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Kokser
Anmeldungsdatum: 20.08.2011
Beiträge: 1
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 Kokser Verfasst am: 20. Aug 2011 16:32 Titel: Elektron im elektromagnetischen Feld |
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Meine Frage:
Hallo,
Ich suche die Lösung zu folgendem Problem:
Man betrachte einen Zylinderkondensator in dem sich nach anlegen einer Gleichspannung ein radiales E-Feld ausbildet. befindet sich ein Elektron am inneren Radius des Zylinderkondensators, so wird es aufgrund der elektrischen Kraft radial nach aussen beschleunigt. So weit so gut. Bringt man nun ein B-Feld senkrecht zum elektrischen Feld auf (also in Richtung der z-Achse, bzw. der Rotationsachse des Zylinderkondensators) wird das Elektron aufgrund der Lorentzkraft auf eine Art Spiralbahn gelenkt.
Ich würde nun gerne die Länge des Weges, den dieses Elektron zurücklegt in Abhängigkeit der angelegten Spannung und des B-Feldes berechnen.
Meine Ideen:
Es wirken im Prinzip 3 Kräfte auf das Teilchen:
1) die elektrische Kraft radial nach aussen
2) die Lorentzkraft senkrecht zum aktuellen Geschindigkeitsvektor
3) die Zentrifugalkaft
Komme ich durch dise Annahmen irgendwie auf eine Formel für den zurückgelegten Weg? |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 20. Aug 2011 20:05 Titel: |
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1) ja
2) ja
3) nein, es sei du willst es dir ganz schwer machen und im Bezugssystem des Elektrons rechnen.
Der Ansazt könnte das alte gute F=ma sein, dabei wäre F die Summe der beiden von dir genannten Kräften. |
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Kokser2
Gast
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| Kokser2 Verfasst am: 20. Aug 2011 20:40 Titel: |
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Hallo,
ja als Ansatz habe ich F_ges = m*a bzw. F_ges = m*dv_ges/dt gewählt.
Dabei unterteilt sich F_ges in eine radiale und eine tangentiale Komponente wie folgt:
F_rad = F_elektrisch + F_Lorentz + F_Zentrifugal
= e*E + e*v_tan*B + m*v_tan^2/r
F_tan = e*B*v_rad
die Frage ist nun wie ich diese beiden Gleichungen dazu nutzen kann, um in Abhängigkeit der Spannung (die Einfluss auf F_elektrisch hat) und des B-Feldes eine Formel für den zurückgelegten Weg erhalte.
Das müsste doch eigentlich über Integration von v_ges gehen.
Mein Problem ist, dass ich nicht so genau weiss, wie ich das mit den 2 unterschiedlichen Geschwindigkeitsvektoren handhaben kann. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. Aug 2011 22:29 Titel: |
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Vorweg: Es könnte zweckmäßig sein, das ganze vektoriell / LaTEX zu schreiben. Wenn ich richtig verstehe, kommt es ohne E - Feld mit Anfangsgeschwindigkeit zu Kreis- oder Spiralbahnen. Das (inhomogene und beschleunigende!) E Feld "deformiert" diese nach außen hin. Dafür müßte man erstmal die Bewegungsgleichungen in angepaßten Koordinaten schreiben ... s(t)  |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 20. Aug 2011 22:52 Titel: |
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Der Ausgangspunkt ist die Newtonsche Bewegungsgleichung  , damit
Da B entlang der z-Achse orientiert ist
 = e(\dot {\vec r} \times \hat e_z) B)
und die el. Kraft auf eine Ladung in einem Zylinderkondensator
} \hat e_r=\frac {eA}{r} \hat e_r)
mit Abkürzung:
})
Damit haben wir:
 B + \frac {eA}{r} \hat e_r)
Mit Beschleunigung und Geschwindigkeit in Polakoordinaten(bzw. Zylinderkoordinaten)
 \hat e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \hat e_{\varphi})
eingesetzt ergibt das
 \hat e_r+m(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \hat e_{\varphi} = e((\dot{r} \hat e_r + r\dot{\varphi} \hat e_\varphi ) \times \hat e_z) B + \frac {eA}{r} \hat e_r)
 \hat e_r+m(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \hat e_{\varphi} = -eB\dot{r}e_{\varphi} + (eBr\dot{\varphi} + \frac {eA}{r}) \hat e_r)
D.h. für Radialkomponente
 = eBr\dot{\varphi} + \frac {eA}{r})
und Tangentialkomponente
 = -eB\dot{r})
Das ist ein gekoppeltes Gleichungsssytsem, was du lösen muss. Allerdings ist es höhstwahrscheinlich nicht extact lösbar, daher eine Näherung, wo man quadratische und gekoppelte Terme vernachlässigt.
