Funktional aufleiten, Brachistochrone

Kate2 · Gast

Meine Frage:
Der untere Integralausdruck muss aufgeleitet werden:

Meine Ideen:
Ich weiß nicht, wie ich anfangen soll....

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Wenn du an der Brachistochrone interessiert bis, dann kannst du nicht integrieren, da eine unbekannte Funktion y(x) unter dem Integral steht.

Gesucht ist stattdessen die Funktion y, die Zeit T[y] minimiert.

Dazu benötigst du grundsätzlich die Methoden der Variationsrechnung, insbs. die Euler-Lagrange-Gleichungen. In diesem speziellen Fall liegt jedoch eine erhaltene Energie E vor, wodurch die zu lösende Differenzialgleichung deutlich einfacher wird.

http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone#Herleitung

Kate 2 · Gast

Ja, also das ist eigentlich nur eine Teilaufgabe zu dem Brachistochronenproblem. Die Aufgabenstellung ist eigentlich:
Leiten Sie den Integralausdruck für die Fallzeit T auf einer beliebigen Kurve y(x) her ... (sorry hab mich vorher vertippt)

Kate 2 · Gast

Aa, ok , also ich könnte so anfangen, dass T kin - V pot = const. usw?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Kate 2 · Gast

OK, danke, die Aufgabe habe ich schon gemacht.

Kate 2 · Gast

Aber interessanter finde ich den letzten Teil:
Bestimmen Sie die Fallzeit z von PM nach PE für eine Zykloidenbahn,
wobei

ein beliebiger Punkt auf der Bahn zwischen
PA und PE ist.
Die Masse soll bei PM aus der Ruhe starten. Die Substition

erleichtert das Ausführen des Integrals. Welche besondere
Eigenschaft der Zykloidenbahn können Sie dem Ergebnis entnehmen.

Kate 2 · Gast

Ich brächte ein Tipp...