat B_z (x)e^{i\left(kz-\omega t\right)}})
b)
x-Komponente:
}{\partial x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \hat B _x(x)=m=const.)
=\hat B_x(a) = 0 \quad \Rightarrow \quad \underline{\underline{\hat B _x(x)=m=const = 0}})
Damit ist auch die Wellengleichung für die x-Komponente automatisch erfüllt.
z-Komponente:
e^{i\left(kz-\omega t\right)} = 0 \quad \Rightarrow\quad \underline{\underline{\hat B_z(x)=0}})
Damit ist sowohl die Wellengleichung, als auch die Randbedingung in der Wand des Hohlleiters erfüllt.
y-Komponente:
Hier hab ich jetzt irgendwie das Problem, dass ich lediglich auf die triviale Lösung komme. Ich suche aber eine nicht-triviale Lösung. Woran liegt das, dass es nicht klappt? Habe ich etwas falsch gemacht?
E-Feld errechnet sich dann einfach aus dem Induktionsgesetz?
Danke für jede Hilfe |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 12. Feb 2015 09:30 Titel: |
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Kann keiner sagen, wie ich auf die nicht-triviale Lösung komme?
Oder darf ich in einem derartigen Hohlleiter nicht wie im Vakuum rechnen und nabla B verschwindet nicht automatisch? |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 12. Feb 2015 10:01 Titel: |
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Was ich nicht verstehe: Der Polarisationsvektor, soll doch nur von x abhängen, wenn ich das richtig verstehe. Wie solle eine sich in z-Ausbreitende Welle, deren Polarisation nur von x abhängt, Randebedingungen bzgl. y erfüllen? das erschließt sich mir nicht so ganz. Ich würde mich über den entscheidenden Hinweis freuen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 10:41 Titel: |
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Die Randbedingungen in (a) sind falsch. Und die Gleichungen, denen B_j(x) genügt, lassen sich auch noch vereinfachen... |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 12. Feb 2015 17:44 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Die Randbedingungen in (a) sind falsch. Und die Gleichungen, denen B_j(x) genügt, lassen sich auch noch vereinfachen... |
Wieso sind die Randbedingungen falsch? Das B-Feld muss doch in der Wand verschwinden (also bei x= 0 und x=a), oder etwa nicht?
Was meinst du mit vereinfachen der Gleichungen? Das sind ja nur die Gleichungen denen sie genügen. In b) forme ich ja dann um und rechne aus. Fehlt irgendeine Gleichung? Wieso komm ich auf (0,0,0)? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 17:51 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: |
Wieso sind die Randbedingungen falsch? Das B-Feld muss doch in der Wand verschwinden (also bei x= 0 und x=a), oder etwa nicht?
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In der Wand, aber nicht am Rand. |
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ohneplan123
Gast
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| ohneplan123 Verfasst am: 12. Feb 2015 18:02 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: |
Wieso sind die Randbedingungen falsch? Das B-Feld muss doch in der Wand verschwinden (also bei x= 0 und x=a), oder etwa nicht?
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In der Wand, aber nicht am Rand. |
Was passiert stattdessen am Rand?  Keine Ahnung worauf du hinaus willst. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8584
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| jh8979 Verfasst am: 12. Feb 2015 18:04 Titel: |
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| ohneplan123 hat Folgendes geschrieben: |
Was passiert stattdessen am Rand? Keine Ahnung worauf du hinaus willst. |
Dass die Felder nicht einfach Null sind am Rand.
Das sind Standard-Randbedingungen bei EM-Aufgaben, an der Grenze zweier Medien. Einmal ins Skript oder Buch gucken genügt, das ist das allererste was man beim Wellenleiter bespricht... |
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