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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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 planck1858 Verfasst am: 02. Okt 2013 22:47 Titel: Folgen |
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Hi,
ich soll den Grenzwert folgender Folgen bestimmen.
)
)
Stimmen die Grenzwerte so?
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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sadsads
Gast
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| sadsads Verfasst am: 02. Okt 2013 22:59 Titel: |
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Die beide letzten stimmen nicht. Tip: Schreibe Sinus als Reihe aus.
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
Wohnort: Dresden
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 02. Okt 2013 23:29 Titel: |
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| para hat Folgendes geschrieben: | | Weiterer Tipp: es gibt das Matheboard. |
Aber das sollte einem ja nicht verbieten auch hier Mathefragen zu stellen...
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 02. Okt 2013 23:48 Titel: |
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| sadsads hat Folgendes geschrieben: | | Die beide letzten stimmen nicht. Tip: Schreibe Sinus als Reihe aus. |
Das wäre unschön. Substituieren mit L'Hospitalscher Regel geht wohl auch:
 = \lim_{m \searrow 0} \frac{\sin m}{m} = \lim_{m \searrow 0} \cos m = 1)
 = \lim_{m \nearrow 0} \frac{\sin m}{m} = \lim_{m \nearrow 0} \cos m = 1)
Hier wurde zwar n kontinuierlich gemacht. Das sollte aber unproblematisch sein, denn man kann ja leicht zeigen, dass, wenn der Grenzwert für die Funktion existiert, dies der Grenzwert für die Folge erst recht tut (und diese gleich sind).
Abgesehen davon ist natürlich der Grenzwert für m gegen null genau so definiert.
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sdadadada
Gast
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| sdadadada Verfasst am: 03. Okt 2013 04:30 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | sadsads hat Folgendes geschrieben: | | Die beide letzten stimmen nicht. Tip: Schreibe Sinus als Reihe aus. |
Das wäre unschön. Substituieren mit L'Hospitalscher Regel geht wohl auch:
Hier wurde zwar n kontinuierlich gemacht. Das sollte aber unproblematisch sein, denn man kann ja leicht zeigen, dass, wenn der Grenzwert für die Funktion existiert, dies der Grenzwert für die Folge erst recht tut (und diese gleich sind).
Abgesehen davon ist natürlich der Grenzwert für m gegen null genau so definiert. |
Warum bezweile ich nur, dass jemand, der gerade erst die Nullfolge lernt, in seinem Beweis L'Hospital verwenden und von kontinuierlichen Funktionen auf Foglen schliessen kann?
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 03. Okt 2013 09:36 Titel: |
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| sdadadada hat Folgendes geschrieben: | | Warum bezweile ich nur, dass jemand, der gerade erst die Nullfolge lernt, in seinem Beweis L'Hospital verwenden und von kontinuierlichen Funktionen auf Foglen schliessen kann? |
Sehe ich genauso, geschweige denn das er Differenzierbarkeit verwenden darf. Ich fand deine Lösung mit der Reihenentwicklung zunächst recht schön, aber im Grunde kann man hier ein ähnliches Argumente bringen: Woher soll er die Taylorentwicklung des Sinus kennen?
Streng genommen bleibt wohl zu quetschen. Von oben kein Problem, da sin(1/n) < 1/n (Beweis?), von unten fällt mir spontan nichts ein.
Oder eben geometrisch argumentieren, dass lim m->0 sin(m)/m = 1
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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| planck1858 Verfasst am: 03. Okt 2013 09:51 Titel: |
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Ich danke euch erstmal für eure Beiträge. Wie würde das denn mithilfe der Taylorentwicklung aussehen?
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 03. Okt 2013 10:54 Titel: |
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Der relevante Teil der Reihendarstellung ist
 = 1/n-1/(6 n^3)+O((1/n)^4))
(Am Rande, das n darfst du nur reinziehen, da die Reihe konvergent ist.)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2013 12:33 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Hier wurde zwar n kontinuierlich gemacht. Das sollte aber unproblematisch sein, denn man kann ja leicht zeigen, dass, wenn der Grenzwert für die Funktion existiert, dies der Grenzwert für die Folge erst recht tut (und diese gleich sind). |
Ja, aber dass der Grenzwert für eine Funktion existiert ist keinesfalls trivial.
