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Kiddy
Anmeldungsdatum: 12.07.2011
Beiträge: 3
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 Kiddy Verfasst am: 12. Jul 2011 13:02 Titel: Bra(c)Ket-Mysterium |
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Hallo liebes Forum,
ich bins wieder  und zwar verstehe ich diese Bra-Ket-Notation bedingt bis garnicht.
Dann komme ich mal auf den Punkt:
Gehen sie von folgenden Vektoren
sowie den Matrizen
aus. Berechnen Sie:
<1|2>
<br />
b)|1><2|
<br />
c)<1|A|1>
<br />
d)<2|AB-BA|1>)
Bei a) ist es einfach das Skalarprodukt, das wären  .
Zur b) habe ich nur herausfinden können, dass es ein Tensorprodukt ist, aber ich weiß nicht wie ich das berechne. Hab zwar ein paar Bücher hier vor mir und das Internet, dennoch fand ich keine Idee, die mir hilft
Zu c) hat es was mit der Reihenfolge zu tun? zuerst Vektor 1 mit A multiplizieren und dann mit Vektor 1 das Skalarprodukt daraus bilden?
Zu d) Man multipliziert Vektor 2 mit dem Matrizenprodukt AB und subtrahiert davon das Matrizenprodukt BA mal dem Vektor 1?
Ist es eher die Reihenfolge in c) und d) oder liege ich da komplett falsche?
Danke für eure hilfe! |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 12. Jul 2011 16:20 Titel: |
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Jein, eine vollständige Klammer ist einfach das Skalarprodukt des zugrundeliegenden Hilbertraums - und dafür gilt: 
Ein Bra ist also ein adjungierter Kett - im Falle deiner Spaltenvektoren also der zugehörige komplex konjugierte Zeilenvektor.
Der Rest ist dann einfach Matrixmultiplikation. Da ist dann die Reihenfolge auch egal (Matrizenprodukte sind assoziativ), aber generell würde ich alle Operatoren (hier also A und B) immer nach rechts anwenden - als Konvention für später  .
Also für c) bspw. zuerst  und dann mit dem entstandenen Ket das Skalarprodukt.
Zu d) sei gesagt, dass da wohl stehen soll:  |1\rangle)
Zusätzliche Anmerkung
Bei b) steckt dahinter zwar im Grunde das Kroneckerprodukt (aka Tensorprodukt), aber gerade weil ihr ja derzeit mit handfesten Vektoren arbeitet, kannst du dir das eben gut auch als Matrixprodukt vorstellen. Für den Anfang ist das vermutlich leichter.
Gruß
MI
EDIT: Wenn du das verstanden hast, können wir uns darum kümmern, was sich denn hinter dem Bra tatsächlich verbirgt - wenn du Lust und ein bisschen Grundlagen in Linearer Algebra hast. |
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Kiddy
Anmeldungsdatum: 12.07.2011
Beiträge: 3
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| Kiddy Verfasst am: 13. Jul 2011 14:16 Titel: |
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| MI hat Folgendes geschrieben: |
Zu d) sei gesagt, dass da wohl stehen soll:
EDIT: Wenn du das verstanden hast, können wir uns darum kümmern, was sich denn hinter dem Bra tatsächlich verbirgt - wenn du Lust und ein bisschen Grundlagen in Linearer Algebra hast. |
Bei d) steht das so wie ich es geschrieben habe in der Antwort.
Zu deinem Edit, sage dankend zu - denn es hilft mir mit Sicherheit sehr mal alle Grundlagen und Verknüpfungen zu wiederholen bzw. neu zu betrachten.
lg christian |
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Kiddy
Anmeldungsdatum: 12.07.2011
Beiträge: 3
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| Kiddy Verfasst am: 13. Jul 2011 16:14 Titel: Lösungen zu der Aufgabe |
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Ich glaube ich habe es jetzt verstanden und bedanke mich sehr bei MI! 
Bevor ich die Lösungen und Lösungswege schreibe, schreibe ich hier die "Transformation" (kann man das so nennen?) der Ket-Vektoren in Bra- Vektoren:
kann man dann auch so schreiben:
)
)
a)
 \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -2i^2 \\ -2i^2 \\ i^3 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3} }\cdot\frac{1}{3}\cdot(-2i^4+2i^4+i^5)=\frac{i}{\sqrt{3}\cdot{3}})
b)
)=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot{3}}\cdot\begin{pmatrix} -i^2\cdot(2i^2, 2i^2, -i^3) \\ i^2\cdot(2i^2, 2i^2, -i^3) \\ -i^2\cdot(2i^2, 2i^2, -i^3) \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot{3}}\cdot\begin{pmatrix} -2i^4 & -2i^4 & i^5 \\ 2i^4 & 2i^4 & -i^5 \\ -2i^4 & -2i^4 & i^5 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3}\cdot{3}}\cdot\begin{pmatrix} -2 & -2 & i \\ 2 & 2 & -i \\ -2 & -2 & i \end{pmatrix} )
c)
=\frac{1}{\sqrt{3} }\cdot\begin{pmatrix} -i^2+0+i^2 \\ 0+i^2+0 \\ i^2+0-i^2 \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{3} }\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ i^2 \\ 0 \end{pmatrix} )
\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ i^2 \\ 0 \end{pmatrix})=\frac{1}{3}(-i^4)=-\frac{1}{3})
d)
mache ich grad noch schnell fertig |
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MI
Anmeldungsdatum: 03.11.2004
Beiträge: 828
Wohnort: München
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| MI Verfasst am: 13. Jul 2011 21:42 Titel: |
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Von der Grundidee passt das, nur deine "Transformation" ist irgendwie seltsam.
Du muss lediglich adjungieren - also komplex konjugieren und transponieren. Das transponieren machst du ja, aber das komplex konjugieren ist etwas seltsam.
Es gilt doch  mit reellen a,b. Dann gilt für das komplex Konjugierte: 
Das hier:
| Zitat: |
kann man dann auch so schreiben:
|
stimmt dann leider nicht, da du ein Vorzeichen zu viel erhälst.
Richtig wäre:
)
aber:
)
So, der Rest ist dann ungefähr so gerechnet, wie du vorgehst.
Wenn du also das ganze jetzt noch mal etwas genauer betrachten möchtest, dann ist die Hauptfrage, ob du weißt, was der Dualraum ist.
Gruß
MI |
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