Chaostheorie - Attraktoren

mine · Gast

Meine Frage:
Ich hab im Internet einige Quellen gefunden, bei denen ein Attraktor als Indikator für chaotisches Verhalten genannt wird, neben Selbstähnlichkeit des Systems, Kausalität, etc.
Jetzt sollten wir für unsere Facharbeit Simulationen erstellen und eine Simulation mit einem Punktattraktor sei nicht chaotisch, da ein Attraktor vorhanden ist. Laut Wikipedia können chaotische Systeme aber einen Attraktor haben.
Gibt es da irgendeinen Unterschied, den wir evtl. nicht gemacht haben, der aber für dieses Problem entscheidend ist?

Meine Ideen:
- Chaos ist vorhanden, Lehrer ist falsch
- Chaos ist nicht vorhanden, Quellen sind falsch

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18195

Ich denke, dir ist klar, was ein Attraktor ist - eine Untermenge des Phasenraums (aufgespannt durch die Orte und Impulse), gegen die die Bewegung eines Systems mit der Zeit konvergiert. Die Existenz eines Attraktors hat dabei zunächst nichts mit Chaos zu tun, letzteres ergibt sich evtl. aus der Dimensionalität des Attraktors.

Betrachten wir dazu einige einfache Systeme mit einem 1+1 dim. Phasenraum, d.h. einer Orts- sowie und einer Impulskoordinate (x,p).

1) Mathematisches Pendel ohne Reibung:
Sowohl x(t) als auch p(t) folgen einer (gegeneinander phasenverschobenen) harmonischen Schwingung; (x,p) beschreiben eine Ellipse im Phasenraum, d.h. der Attraktor entspricht gerade dieser Ellipse uns ist somit eindimensional.

2) Mathematisches Pendel mit Reibung:
Im Gegensatz zu (1) ist die Schwingung gedämpft d.h. die Amplitude nimmt ab; (x,p) konvergieren gegen den Punkt (0,0), es liegt ein nulldimensionaler Attraktor vor.

3) Mathematisches Pendel mit Reibung und harmonischer äußerer Kraft:
Aufgrund der äußeren Kraft wird das System im Gegensatz zu (2) nicht gegen (0,0) konvergieren, sondern wieder gegen eine Ellipse im Phasenraum, die es jedoch im Gegensatz zu (1) nie bei endlicher Zeit exakt durchläuft; d.h. es liegt wieder wie bei (1) ein eindimensionaler Attraktor vor.

In höherdimensionalen Phasenräumen kann eine Verallgemeinerung des unter (1) und (3) beschriebenen Verhaltens auftreten:

(4) Zunächst stellen wir uns eine Ellipse in einem höherdimensionalen Raum vor (vgl. (1) und (3)). Dann stellen wir uns eine sich korkenzieherartig um diese Ellipse windende, geschlossene Kurve vor (vgl. wieder (1) und (3)). Nun stellen wir uns vor, dass die Kurve nicht geschlossen ist, sondern sich nach einem Umlauf nur sehr nahe kommt. Wenn die beteiligten Frequenzen in einem irrationalen Verhältnis stehen, wird die korkenzieherartige Kurve für unendliche Zeiten eine torusartige Fläche bedecken, die die ursprüngliche Ellipse gerade umschließt. Obwohl wir mit einer eindimensionalen Kurve gestartet sind liegt ein zweidimensionaler Attraktor vor!
Soweit ich weiß ist dies ein geeignetes Modell für Planetenbahnen, wenn man Störungen anderer Planeten mit einbezieht (die o.g. Kurven im Phasenraum dürfen nicht mit den Kurven im Ortsraum verwechselt werden)

5) Von einem chaotischen Attraktor spricht man, wenn die Dimension des Attraktors nicht ganzzahlig ist.

http://en.wikipedia.org/wiki/Attractor#Motivation
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension

minedev · Gast

Ok, die Beispiele hab ich schonmal gesehen, aber wie passt das jetzt zur Chaostheorie? Müsste die Dimension des Attraktors dann zwischen 2 Zahlen liegen, damit das System chaotisch ist? Ich versteh deine Beispiele zwar, kann aber keinen Bezug zum Chaos herstellen

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18195

Ja, die Dimension des Attraktor darf dann nicht ganzzahlig sein, d.h. sie darf nicht der topologischen Dimension entsprechen (letzter ist in den o.g. Beispielen immer 1)

Es gibt verschiedene Definitionen für fraktale Dimensionen, die einfachste ist m.E. die box-counting Dimension. Stell dir vor, du hast ein Quadrat oder einen Würfel der Kanten- bzw. Seitenlänge L (allgemein eine Menge S) und versuchst ihn mittels kleineren Quadraten oder Würfeln zu überdecken. Letztere haben Kanten- bzw. Seitenlänge xL (mit Bruchteil x<1). Die box-counting Dimension ist definiert durch diese Länge xL sowie die Anzahl der zur Überdeckung notwendigen kleineren Quadrate oder Würfel:

Probier's aus, für ein Quadrat bekommst du immer dim=2; z.B. kannst du ein Quadrat der Kantenlänge L mit 9 Quadraten der Kantenlänge l=xL=L/3 (d.h. x=1/3) überdecken. Wenn du das aber für ein Land wie Deutschland versuchst, dann wird kein x>0 zu einer 100% Überdeckung führen, d.h. du musst den Grenzübergang x gegen Null durchführen, was zu unendlich vielen Quadraten führt, d.h. N gegen unendlich.

Ich weiß nicht, welcher Dimensionsbegriff für chaotische Attraktoren verwendet wird, ich vermute die Hausdorff-Dimension, die mit der box-counting Dimension verwandt ist.

minedev · Gast

Ok, Stichwort fraktale Dimension kenn ich, meine Arbeit geht übers Apfelmännchen. Könnte man also vereinfachen, dass chaotische Systeme einen Attraktor haben, umgekehrt aber ein Attraktor kein chaotisches System erzwingt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18195

minedev · Gast

Ja,das war auch klar, aber ein Orbit in der Menge gleicht der Bahn zu einem Attraktor. (hab ich eigentlich separat gefragt)

Danke für die Korrektur, ich glaub, ich habs verstanden :-)