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Nachricht |
Phonon
Gast
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 Phonon Verfasst am: 21. Sep 2012 18:26 Titel: Gitterschwingungen |
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Hallo,
man habe eine lineare Kette von N gleichen Atomen, welche sich im Abstand a befinden.
In meinem Skript steht jetzt, dass man die Auslenkung des n-ten Atoms um seine Ruhelage wie folgt beschreiben kann:
=\frac 1 {\sqrt N} \sum_{p=1}^N q_p(t) e^{ip\frac {2 \pi} {Na} n a})
Kann mir einer erklären, was sich dahinter verbirgt?
Viele Grüße |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Sep 2012 19:49 Titel: Re: Gitterschwingungen |
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| Phonon hat Folgendes geschrieben: | [...]
Kann mir einer erklären, was sich dahinter verbirgt?
Viele Grüße |
u_n und q_p scheinen ein Fourier-Paar zu sein. |
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Phonon
Gast
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| Phonon Verfasst am: 21. Sep 2012 19:59 Titel: |
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Kannst du das genauer beschreiben? Wieso kann man das so schreiben? Und woher kommt die Wurzel N im Nenner? Und wieso ist die Reihe endlich? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 21. Sep 2012 20:04 Titel: Re: Gitterschwingungen |
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Kleine Korrektur:
=\frac{1}{\sqrt N} \sum_{p=1}^N q_p(t)\,e^{2\pi i np/N})
(es war ein a zu viel im Nenner des Exponenten)
Dahinter verbirgt sich die Idee, neue Koordinaten einzuführen. Ich denke, du betrachtest die lineare Kette mit Abstand a und einem Kopplungsterm zwischen benachbarten Massenpunkten n und n+1. Deine Auslenkungen, d.h. die generalisierten Koordinaten, sind die q(t).
Nun führst du mittels der Fourierreihe (deren Exponent gerade so gewählt ist, dass er periodische Randbedingungen berücksichtigt, also statt einer linearen eine Kreiskette realisiert) neue Koordinaten u ein. Das ist kein Selbstzweck. Die Idee dahinter ist, dass dieser Ansatz die Lagrangefunktion diagonalisiert bzw. die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen löst.
Während in der ursprünglichen Lagrangefunktion der Potentialterm benachbarte Oszillatoren koppelt
\,q_s(t))
wird in den neuen Koordinaten der Potentialterm wohl diagonal sein
_r\,u_n(t))
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Phonon
Gast
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| Phonon Verfasst am: 21. Sep 2012 20:27 Titel: Re: Gitterschwingungen |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Kleine Korrektur:
(es war ein a zu viel im Nenner des Exponenten)
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Da war ja sowohl im Zähler, als auch im Nenner ein a. Deswegen sollte das egal sein.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Dahinter verbirgt sich die Idee, neue Koordinaten einzuführen. Ich denke, du betrachtest die lineare Kette mit Abstand a und einem Kopplungsterm zwischen benachbarten Massenpunkten n und n+1. Deine Auslenkungen, d.h. die generalisierten Koordinaten, sind die q(t).
Nun führst du mittels der Fourierreihe (deren Exponent gerade so gewählt ist, dass er periodische Randbedingungen berücksichtigt, also statt einer linearen eine Kreiskette realisiert) neue Koordinaten u ein. Das ist kein Selbstzweck. Die Idee dahinter ist, dass dieser Ansatz die Lagrangefunktion diagonalisiert bzw. die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen löst.
Während in der ursprünglichen Lagrangefunktion der Potentialterm benachbarte Oszillatoren koppelt
wird in den neuen Koordinaten der Potentialterm wohl diagonal sein
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Wo steckt jetzt genau die Periodizität? Und ich dachte immer eine Fourierreihe ist eine unendliche Reihe. Kannst du bitte genauer erklären, wie man die Reihe aufstellt und entwickelt? |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 22. Sep 2012 09:23 Titel: |
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Eine Fourierreihe ist eine Darstellung einer beliebigen periodischen Funktion durch ein "periodisches Basissystem", d.h. Sinus und Cosinus oder eben die komplexe Exponentialfunktion (mit der man wesentlich kompakter rechnen kann, da man nicht die ganzen Additionstheoreme im Kopf haben muss).
Aber das ist nicht der wesentliche Punkt. Der ist vielmehr, dass man einen Ansatz für die Diagonalisierung der Euler-Lagrange-Gleichungen, also der Matrix D, sucht. Das fällt nicht vom Himmel sondern steckt in der Lagrangefunktion.
Man versucht nun - wie für kleine Schwingungen üblich - eine periodische Zeitabhängigkeit zu finden, d.h. man erwartet, dass in der Lösung soetwas wie
 = q\,e^{-i\omega_p t})
auftaucht. Der oben gewählte Ansatz trägt dem Rechnung, indem er diese Schwingungen voneinander entkoppelt, d.h. die Schwingungen in u(t) scheinen unabhöngig voneinander zu sein; tatsächlich steckt die Kopplung dann nur noch in den Frequenzen.
Aber mich wundert es, dass du das fragst, denn der von dir genannte Ansatz muss doch in deinem Skript weiterverwendet werden, um genau diese Problemstellungen zu lösen.
Schau mal hier - da ist das ganz gut durchgerechnet: http://www.uni-tuebingen.de/faessler/Mechanik/ThMetotal3.pdf
_________________
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Phonon
Gast
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| Phonon Verfasst am: 22. Sep 2012 12:52 Titel: |
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Also Laut unserem Skript soll gezeigt werden, dass das System als Summe von N unabhängigen Oszillatoren beschrieben werden kann.
Als nächster Schritt wird der Ansatz dann hier eingesetzt:
}{dt^2}=-{\omega_0}^2(2-e^{K_p a}-e^{-iK_pa})q_p(t))
}{dt^2}=-{\omega_p}^2 q_p(t))
Wobei mir das genaue Vorgehen immer noch nicht ganz Klar ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18018
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| TomS Verfasst am: 22. Sep 2012 21:54 Titel: |
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Der wichtigste Schritt ist der zwischen den beiden Gleichungen für u und q; dabei fallen die Kopplungsterme für benachbarte Massenpunkte heraus und man erhält ein System ungekoppelter DGLs, die man separat lösen kann.
Wenn dir dieser Schritt nicht klar ist, dann schau doch mal in dem von mir verlinkten Skript nach
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