Z.B. kann man
 = \beta(x)^{\pi(x)})
für verschiedene Funktionen beta und pi betrachten und wird dabei einige pathologische Eigenschaften finden, siehe z.B.
= e^{-1/x})
Ich denke, dass Methoden der Analysis hier eher sparsam eingesetzt werden sollten; man macht da schnell ein Fass auf ...
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw
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| planck1858 Verfasst am: 03. Okt 2013 12:43 Titel: |
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Und was heißt das jetzt konkret für mich?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2013 12:51 Titel: |
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Gegenfrage: welche Konvergenzkriterien kennst du und welche Rechenmethoden sollt ihr anwenden?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2013 16:17 Titel: |
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| sdadadada hat Folgendes geschrieben: | | Warum bezweile ich nur, dass jemand, der gerade erst die Nullfolge lernt, in seinem Beweis L'Hospital verwenden und von kontinuierlichen Funktionen auf Foglen schliessen kann? |
Ich weiß nicht. Wir hatten im Vorkurs an einem Tag Folgen/Reihen, am nächsten Tag Differentialrechnung und am übernächsten Tag gleich als erstes die L'Hospitalscher Regel. So unrealistisch ist das also nicht. Abgesehen davon sind beides auch Themen, die man in der Schule bei einem vernünftigen Matheunterricht behandelt. Im Gegensatz zur Darstellung des Sinus als Taylorreihe.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, aber dass der Grenzwert für eine Funktion existiert ist keinesfalls trivial. |
Warum das? Die L'Hospitalsche Regel sagt, dass, wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert, auch der Grenzwert auf der linken Seite existiert. Dass der Grenzwert  existiert, wird doch keiner bezweifeln, oder? Dass der Cosinus eine stetige Funktion ist, wird man doch wohl als bekannt voraussetzen dürfen. Jedenfalls existiert somit der Grenzwert  , und er hat den Wert 1. Dieser Grenzwert ist aber gerade so definiert, dass für jede Folge _{n \in \mathbb N}) mit  und ) gilt:
Die Folge _{n \in \mathbb N}) ist so eine Folge. Aus der Existenz des obigen Grenzwerts folgt also die Existenz des Grenzwerts ) .
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 03. Okt 2013 17:02 Titel: |
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Auch wenn du glaubst dir nun eine Zacke aus der Krone zu brechen, solltest wirklich akzeptieren, dass dein Weg nicht sauber war. Man kann Heute auch noch keine Dinge verwenden die morgen erst entwickelt werden.
Wörter wie "bekannt", "offensichtlich", "Matheunterricht" etc. müssen zwangsläufig durch "nach Satz", "nach Vorlesung", "wie bereits gezeigt" ersetzt werden, jedenfalls in den ersten reinen Matheveranstaltungen.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2013 17:41 Titel: |
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Ja, das sehe ich ein. Trotzdem finde ich diesen Weg immer noch sauberer als über die Reihenentwicklung des Sinus, da dann im Prinzip dasselbe passiert, nur mit einem viel größeren Overhead.
Zum Thema 'quetschen': nach unten könnte man die Abschätzung  \geq 1/n \Rightarrow n \sin(1/ n) \geq \cos (1/n)) machen. Dass letzterer gegen 1 konvertiert, könnte man mit dem Additionstheorem und einem Grenzwertsatz zeigen:
 = \lim \cos \left( \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n} \right))
 - 1 \right) = 2 \left( \lim \cos \frac 1 n \right)^2 - 1 \Leftrightarrow \lim \cos \frac 1 n = 1)
(EDIT: Sofern man -1/2 als Grenzwert ausschließen kann)
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 03. Okt 2013 17:55 Titel: |
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Das sieht schon viel besser aus, leider hast du im vorletzten Satz die Konvergenz von cos(1/n) vorausgesetzt.
Das müsste man auch noch zeigen, sonst darf man weder die Summe trennen, die 2 vorziehen, noch den Limes in das Quadrat ziehen.
Bleibt also noch die Konvergenz zu zeigen.
edit: tan(1/n) >= 1/n natürlich auch!
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18087
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| TomS Verfasst am: 03. Okt 2013 18:01 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Ja, aber dass der Grenzwert für eine Funktion existiert ist keinesfalls trivial. |
Warum das? Die L'Hospitalsche Regel sagt, dass, wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert, auch der Grenzwert auf der linken Seite existiert. |
Dann betrachte mal die Funktion
 = e^{-1/z})
für komplexes z, sowie
jeweils für z gegen Null (wobei z aus einer beliebigen Richtung gegen Null gehen kann)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 03. Okt 2013 18:05, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2013 18:01 Titel: |
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@Feucht von Lipwig: Für alle n ist der  \in [-1, 1]) , d.h. die Folge ist beschränkt. Außerdem ist der Cosinus in diesem Intervall monoton, wie man sich geometrisch überlegen kann (EDIT: Ich meine das Intervall von null bis pi, in dem ja alle 1/n für natürliche n liegen).
EDIT: Zum Tangens. Für hinreichend kleine 1/n (so, dass Sinus und Cosinus beide positiv sind), gilt  = \frac{\sin (1/n)}{\cos (1/n)} \geq \frac{\sin (1/n)}{1} \geq \frac 1 n)
EDIT: Flüchtigkeitsfehler. Ich bin mir aber sicher, dass wird sich irgendwie zeigen lassen. Ich werde das noch nachliefern.
@TomS: Ich sehe nicht, was das mit der L'Hospitalschen Regel zu tun haben soll. Welche Funktion soll in den Nenner?
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Feucht von Lipwig
Anmeldungsdatum: 19.09.2013
Beiträge: 122
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| Feucht von Lipwig Verfasst am: 03. Okt 2013 18:44 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | (EDIT: Ich meine das Intervall von null bis pi, in dem ja alle 1/n für natürliche n liegen). |
Ich glaube du meinst schon das Intervall [-1, 1], bzw. [0, 1], in dem alle Werte von cos(1/n) mit n in IN liegen, oder verstehe ich dich falsch? Jedenfalls sind nur die Beschränktheit des Wertebereich und das Monotonieverhalten sind interessant für den Satz den du verwendest.
Wenn du so viel Ehrgeiz in dieses Beispiel steckst, dann würde ich an deiner Stelle nach einem Weg ohne Additionstheorem suchen. Dazu solltest du dir dann einen Kreisbogenausschnitt aufzeichnen und den Sinus, Kosinus, Tangens einzeichnen und einfach aus der Geometrie die Ungleichungen ablesen.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Okt 2013 19:06 Titel: |
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| Zitat: | | Ich glaube du meinst schon das Intervall [-1, 1], bzw. [0, 1], in dem alle Werte von cos(1/n) mit n in IN liegen, oder verstehe ich dich falsch? |
Jein. Für alle natürlichen n ist  . In diesem Intervall (von null bis pi) ist der Cosinus monoton. Ich hatte beim Punkt Monotonie nicht spezifiziert, welches Intervall ich meine. Es ging mir einfach nur darum, zu zeigen, dass )_n) monoton ist. Die Beschränktheit ist ja offensichtlich (und zwar, letztendlich, aufgrund der Dreiecksungleichung).
Hier noch der Beweis für den Tangens. Ich begnüge mich vorerst damit, zu zeigen, dass  \geq 1/n) für  gilt. Denn für diesen Zweck reicht das ja (die Abschätzung braucht ja nur für "fast alle" Folgenglieder zu gelten). Für diesen Bereich ist x (der Kreisbogenabschnitt, rot) kleiner als 2a. Da allerdings 90°-x > x, gilt b>a, d.h. a+b=tan(x)>2a>x.
| Beschreibung: |
| Skizze (der rote Kreisbogenabschnitt soll Teil eines Einheitskreises sein!). |
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| Angeschaut: |
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