Wenn du genauer hinschaust, dann siehst du, dass es genau die Gleichungen sind, die man bekommen würde, wenn man annimmt, dass die Lorenzkraft immer senkrecht zu radialer Richtung wäre und nicht zu momentanem Geschwindigkeitsvektor.
mit anderen Worten ist die erste Gleichung einfach nur
und die zweite
was man mit dem primitivsten Ansatz rausbekommen würde.
Löse
dann setze in
und löse diese. Dann hast du deine Kurve und kannst die Länge ausrechnen. |
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Kokser3
Gast
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| Kokser3 Verfasst am: 21. Aug 2011 10:30 Titel: |
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Schon mal Danke.
Bezeichnet das r in deinem Ansatz den Radius oder den tatsächlich zurückgelegten Weg?
Und woher kommt die Beziehung für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Polarkoordinaten? |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 21. Aug 2011 10:52 Titel: |
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r ist die Koordinate der Position des Elektrons bezüglich der Mitte des Zylinderkondensators. In Polarkoordinaten wird die Position nicht durch x und y angegeben, sondern durch r und phi. Der tatsächlich zurückgelegte Weg muss dann durch integrieren ausgerechnet werden.
| Zitat: | | Und woher kommt die Beziehung für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Polarkoordinaten? |
Position in Polarkoordinaten als Länge mal Richtung des Vektors geschrieben:
Die momentane Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Ortes:
=\hat e_r \frac{d}{dt}r + r\frac{d}{dt}\hat e_r =\dot r \hat e_r + r\dot \varphi \hat e_{\varphi})
dabei ist
durch direktes ausrechnen.
Das ganze ist eine Sache für Formelsammlung, man rechnet es ein mal im Leben durch und schaut das nächte mal einfach in Formelsammlung nach. |
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Kokser4
Gast
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| Kokser4 Verfasst am: 21. Aug 2011 11:56 Titel: |
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Hallo nochmal,
Ok so weit so gut. Ich habe jetzt nur noch einige Probleme damit, die vereinfachten DGL's zu lösen.
Hast du da evtl auch einen geeigneten Ansatz wie ich da am besten vorgehen kann? |
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Kokser5
Gast
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| Kokser5 Verfasst am: 21. Aug 2011 18:36 Titel: |
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Mein Problem ist das Lösen der DGL:
Dabei handelt es sich um eine spzielle autonome DGL 2. Ordnung.
Nach etwas rumrechnen kommt man dann auf einen Ausdruck:
}) [/latex]
Ich wollte jetzt diesen Ausdruck nach dt auflösen und dann über dr inegrieren, sodass ich eine Formel für die Zeit t(r) bekomme. An diesem Punkt komme ich dann aber nicht mehr weiter, bzw. das überhaupterrichtige Ansatz? |
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Kokser6
Gast
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| Kokser6 Verfasst am: 22. Aug 2011 10:16 Titel: |
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Hallo nochmal,
Ich habe jetzt durch ein paar Vereinfachungen einmal eine Formel für r(t) und eine für phi(t).
Wie komme ich durch diese Formeln dann auf den zurückgelegten Weg ( die Bogenlänge) der beschriebenen Kruve?
