Operator in Eigenwert umwandeln (Streuproblem)

Tryte · Gast

Meine Frage:

Hallo miteinander.

Ich hätte ne Frage zu einem Rechenschritt aus der Musterlösung die wir bekommen haben. Hoffentlich kann mir da jemand auf die Sprünge helfen.

Folgender Rechenschritt:

Meine Ideen:
Klar, die Integrale kann man sozusagen als 1-Matrix einfügen. Jetzt weiß ich nur nicht wieso

aus meinen r-Operatoren die Eigenwerte macht... Kann ich einfach annehmen, dass

in der Eigenbasis der Raumvektoren vorliegt (d.h. eine Diagonalmatrix bildet)? Dann müsste dieser Operator doch mit dem Orts-Operator kommutieren oder?

Wäre super nice wenn sich da ein schlauer Kopf meldet :)

Danke!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Nun, es ist doch

für einen beliebigen Operator A mir Eigenwerten a und Eigenzuständen a.

Zumindest für Operatorfunktionen f(A) mit Taylorentwicklung

folgt doch trivialerweise

I.A. muss man zu Definition von Operatorfunktionen den Spektralsatz bemühen.

D.h. ja, üblicherweise sind Eigenzustände zu einem Operator auch Eigenzustände zu dessen Operatorfunktionen. Ich müsste aber auch erst nachlesen, wie man das allgemein beweist bzw. an welchen Stellen dies scheitert.

Tryte · Gast

Danke für die Antwort!

Nur verstehe ich nicht, wieso ich scheinbar annehmen kann, dass die Ortsvektoren eine Eigenbasis zu meiner Operatorfunktion

bilden...

Klar, könnte ich jetzt ne Eigenwert-Gleichung aufstellen und es testen. Mich würde aber mehr interessieren ob es aus irgendeinem Grund so sein muss. Wäre für zukünftige Berechnungen sicher hilfreich! Thumbs up!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Wie gesagt, für Potenzreihendarstellungen von f(A) ist das trivial.

Wenn du nun keine Potenzreihendarstellung angeben kannst, dann musst du eine Operatorfunktion eigtl. erst mal definieren. Und eine solche Definition liefert dir der Spektralsatz, d.h.

Wie anders würdest du eine Funktion f(A) sonst definieren?

Das Problem ist natürlich, dass das im vorliegenden Fall aufgrund der verallgemeinerten Basis |r> und für |0> mathematisch extrem heikel ist.