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jarCrack2
Anmeldungsdatum: 01.09.2012
Beiträge: 1
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 jarCrack2 Verfasst am: 01. Sep 2012 00:11 Titel: Impusoperator in Ortsdarstellung |
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Meine Frage:
Hi, ich frage mich ob dieser Beweis für die Darstellung des Impulses in Orts- bzw. Impulsraum mathematisch korrekt ist, und wenn nicht ob ihr mir vielleicht eine richtige Lösung geben könnt.
Meine Ideen:
\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\psi\left(x\right)
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<p>=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}\left(x\right)\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\hat{\psi}\left(k\right)e^{ikx}\right)dx
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<p>=\int_{-\infty}^{\infty}dx\hbar k\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dk\psi^{*}\left(x\right)\hat{\psi}\left(k\right)e^{ikx}\right)
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<p>=\int_{-\infty}^{\infty}dk\hbar k\hat{\psi}\left(k\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx\psi^{*}\left(x\right)e^{ikx}\right)
<br />
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<p>=\int_{-\infty}^{\infty}dk\hbar k\hat{\psi}\left(k\right)\hat{\psi}^{*}\left(k\right)
<br />
)
Vielen Dank für eure Hilfe. |
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szabo
Anmeldungsdatum: 29.12.2011
Beiträge: 25
Wohnort: Dresden
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| szabo Verfasst am: 05. Sep 2012 22:00 Titel: |
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Hi,
prinzipiell ist deine Rechnung soweit korrekt, nur ist die Frage, ob du die Ortsdarstellung des Impulsoperators zeigen sollst und was du dafür als Vorraussetzung nimmst. Zum Beispiel hast du oben
angenommen, was aber schon die Ortsdarstellung des Impulsoperators ist. Man kann das natürlich annehmen und Korrespondenzprinzip nennen, wobei das eher zu alten Quantentheorie gehört, die mit Operatoren nicht viel zu tun hatte.
Es kommt nun auf deine genaue Frage an, ob du obige Annahme machen kannst, dann ist deine Rechnung richtig und vollständig und du hast die Impulsdarstellung des Impulsoperators hergeleitet, oder du musst allgemeinere Annahmen machen, wie die kanonische Kommutatorrelation, um dann die obige Relation zu zeigen.
Edit: Die Herleitung der Ortsdarstellung des Impulsoperators findet man in den einschlägigen Lehrbüchern über Quantenmechanik (Nolting, Messiah, Cohen-Tannoudji, ...). Für die mathematisch korrekte Herleitung schaut man sich am besten die Translationsgruppe und deren Darstellungen an, wobei dass für normale Theorie-Vorlesungen zu viel des guten ist ;-) . |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18079
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2012 12:54 Titel: |
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Ich denke, eine Grundvoraussetzung ist, die Ortsdarstellung (d.h. die Wellenfunktion in Ortsdarstellung) zu definieren; d.h.
 = \langle x | \psi \rangle)
Dann wäre zu zeigen, dass gilt
 = -i\hbar\partial_x\,\psi(x))
Anmerkung zu den Translationsgruppen: man betrachtet dabei den Translationsperator
bzw. seine Taylorreihe und ihre Wirkung auf eine Wellenfunktion, d.h. wiederum die Taylorentwicklung der Wellenfunktion
}\,\psi(x) )
Das ist in dem hier relevanten Kontext aber sicher nicht gemeint.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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