Elektron als 3d stehende Welle?

Noho · Gast

Hallo,

ich habe Probleme mir ein Elektron als stehende Welle bzw. als dreidimensionale stehende Welle vorzustellen. grübelnd

Wie sieht so etwas aus? Ich werde da irgendwie nicht schlau draus.

Und wieso kann man dann den Aufenthalt nicht exakt bestimmen? Wenn ich das Teilchen lokalisiert habe, weiß ich doch aufgrund der Wellenfunktion auch wo es sich hinbewegen wird?

Äther · Anmeldungsdatum: 22.12.2011 Beiträge: 387

Hallo,

Du solltest Dir das Elektron überhaupt nicht als Welle vorstellen. Und die Frage wie das aussieht ist auch nicht wirklich zu beantworten, denn ein Elektron kann nach heutigem Wissensstand als punktförmig angenommen werden.
Dass man Ort und Impuls nicht gleichzeitig scharf messen kann ist ein elementares Prinzip der Quantenmechanik und liegt daran, dass Orts- und Impulsoperator nicht vertauschen.
"Wenn ich das Teilchen lokalisiert habe, weiß ich doch aufgrund der Wellenfunktion auch wo es sich hinbewegen wird?"
Das must Du mir mal erklären, wie das geht.

## · Gast

Bedingt durch andere ablenkende Punktladungen, rotiert jede Punktladung mit Lichtgeschwindigkeit - genau lokalisierbar kann diese daher überhaupt nicht sein.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18065

Hallo Noho, zuerst mal ## ignorieren, sonst wird man gaga.

Im Rahmen der QM kann man Quantensysteme mittels Wellenfunktionen darstellen. Mathematisch werden stationäre Zustände durch Lösungen(Eigenfunktionen) der zeitunabhängigen Schrödingergleichung beschrieben. Das Elektron im Wasserstoffatom (oder ändern Systemen) kann man sich dann tatsächlich als Welle vorstellen. Die Amplitude der Welle hängt mit der Wahrscheinlichkeit zusammen, ein Elektron an einem bestimmten Punkt zu finden. Größere Amplitude bedeutet größere Wahrscheinlichkeitsdichte.

Die Wellenfunktion ist komplex, daher wird im folgenden die komplexe Phase nicht dargestellt, sondern lediglich der Betrag. Bei einem Schnitt entlang der xy-Ebene durch ein Wasserstoffatom bekommst du dann Wellenfunktionen der Art

http://media-2.web.britannica.com/eb-media/83/5683-004-1BA01A0E.jpg
http://sevencolors.org/images/photo/hydrogen_density_plots.jpg

Äther · Anmeldungsdatum: 22.12.2011 Beiträge: 387

Uriezzo · Anmeldungsdatum: 15.09.2011 Beiträge: 281 Wohnort: Großostheim

Es ist prinzipiell schwer, sich in der Quantenmechanik etwas vorzustellen.

Das Elektron selbst sollte ich mir weder als Welle noch als punktförmiges Teilchen vorstellen. Beide Vorstellungen sind unzureichend.

Die Wellenfunktion ist vielmehr ein Weg, das Elektron mathematisch zu erfassen und zu beschreiben und zwar in dem Sinne, dass das Betragsquadrat dieser Funktion die Wahrsscheinlichkeit gibt, dass das Elektron an einem bestimmten Ort detektiert werden kann oder - allgemeiner formuliert, dass das Elektron einem bestimmten Ort wechselwirkt. Wechselwirkungen zwischen Teilchen finden in der Quantenmechanik und auch der Quantenfeldtheorie lokal statt.

Manchmal liest man auch, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion den Aufenthaltsort eines Elektrons gibt. Ich halte diese Formulierung für nicht sehr glücklich, da, wenn man vom Aufenthaltsort eines Elektrons spricht, man irgendwie doch implizit sich das Elektron als ein punktförmiges Teilchen vorstellt. Und spätestens in der Quantenfeldtheorie hat es sich dann erledigt mit Wellenfunktion und Aufenthaltsort: Da kann ich ein einzelnes Teilchen gar nicht mehr mit Hilfe einer Wellenfunktion beschreiben, ohne in Widersprüche zu geraten.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18065

Noho · Anmeldungsdatum: 04.03.2013 Beiträge: 2

Oh da hab ich ja eine kleine Diskussion ausgelöst Big Laugh

Es ist so das ich einen Vortrag in der Schule über Atommodelle und vor allem das Orbitalmodell halten werde.

Also ich hatte mir das mit der Welle so vorgestellt, ich kenne ja die Frequenz und Wellenlänge etc. deshalb weiß ich doch auch wie diese weiterverläuft grübelnd

Aber ist es wohl eher so, dass das Elektron keine Welle ist sondern die Wahrscheinlichkeit seines Aufenthalts durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann? ?

