Rollbewegung nach d´Alembert

Hann · Gast

Hallo,

habe folgende Aufgabe mit dem Energieerhaltungssatz gelöst aber wie dies mit der Methode von d´Alembert funktioniert, weiss ich leider nicht...wäre über Hilfe sehr dankbar.

Aufgabe; Rollbewegung: Ein Vollkugel rollt aus der Höhe h = 0.5 m eine schiefe Ebene mit einem
Neigungswinkel gegen die Horizontale von α = 15 ° herab (fertigen Sie eine Skizze an). Der
Rollreibungskoeffizient beträgt μRR = 0.04.
a) Welche Endgeschwindigkeit erreicht die Kugel am Ende der schiefen Ebene?
b) Wie lange braucht die Kugel, um die schiefe Ebene herabzurollen?
Hinweis: Lösen Sie zu Übungszwecken diese Aufgabe sowohl mit dem Kräfteansatz nach
d’Alembert als auch mit dem Energieerhaltungssatz.

EES; Epot = Ekin+Ereib
Epot=m*g*h
Ekin=(m*v²/2)+ J*w²/2
Erot= m*g*cos 15°*mü*l

Das ganze zusammen und die Lösung wäre für v=2,44 m/s und für t=1,582 s

Wie gesagt, EES fällt mir einfacher aber dieses nach d´Alembert verstehe ich nicht so ganz :-)

Gruß

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

Vielleicht kurze Einführung.

Nach Galilleis Trägheitsgesetz heißt es das jeder Körper im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung bleiben will und gegen eine Veränderung dieser Zustände träge reagiert. Er leistet also widerstand. So ähnlich wie wenn du vorm Fernseher sitzt und deine Mutter sagt du sollst den Rasen mähen. Da pfeiffst ihr wahrscheinlich was, bis sie dich in den Hintern tritt.

Die Veränderung dieser Zustände wird Beschleunigung genannt.

Nach Newton wissen wir das dieser Widerstand aus der Trägheit sich dadurch äußert das wir eine Kraft für eine Veränderung dieser Zustände benötigen und zwar F=m*a.

Bei Newton sind Kräfte dynamisch definiert.
Das bedeutet, habe ich eine resultierende Kraft beschleunigt der Körper, hab ich zwei gleichgroße Kräfte ist die resultierende Kraft=null der Körper beschleunigt nicht. Er ist im Kräftegleichgewicht.

Kräftegleichgewicht bedeutet hier das sich die Summe der Kräfte aufhebt genauso wie die Summe der Momente und der Körper nicht beschleunigt.
Hat man etwas Resultierendes kommt es zur Beschleunigung und man hat kein Gleichgewicht mehr.

Mit DAlembert kann man einen anderen Weg als Newton wählen.

Man betrachtet das dieser Widerstand aus der Trägheit bei Beschleunigung selbst eine Kraft ist. Man betrachtet eine Widerstandskraft die aus der Trägheit stammt.

Beschleunigt nun ein Körper so leistet dieser Widerstand aus seiner eigenen Trägheit und zwar mit einer Widerstandskraft von m*a. will ich diese Beschleunigung aufrecht erhalten muß ich mit einer Kraft auf den Körper einwirken, sodass ich im Kräftegleichgewicht bin.

Diese Widerstandskraft wirkt natürlich gegen die Beschleunigungsrichtung.
Sie stammt ja aus der Trägheit, die ja besagt das ein Körper gar nicht beschleunigen will und sich somit wehrt.

Unter DAlembert befindet sich ein Körper egal wo und egal zu was für einer Zeit immer im Kräftegleichgewicht. Es gibt keine Resultierende oder einzelne Kraft auf einen Körper.
Gleichgewicht bedeutet hier Zustandserhaltung. Ob es der Zustand von a=0 ist, statisches Gleichgewicht oder der Zustand von a=a, dynamisches Gleichgewicht ist dabei egal, wobei man bei a=a einfach die Widerstandskraft aus der Trägheit einführt.

Der Unterschied zu Newton ist also das es diese Kraft, die aus der Trägheit kommt bei Newton einfach nicht gibt.

beide Systeme sind aber völlig mathematisch äquivalent.

Newton:

bedeutet hier F !!! EINE !!! Kraft bewirkt ein Resultat auf der anderen Seite m*a eine Beschleunigung einer Masse.

Diese Gleichung kann man mathematisch äquivalent umformen.

F=m*a ist äquivalent zu F-m*a=0

DAlembert:

F eine Kraft und - m * a eine Kraft die aus der Trägheit kommt, als Resultat des Widerstandes gegen die Beschleunigung,
=0 halten sich beide im Kräftegleichgewicht. . Das minus indiziert eben das sie gegen den Richtungsvektor der Beschleunigung wirkt, weil sie eben ein Widerstand ist.

DAlembert hat das selbst nur als mathematische Auffassung betrachtet und spricht von virtueller Kraft und Arbeiten. Einige betrachten diese Kraft aber als real und man wird ihnen nie das Gegenteil beweisen können.
Diese Kräfte sind so real wie die Gewichtskräfte, in denen man auch in der klassischen Physik nach Newton arbeitet.

Nun gut nach den langen blabla, zum wesentlichen.

Man betrachtet eine Kraft aus der Trägheit aufgrund Beschleunigung in jeden Massepunkt.
Dadurch kommt man zu zwei Ersatzgrößen bei starren Körpern.

Aufgrund translatorischer Beschleunigung ergibt sich eine Trägheitskraft im Schwerpunkt von m*as gegen die Beshcleunigungsrichtung. Aufgrund rotatorischer Winkelbeschleunigung um den Schwerpunkt kommt es zu einen Trägheitsdrehmoment um den Schwerpunkt von Is*alpha gegen die Winkelbeschleunigungsrichtung. Dieses ergibt sich natürlich das hier in den Massepunkten aufgrund rotation beschleunigungen wirken und somit Trägheitskräfte die um den Schwerpunkt drehen und eben Kraftmomente bilden die eben summiert das Trägheitsdrehmoment ergeben.

Das einzige was man jetzt noch tun muß ist

summe aller F=0 summe aller M=0 anschreiben mit ein wenig Kraftverständnis.

SKizze zunächst mal ohne Rollwiderstand:

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

FT ist die Dalembertsche Trägheitskraft sie wirkt gegen die Schwerpunktsbeschleunigungsrichtung.

MT ist das Dalembertsche Trägheitsdrehmoment es wirkt gegen die winkelbeschleunigungsrichtung.

Nun schreib mal das Kräftegleichgewicht wie in der Statik an.

Dann helf ich dir weiter.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

Damit das hier nicht so ungelöst herum steht, lös ich das mal.

oder

Jeder Punkt kann gewählt werden. MT bleibt um jeden Punkt gleich weil es durch Kräftepaare entsteht, sprich es gilt für dieses Moment selbst summe aller F=0.

Mit der Gleichung aus FX erhält man um den Schwerpunkt genau dasselbe.

Aus Summe Fx=0

siehe im Endeffekt gleichung um den Auflagepunkt.

Mit FT=m*a , MT=Is * alpha und der Rollbedingung:

oder

folgt:

Nimmt man jetzt die Gleichung Summe aller Fx her und multipliziert sie mit den zurückgelegten Weg in x Richtung so erhält man Aufschlüsse über die translatorische Schwerpunktsenergie. