Interne Symmetrie zwischen Elektronen und Neutrinos

Blob · Anmeldungsdatum: 04.04.2013 Beiträge: 4

Hallo allerseits,

ich hab mich heute an das Weinberg-Salam-Modell rangewagt und mir das Lehrbuch "Quantum Field Theory" von Lewis H. Rider geschnappt. Aber schon bei den basics steige ich aus.
Zunächst wird die Elektron-Neutrino-Langrangedichte eingeführt und in rechts- und linkshändigen Anteil aufgespalten.

Ok, da komme ich noch mit. Aber dann fragt Ryder nach "internal symmetries" der Lagrangedichte und behauptet: "The transformations must be between particle whose space-time properties are the same, so the only possibility is a mixing of e_L and ny." (S. 299)

Mir ist klar, dass rechts- und links-händige Spinoren nicht die gleichen Raum-Zeit-Eigenschaften haben. Aber warum muss die interne Symmetrie überhaupt zwischen Teilchen sein, die die gleichen Raum-Zeit-Eigenschaften haben?

Ich hab's mal anders probiert und einen fiktiven zweikomponentigen Spinor aus linkshändigem Elektron und rechts(!!)- händigem Elektron kreiert.
Man kann eine beliebige SU(2)-Transformation auf dieses Doublett loslassen

Die obige Lagrangedichte bleibt auch unter dieser Transformation invariant. Eine SU(2)-Traffo zwischen rechtsh. Elektron und Neutrino würde auch funktionieren.
Warum steckt man nun trotzdem die beiden linkshändigen Teilchen in ein Doublett?

Yildirim · Anmeldungsdatum: 03.04.2013 Beiträge: 28

Hallo
Meines Wissens nach ist diese Aufteilung der Teilchen in ein Singulett und ein Duplett eine Voraussetzung des Standardmodells, die sich innerhalb des Modells nicht begründen lässt. Du wirst es wohl als Postulat hinnehmen müssen.

Ich lasse mich aber gern eines besseren belehren, wenn hier jemand eine Begründung liefert.

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Yildirim hat recht. Die spezielle Form des Standardmodells ist natürlich eine Annahme, die man nicht wirklich herleiten oder beweisen kann. Allerdings kann man versuchen sie plausibel zu machen, wie man auf so eine Annahme kommt und das tut Ryder im Kapitel 8.5:

Er geht vom Dirac Lagrangian für Elektronen und Elektron-Neutrinos aus und überlegt welche inneren Symmetrien dieser besitzt. Der wichtige Punkt ist, dass es um innere Symmetrien geht, d.h. Symmetrien die mit der Lorentzgruppe vertauschen. Daraus folgt insbesondere der von Dir zitierte Satz "The transformations must be between particle whose space-time properties are the same, ...". Da eR und eL unterschiedlich transformieren unter der Lorentzgruppe (genauer: unter Boosts) können also nicht ineinander übergehen unter einer inneren Symmetrie. Gleiches gilt fuer eR und ne, "so the only possibility is a mixing of eL and ne".

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018

Man kann das auch so formulieren: zwei Transformationen P und S, die (P) die Helizität und (S) innere Eigenschafen wie schwachen Isospin oder schwache Hyperladung transformieren, müssen vertauschen, d.h. SP = PS.

Ein linkshändiges Elektron kann durch P nur in ein rechtshändiges Elektron überführt werden, P lässt jedoch sämtliche "innere" Quantenzahlen (el.-schw. Ladung, ...) unangetastet; insbs. entsteht kein Zustand mit Neutrinoanteilen o.ä.

Umgekehrt wird S nur auf schwache Quantenzahlen wirken und nicht auf Eigenschaften bzgl. der Raumzeit wirken.

Das gilt auch für andere Symmetrieoperationen der Raumzeit, z.B. Lorentztransformationen L anstelle von P.

Einen wie von dir o.a. Spinor aus rechts- und linkshändigen Anteilen kannst du konstruieren. Dabei wird P zwischen den beiden Spinoranteilen transformieren. S wird bzgl. der beiden Händigkeiten blockdiagonal sein und in beiden Sektoren identisch wirken.

Die Symmetriegruppe des Standardmodells ist "Poincaregruppe * U(1) * SU(2) * SU(3)" wobei ein direktes Produkt vorliegt, d.h. alle Symmetrieoperationen vertauschen.

Blob · Anmeldungsdatum: 04.04.2013 Beiträge: 4

Cool! Danke! Das hilft mir schon weiter.
Ich möchte noch sicher gehen, dass ich es verstanden habe:
Also die Poincarétraffos vertauschen mit den internen SU(2)-Traffos. Theoretisch könnte man sich aber ein Modell basteln, indem man eine andere SU(2) (z.B. aus e_R und Neutrino) wählt, die dann allerdings nicht mit der Poincarégruppe vertauschen würde. Und diese Theorie würde nicht unserer Natur entsprechen.
Kann man das so sagen?

Falls das so ist, stellt sich mir aber eine neue Frage, nämlich: Woher wissen wir, dass das linkshändige Elektron in einem Iso-Dublett und das rechtshändige Elektron in einem Iso-Singlett ist? Welche Physik steckt dahinter?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18018