Danke schonmal |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 22. Aug 2011 11:40 Titel: |
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| Kokser5 hat Folgendes geschrieben: |
Nach etwas rumrechnen kommt man dann auf einen Ausdruck:
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Hier kannst du eine Variablentrennung machen. Das Integral existiert zwar aber eine Umkehrfunktion r(t) gibt es nicht, daher ist wiederum eine Näherung sinnvoll.
| Zitat: |
Hallo nochmal,
Ich habe jetzt durch ein paar Vereinfachungen einmal eine Formel für r(t) und eine für phi(t).
Wie komme ich durch diese Formeln dann auf den zurückgelegten Weg ( die Bogenlänge) der beschriebenen Kruve?
Danke schonmal |
Die Länge solltest du mit der dieser Formel berechnen können:
Beachte, dass du beim Lösen deiner DGL die Konstanten entsprechend gewählt haben sollst. Wenn die Ladung von der inneren Platte startet, dann soll r(t=0) natürich auch dort sein.
PS: Die Formel kommt aus der Überlegung, dass man die infinitismale Kurvenstücke |dr| aufsummiert.
dann wird mittels Substitution das Parameter auf t geändert. |
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Kokser7
Gast
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| Kokser7 Verfasst am: 22. Aug 2011 15:52 Titel: |
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Also irgendwie komme ich nicht mehr so recht weiter...
Du hast geschrieben, ich solle die vereinfachte DGL lösen und dann in die zweite vereinfachte einsetzen.
mir ist noch nicht ganz klar, was für einen Ausdruck ich bekomme, wenn ich die erste Gleichung (richtig...) löse. Ich müsste dann doch einen Ausdruck für r(t) erhalten. Nach meiner ersten Rechnung erhalte ich aber einen Ausdruck für r, der nicht von t abhängt.
Wenn ich diese Lösung dann in die zweite Gleichung einsetze, wie muss ich das genau tun, bzw. was soll dabei herauskommen?
p.s. Ist die Aufgabe ohne die gemachten Vereinfachungen überhaupt lösbar?[/quote] |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 22. Aug 2011 17:34 Titel: |
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Nicht analytisch. Poste mal, was und wie du da ausgerechnet hast. |
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Kokser8
Gast
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| Kokser8 Verfasst am: 22. Aug 2011 17:55 Titel: |
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Also mit Vereinfachung komme ich durch lösen der Gleichung
zunächst auf den Ausdruck:
})
diese Beziehung würde man auch erhalten wenn man die kinetische Energie gleich der elektrischen Energie setzten würde und dann nach v auflösen würde.
Dann würde man normalerweise so vorgehen, dass man den Ausdruck nach dt auflöst und dann über Inegration der rechten Seite über dr einen Ausdruck für t(r) erhält:
=1/ \sqrt{2*e/m*A}*\int_R^R \! \frac{1}{\sqrt{ln(r/R_1)}}\, \dd r )
dieses Integral ist jedoch nicht so einfach zu berechnen. Normalerweise würde man aus dieser Lösung dann wieder nach r umstellen und hätte so einen Ausdruck für r(t).
Wieso darf man diese Vereinfachungen bzgl gekoppelter und quadratischer Terme denn überhaupt machen? |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 22. Aug 2011 18:51 Titel: |
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| Kokser8 hat Folgendes geschrieben: |
Wieso darf man diese Vereinfachungen bzgl gekoppelter und quadratischer Terme denn überhaupt machen? |
Es ist keine Frage von "darf", es ist eine Näherung. Das ist dasselbe, wie wenn man Pi=3 setzen würde. Man kann es machen, das Ergebnis wird aber nicht exact. |
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Kokser9
Gast
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| Kokser9 Verfasst am: 22. Aug 2011 19:04 Titel: |
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Ok. Kann man das Gleichungssystem denn dann irgendwie anders bzw. numerisch lösen und wenn ja wie?
Vielen Dank schon mal |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 22. Aug 2011 19:39 Titel: |
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Für eine numerische Lösung muss du alle Werte einsetzen. D.h. du bekommst keine allgemeine Formel, sondern nur einen Wert raus. Das wird dann mittels eines Computers gemacht. Das lohnt sich nur, wenn du ein wirkliches Problem bearbeitest. Für Hausaufgabe etc. soll man Näherung nehmen. |
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