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Wheatstone
Anmeldungsdatum: 11.04.2011
Beiträge: 9
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 Wheatstone Verfasst am: 11. Apr 2011 12:26 Titel: Linienladungsdichte... |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ein dünner Metalldraht (L=2m) ist zu einem Kreis gebogen. Auf ihm befindet sich gleichmäßig verteilt die Ladung  .
Wie groß ist die Kraft, die der geladene Draht, auf eine punktförmige Ladung  ausübt, wenn sich diese auf der Kreisachse in einem Abstand a=25cm von der Kreisebene befindet?
Hinweise: Verwenden Sie die Linienladungsdichte! Bedenken Sie, dass die Kraft von vielen Infinitesimalen Ladungsanteilen herkommt, die man vektoriell integrieren muss. Suchen Sie nach Vereinfachungen, z.B.: aus Symmetriegründen!
Meine Ideen:
Joar, alsso bis jetzt bin ich soweit, dass ich die Linienladungsdichte global durch
berechnet habe.
Die Punktladung erfährt jetzt aber Kräfte von allen Positionen des Kreises, was mir die Sachlage ein wenig erschwert.
Die Linienladungsdichte LOKAL wäre ja
 .
Ist hier jetzt das Stichwort Linienintegral, und wenn ja wie wäre der Ansatz?
Mein Brainstorming ergab
}^{(2,0)} \! \sqrt{2-x^2} \, \dd x )
Wenn das richtig sein sollte, wie krieg ich das Linienintegral in dem Fall hin? Bzw, Ansätze, Hilfen etc.! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18026
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| TomS Verfasst am: 11. Apr 2011 12:47 Titel: |
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Ich bin da etwas verwirrt. Ich würde die Ladungsdichte in Kugelkoordinaten wie folgt parametrieren
 = \rho_0\,\delta(r-R)\,\delta(\theta))
Die Gesamtladung berechnet sich dann gemäß
 = \int_0^{2\pi} \! d\phi \int_{-\pi/2}^{+\pi/2} \! d\theta \int_0^\infty \! dr\,r^2\,\rho(\vec{r}))
Damit kann man dann das Potential sowie die daraus resultierende Kraft berechnen, oder?
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 11. Apr 2011 15:28 Titel: |
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Oder man addiert (wg Symmetrie) die axialen Anteile der Kraft der Drahtstückchen auf die Probeladung "einmal rum"? |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 11. Apr 2011 15:59 Titel: |
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So ist es. Man sollte die mathematik nicht unnötig verkomplizieren.
Jede differentiell kleine Ladung  (mit  ) erzeugt im Aufpunkt eine Feldstärke, die aus einem axialen Anteil und einem senkrecht dazu stehenden Anteil besteht. Der Ladung auf dem Kreisring liegt eine weitere Ladung genau gegenüber, die im Aufpunkt eine betragsmäßig gleich große Feldstärke erzeugt, deren Horizontalanteil sich zum ersten addiert, während sich die senkrecht dazu stehenden Anteile subtrahieren. Wenn man all diese Feldstärkeanteile aufsummiert (integriert) erhält man die Gesamtfeldstärke im Aufpunkt, also in dem Punkt, an dem sich die punktförmige Ladung befindet. Die Feldstärke ist axial gerichtet, also ist auch die Kraft auf die Punktladung axial gerichtet. |
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kraft
Gast
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| kraft Verfasst am: 11. Apr 2011 18:58 Titel: |
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Zylinderkoordinaten sind hier am sinnvollsten, da man dann die z-Achse als Symmetrieachse vorliegen hat.
Wie GvC gesagt hat, erkennt man aus der Symmetrie der Ladungsverteilung und der Tatsache, dass die Probeladung auf dieser Symmetrieachse liegt, ohne jede Rechnung die Richtung der Kraft.
Andereseits sieht man auch, dass jede infinitesimale Ladung dq gleichen Abstand von der Probeladung hat. Mit Satz von Phythagoras:
wobei  einfach die der Radius des Ringes ist.
Die Kraft ist dann als
=k \hat e_z \int_Q \frac{q_2}{r^2} dq=k \hat e_z \int_Q \frac{q_2}{a^2+l^2} dq=k \hat e_z \frac{q_2}{a^2+l^2} \int_Q dq)
gegeben. Wo
in SI-Einheiten.
Mit 
bleibt
=k \hat e_z \frac{q_2 \lambda l}{a^2+l^2} \int_0^{2\pi} d\phi) |
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