Heißt das dann weiter, dass ich beim 1s Orbital quasi das Maximum der Amplitude der Wellenfunktion bzw. des Betragsquadrates direkt an der x-Achse habe, wenn diese Radius=0 darstellt? Aber ich habe ja eigtl mehrere Amplituden bei einer Welle grübelnd

Mich würde halt interessieren wie ich davon dann zu den Orbitalformen komme?
Ich kenne mich bei Wellen iwie gar nicht aus aber eine stehende Welle sind doch zwei gegenläufige Wellen mit gleicher Frequenz und Amplitude?

Ich habe hier oben http://s1.directupload.net/file/d/3184/nbqye4ja_png.htm mal eine stehende Welle gezeichnet so wie ich sie mir vorstelle. Hammer

Aber eigtl ist das womit man ein Elektron beschreiben kann, eine dreidimensionale Stehende Welle, wie stellt man das dar?

Die Aufenhaltswahrscheinlichkeit für das Elektron muss ja wenn man das Betragsquadrat der Wellenfunktion grafisch veranschaulicht darstllt eine Kugelform ergeben, wenn man die 90% Aufenhaltswahrscheinlichkeit nimmt.

Dass stelle ich mir wie die untere Darstellung von mir vor, wo sich die Wellenfunktion ja asymptotisch 0 nähern muss wenn man ins Unendliche geht.. Aber das ist ja dann keine Richtige Welle mehr..?? Wie kommt man darauf??

Bitte lacht nicht, weil ich weiß nicht wie diese Wellenfunktion tatsächlich aussieht.
Wahrscheinlich ist das alles total falsch gezeichnet, vll liegt es daran dass ich es nicht kapiere , aber ich möchte gerne erklären wie man auf die Form der Orbitale kommt.

Wäre echt nett wenn mich jemand da bisschen aufklären könnte? Prost

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18065

Nun, wie die Bilder zeigen handelt es sich nicht um eine Welle fester Wellenlänge; die räumliche Struktur ist i.A. wesentlich komplexer (bereits bei einer Trommel hast du komplexere Schwingungsformen). Die Frequenz für die zeitliche Sschwingung entspricht der Energie, d.h. wenn eine definierte Energie vorliegt, dann liegt auch eine feste Frequenz vor. Zur Veranschaulichung lassen wir diese zeitliche Abhängigkeit zunächst mal weg.

Dann hast du recht, "dass das Elektron keine Welle ist sondern die Wahrscheinlichkeit seines Aufenthalts durch eine Wellenfunktion beschrieben werden kann." Wobei du da immer noch voirsichtig sein musst, wenn du dir das Elektron als Massenpunkt vorstellst, für dessen Ort es noch eine Wahrscheinlichkeit gibt.

Die Wahscheinlichkeitsdichten darst du dir - mit genügend Vorsicht - als Wolke variabler Dichte vorstellen. Größere Wahrscheinlichkeit entspricht größerer Dichte. In den Abbildungen wird dies durch die Amplitude bzw. farblich dargestellt.

Jetzt zu den Orbitalen.

Stell dir zunächst eine Karte mit einem Höhenlinienprofil für eine zweidimensionale Landschaft vor, z.B. für die Alpen. Man erhält das Profil, in dem man, in dem man Punkte gleicher Höhe durch Linien verbindet.

Nun versuch mal, das auf drei Dimensionen zu verallgemeinern.

Du identifizierst Punkte gleicher Wahrscheinlichkeitsdichte. Im Raum entstehen so geschlossene Flächen konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte, ähnlich wie deformierte Zwiebelschalen. Nun wählst du dir eine Wahrscheinlichkeit aus, sagen wir 90%, und identifizierst die Zwiebelschale(n), innerhalb derer die Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit von 90% für das Elektron vorliegt. D.h. innerhalb 90%, außerhalb 10% (die 90% sind nur ein Beispiel).

Im einfachsten Fall erhältst du eine Kugel (oder eine deformierte Kugel). Du kannst aber auch mehrere Kugelschalen haben oder noch kompliziertere Flächen erhalten, so dass das so definierte Volumen nicht mehr zusammenhängend ist, also aus mehreren Einzelvolumina besteht. Wichtig ist, dass alle begrenzenden Zwiebelschalen jeweils dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte aufweisen.

Nochmal zum zweidimensionalen Beispiel: statt des Kriteriums „größer 90%“ nehmen wir zunächst „höher als 3000m“. Damit färbst du nun eine Landkarte der Alpen ein, d.h. du färbst die Gipfelregionen. Dieses Gebiet ist nicht zusammenhängend. Im Falle der Wahrscheinlichkeitsdichte ist diese Höhe (Amplitude) aber nicht vorgegeben, sondern wird ermittelt. Du probierst sozusagen alle Höhen (Amplitudenwerte) durch und bestimmst die Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb des so begrenzten (nicht zusammenhängenden) Gebietes. Wenn du gerade die 90% hast, dann markierst du die entsprechende Zwiebelschale(n). Im Falle der Alpen könntest du das Kriterium „90% aller Gemsen“ einführen. Jetzt musst du verschiedene Höhen durchprobieren (die „3000m“ gelten nicht mehr), bis du diejenige Höhe identifiziert hast, die gerade 90% aller Gemsen umschließt. Ein Beispiel wären „2310m“. Damit hättest du ausgehend vom Kriterium „mindestens 90% aller Gemsen“ ein (nichtzusammenhängendes) Gebiet „höher als 2310m“ identifiziert.

