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Flavus
Gast
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 Flavus Verfasst am: 16. Dez 2011 22:46 Titel: Linearisierung von Messwerten |
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Meine Frage:
Guten Abend!
Ich habe wie der Titel schon sagt ein Problem mit der Linearisierung.
Am Montag schreibe ich eine Klausur im Physik LK, Thema der Klausur wird unter Anderem das Auswerten von Messwerten sein. Die restlichen Themen (z.b. elektrisches Feld...) habe ich soweit verstanden, nur dieses Auswerten der Messungen habe ich noch nicht ganz verstanden:
Hier ist eine Aufgabe von einem Übungsarbeitsblatt, bei dem mein eben beschriebenes Problem behandelt wird:
Das Coulombsche Gesetz:
Charles Coulomb untersuchte die Kraft, die durch eine Ladung auf eine andere ausgeübt wird. Er benutzte dazu eine Torsionswaage, die er selbst erfunden hatte.
(Anbei die Skizze des Versuchsaufbau)
Die Drehung der Torsionswaage kann heute auch mit einem Laser bestimmt werden. Dazu ist am Torsionsfaden ein Spiegel angebracht, der den Laserstrahl auf einen Schirm reflektiert. Der Winkel, um den die Apparatur gedreht wird , ist proportional zur Kraft, die auf die Kugel (K2) wirkt.
1. Messung : Ladung auf K1 und K2 unverändert, es wird der Abstand der Kugeln variiert:
Ergebnisse:
5,00°--5cm ; 1,25°--10cm ; 0,56°--15cm ; 0,31°--20cm ; 0,20°--25cm
Aufgabenstellung:
Stelle das Versuchsergebnis graphisch dar und ermittle durch Linearisierung , welche mathematischer Zusammenhang zwischen dem Abstand der Kugeln und der wirkenden Kraft besteht.
Könnte mir vil jemand erläutern, wie ich durch Linearisierung auf einen mathematischen Zusammenhang komme , oder was eine Linearisierung überhaupt ist.
Danke schon mal im Voraus
Meine Ideen:
Eine graphische Darstellung habe ich bereits vorgenommen.
Hier wird deutlich, dass es sich um keine Logarithmusfunktion handeln kann, der der y-Achsen-Abschnitt nicht bei (0/1) liegt.
Meine Vermutung ist, dass es sich vielleicht um einen Term von
 oder  handelt. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 17. Dez 2011 00:21 Titel: Re: Linearisierung von Messwerten |
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| Flavus hat Folgendes geschrieben: | [...] Ladung auf K1 und K2 unverändert, es wird der Abstand der Kugeln variiert:[...]
Stelle das Versuchsergebnis graphisch dar und ermittle durch Linearisierung , welche mathematischer Zusammenhang zwischen dem Abstand der Kugeln und der wirkenden Kraft besteht.
Könnte mir vil jemand erläutern, wie ich durch Linearisierung auf einen mathematischen Zusammenhang komme , oder was eine Linearisierung überhaupt ist.[...] |
Eine Gleichung ist dann linear bezüglich x, wenn die höchste Potenz von x 1 ist. Viele Gleichungen lassen sich für kleine Änderungen dx von x durch eine lineare Gleichung ausdrücken. Den Zusammenhang liefert eine Taylorentwicklung.
Es ist also eine Näherungslösung für den Zusammenhang zwischen Kugelabstand und Kraft (oder Drehwinkel wegen direkter Proportionalität) gesucht.
