Wie interpretiert man die Boltzmann-Verteilung

Zahlenjongleur · Anmeldungsdatum: 06.01.2015 Beiträge: 1

Hallo!

Bin erst vor Kurzem diesem Forum beigetreten, da physikalische Themen sehr viel Spielraum für Interpretationen zulassen. Kurz zu mir, bin ein Physikstudent im 1.Semester

Beschäftige mich derzeit mit der Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung, und habe eine spezielle Frag zum Integral

Warum gibt, das ausgewertete Integral der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion die Zahl der Teilchen im Geschwindigkeitsintervall an!

Klar ist einmal (Geschwindigkeitsintervall liegt auf der X-Achse, Zahl der Teilchen N ist auf der Y- Achse angegeben); dass wenn ich das Intervall in unendlich kleine Delta x- Abschnitte zerlege und die einzelnen Delta x dann mit der Anzahl der Teilchen multipliziere, dass ich dann die Fläche unter der Verteilungsfunktion erhalte! Im Grenzbereich geht Delta x gegen Null, und aus meinen infinitesmal kleinen Rechtecken werden Streifen, mit der Höhe, die der Anzahl der Teilchen, die sich mit einer wahrscheinlichen Geschwindigkeit v bewegen entspricht!

jetzt zum Problem! einzelne Linien aufzusummieren, ergibt zwar eine Fläche, aber diese Fläche kann doch nicht die Summe aller (Teilchenanzahlen für eine bestimmte Geschwindigkeit ergeben!

Angenommen ich habe 1000 Moleküle mit einer Geschwindigkeit von 500m/s
und 300 mit einer von 200m/s; Summe ergebe 1300 Moleküle, dass entspricht aber keinem Flächenstück unter der Kurve

und mit Rechtecken hätte ich dann das Problem, das deren Flächeninhalt, dann f(v)*v wäre v aber de facto Null wäre und man daher ein infintesmal kleines Rechteck mit Flächeninhalt Null hätte, was ja komplett schwachsinnig ist! Bitte daher um Hilfe

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Erstmal zur Idee, warum man das so macht:
Die Energie eines Teilchenzustandes ist, wenn man nur die kinetische Energie betrachtet,

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Die Wahrscheinlichkeit, im thermodynamischen Gleichgewicht abhängig von der gefundenen Energie ein Teilchen anzutreffen, ist laut Boltzmann

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Das bedeutet, wenn du die kinetische Energie und die Temperatur kennst, kannst du die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass ein Teilchen in diesem Zustand ist. Jetzt betrachtest du die nicht die Energien, sondern du willst wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Geschwindigkeitsintervall

anzutreffen ist.
Anders ausgedrückt musst du im v-Raum in einem Kugelvolumen diese Energiezustände für mehrere Teilchen jetzt "zählen". Gleiche Energiezustände, also gleiche Teilchengeschwindigkeiten liegen auf einer Kugeloberfläche

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Wenn du annimmst, dass jedes Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit all diese Teilchenzustände annehmen kann (der Boltzmannfaktor ist überall gleich), dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen mit bestimmtem v in dem gesuchten Intervall das Produkt aus der Kugeloberfläche zugehörig zu v, in dem die Zustände anzutreffen sind mal dem Boltzmannfaktor mal einer Normierungskonstante c:

Wenn du die Wahrscheinlichkeit auf 1 normierst (1 bedeutet, 100 % meiner Teilchen haben die Geschwindigkeit v, die man in die Funktion eingesetzt hat), kannst du noch c bestimmen.
Durch Integrieren über alle Teilchen mit gleichem Geschwindigkeitsbetrag erhältst du die gesamte Geschwindigkeitsverteilung P(v). P(v) gibt die Anzahl an Teilchen, die du mit Geschwindigkeit v im gesamten Raum antreffen würdest.

Das Integral ist, wie du schon angedeutet hast, die verbesserte Version der Summe. Du musst einfach alle Teilchenzustände mit v addieren, um zu wissen, wieviele Teilchen ingesamt v haben.
Die Boltzmannstatistik ist dabei eben eine von vielen, die, je nach Teilchensorte, benutzt werden.
Und wie gesagt, bei p(v) hast du eine Wahrscheinlichkeitsdichte, also ein unendlich kleines Intervall, das wäre dann dein unendlich kleiner Delta x Abschnitt auf der x-Achse, aber sobald du integrierst über v, erhältst du die Summe aus allen unendlich kleinen Delta x.
Da man in der Herleitung annimmt, dass die Boltzmann-Verteilung gilt, sind diese Zustände aber auch unbedingt besetzt. Du hast in der Realität eben diese möglichen Energien und wenn das System im thermodynamischen Gleichgewicht ist (die Teilchen haben lange genug untereinander Energie austauschen können), dann stellt sich eben eine gleichmäßige Verteilung ein, die man die Normalverteilung nennt.
Deswegen ist deine Annahme, du hättest 1000 Moleküle mit 500 m/s und 300 mit 200 m/s einfach keine Normalverteilung. Du müsstest warten, bis die Teilchen miteinander lange genug gewechselwirkt haben und hättest dann irgendwann eine Normalverteilung. Wenn du zwei Teilchenzahlen mit zwei verschiedenen Energien angibst, entspricht das nur zwei Deltas im Geschwindigkeitsraum und keiner Verteilung.
Und Deltafunktionen sind keine Rechtecke, sondern spezielle Funktionen, die gewissermaßen angeben, dass an einem Punkt x etwas anzutreffen ist und deshalb das Integral nicht null geben darf (in der Physik oft ein Teilchen), deswegen darf man sich das nicht als Rechteck vorstellen, das ist eher eine

- Funktion (Normalverteilung) mit unendlich kleiner Breite lim a -> 0, wobei sich eben der Flächeninhalt nicht ändert, egal wie schmal die Kurve wird:

http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Approximation_der_Delta-Distribution

Und die Maxwell-Boltzmann-Verteilung kann man auf Wikipedia auch nachlesen:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Maxwell-Boltzmann-Verteilung&redirect=no