Ein Orbital ist also nun entsprechend die Definition eines Raumbereiches, innerhalb dessen die Gesamtaufenthaltswahrscheinlichkeit einen bestimmten Wert hat; ob jetzt gerade 90% oder etwas mehr oder weniger ist schon fast gleichgültig, es geht nur um eine Visualisierung.

Wichtig: stell dir bitte das Elektron nicht als Gemse (oder Rudel von Gemsen) vor. Es handelt sich wirklich um ein recht abstraktes mathematisches Objekt, das man eben irgendwie visualisieren möchte. Jede derartige Visualisierung ist nur ein unzureichendes Abbild, so wie ein Höhenlinienprofil nur einen Aspekt der Alpen darstellt, aber eben nicht die Alpen ‚ist’.

Uriezzo · Anmeldungsdatum: 15.09.2011 Beiträge: 281 Wohnort: Großostheim

Wenn Physiker von "Welle" oder "Wellenfunktion" sprechen, dann denken sie dabei oft nicht an eine spezielle Sinus oder Cosinusschwingung fester Frequenz und Amplitude, sondern an irgendeine Lösung einer Wellendifferentialgleichung.

So eine Lösung kann durchaus ganz anders aussehen, als wir uns gemeinhin eine Welle vorstellen, also eben nicht wie eine ins Unendliche gehende Sinus oder Cosinusschwingung mit fester Frequenz und Amplitude und auch nicht wie eine stehende Welle.

Allerdings lassen sich solche "allgemeineren" Lösungen als Überlagerung vieler unterschiedlicher Sinus und Cosinusschwingungen mit jeweils bestimmter Frequenz und Amplitude darstellen. Man spricht daher auch von Wellenpaketen.

Eine solche "allgemeinere" Welle oder ein Wellenpaket kann durchaus eine Form haben, die nur in einem kleinen Raumbereich verschieden von 0 ist und im Unendlichen gegen 0 geht.

Das ist auch im Grundzustand des Wasserstoffatoms der Fall.

Noho · Anmeldungsdatum: 04.03.2013 Beiträge: 2

Hmm irgendwie ist das trotzdem sehr abstrakt..
Verstehe ich das dann richtig quasi das die Wellenfuntion in 2d quasi einen kreis um den atomkern beschreibt, die schwingungen aber nicht nur quasi beim Querschnitt hin und weg zum Atomkern, sondern hallt in 3-d in alle Raumrichtungen vom Kern hin- und herschwingen und somit Kugeln oder andere abstrakte Formen produzieren wenn man die Amplituden der ganzen Schwingungsrichtungen überlagert?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18065

## · Gast

Die Fragestellung schien sich zunächst auf das Einzelelektron zu beschränken, daher der Vergleich mit den Schwingungen einer Punktladung in drei Ebenen, jeweils mit den Drehimpulsen h/4pi, zur Veranschaulichung des Spins.

Der Fragesteller scheint sich jedoch für ein gebundenes Elektron (im H-Atom) zu interessieren, da wird der Spin des Elektrons mitunter vernachlässigt.

Yildirim · Gast

Ich möchte noch etwas zu diesem Forum anmerken.

Es wird hier gegenüber Schülern oder sonstige nicht fachkundige Personen sehr oft sehr schnell im Formalismus der Quantenmechanik geantwortet. Dass Impulsoperator und Ortsoperator kommutativ sind und deswegen Ort und Impuls nicht gleichzeitig definiert sind, ist zwar richtig, bringt einem Schüler aber reichlich wenig.

Ich denke einen Schüler - sofern er kein Überflieger ist - verwirrt man nur mit den physikalisch korrekten Bezeichnungen.

Es ist zwar auf Schulniveau nicht möglich Quantenmechanik konsequent durchzuführen, aber um überhaupt etwas machen zu können, sollte man über didaktisch reduzierte Konzepte nachdenken, die dann zwar nicht ganz richtig sind, aber zumindest eine ungefähre Vorstellung vermitteln.

Yildirim · Gast

noch eine Korrektur:

[...]dass Impulsoperator und Ortsoperator NICHT kommutativ sind[...]

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18065

Yildirim · Gast

Uriezzo · Anmeldungsdatum: 15.09.2011 Beiträge: 281 Wohnort: Großostheim

Yildirim · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18065

Das Elektrton ist sicher weder Welle noch Teilchen; es zeigt in bestimmten Situationen entweder wellen- oder teilchenartige Aspekte