Da du keinen formelmäßigen Zusammenhang kennst, ist die Fragestellung etwas irreführend. Ich schätze, dass eine lineare Regression(sanalyse) gefordert ist. D.h. du suchst die bestmögliche Gerade durch deine Messwerte und bestimmst deren charakteristischen Größen: Achsen-Abschnitt, Steigung (und Standartabweichungen). Normalerweise macht man dies mit dem R²-Kriterium (aka Chi²-Test). Deine Aufgabenstellung verlangt aber lediglich eine zeichnerische Lösung. D.h. es kommt hier auf eine exakte Skizze an, bei der du die nötigen Werte ablesen kannst. Wichtig ist aber, dass du stets die Gerade minimaler und maximaler Steigung, die jeweils gerade so mit den Messwerten verträglich ist bestimmst. |
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Flavus
Gast
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| Flavus Verfasst am: 17. Dez 2011 10:23 Titel: |
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okay, dank Dir 
ich werd mich noch mal dran setzen |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 17. Dez 2011 13:56 Titel: |
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Ich glaube nicht, dass der Vorschlag von Chillosauraus zu einem sinnvollen Ergebnis führt. Ich glaube vielmehr, dass man herausbekommen sollte, welcher Funktion des Abstandes die Kraft proportional ist. Wenn man mal das erste und letzte Messwertepaar vergleicht, sieht man, dass bei fünffachem Abstand sich die Kraft auf 1/25 verringert. Das legt die Vermutung nahe, dass F~1/x². Trage also mal die Kraft (oder die dazu proportionale Auslenkung) über 1/x² auf und kontrolliere, ob die Punkte der Messwertepaare ungefähr auf einer Geraden liegen, also ob es sich tatsächlich um eine lineare Funktion mit 1/x² als unabhängige Variable handelt. |
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Flavus
Gast
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| Flavus Verfasst am: 18. Dez 2011 01:01 Titel: |
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Ja, so in etwa habe wir das auch im Unterricht behandelt.
Was ich nicht verstehe ist, wie genau ich jetzt die Kraft über 1/x² auftragen soll, ich bin da immer etwas schwer von Begriff...
Womit soll ich jetzt die Koordinatenachsen beschriften und was muss ich für x und y einsetzen?
Danke schonmal  |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 18. Dez 2011 11:01 Titel: |
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| Flavus hat Folgendes geschrieben: | Ja, so in etwa habe wir das auch im Unterricht behandelt.
Was ich nicht verstehe ist, wie genau ich jetzt die Kraft über 1/x² auftragen soll, ich bin da immer etwas schwer von Begriff...
Womit soll ich jetzt die Koordinatenachsen beschriften und was muss ich für x und y einsetzen?[...] |
Gut, dann sind wir ja auf einem guten Weg.
Die Koordinatenachsen beschriftest du selbstverständlich mit "1/x²" und "Kraft/ N", denk an die Einheiten! Die skalierung muss in gleichmäßigen Schritten (also 1/x²= 1;2;3;4 o.ä.) erfolgen.
Auf die y-Achse trägst du dann die zum jew. 1/X² gehörige kraft ein. D.h. die Kräfte zu x sind bekannt und du musst dann einfach nur 1/x² bestimmen, um zu wissen,wo du diese abtragen kannst. |
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Flavus
Gast
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| Flavus Verfasst am: 18. Dez 2011 14:14 Titel: |
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Ahhh, ok hab das jetzt glaube ich verstanden
Es ergibt sich eine Gerade, und das bedeutet dann ja, dass meine Annahme richtig war, oder?
Also Die Kraft ist proportional zu 1/x² ?
Gibt es dazu auch eine rechnerischen Nachweis?
lg Flavus |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 18. Dez 2011 14:57 Titel: |
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| Flavus hat Folgendes geschrieben: | Ahhh, ok hab das jetzt glaube ich verstanden
Es ergibt sich eine Gerade, und das bedeutet dann ja, dass meine Annahme richtig war, oder?
Also Die Kraft ist proportional zu 1/x² ?
Gibt es dazu auch eine rechnerischen Nachweis?
lg Flavus |
Ja das lässt sich auch rechnen:
R²=sum([Y-f(1/x²)]²/s²)
Wobei die Summe über alle Messwerte geht, die Funktion f(1/x²) dann deine Gerade ist mit dem dem Messwert Y zugehörigen Werten von x und s² die Messunsicherheit bezeichnet.
Je besser dein Fit, desto kleiner ist dein R² (R²=0 für Messwerte, die genau auf f liegen). f(y) hat bei einer linearen Regression die Form: f(y)= A*y+b, wobei A, b Konstanten sind, die man bestimmt, indem man das miniumum von R² bezüglich A, b sucht also:
dR²/dA=0 --> A(b)
dR²/db=0 --> b |
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Flavus
Gast
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| Flavus Verfasst am: 18. Dez 2011 18:20 Titel: |
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Alles klar Dann bin ja für morgen soweit gerüstet ^^
Vielen Dank |
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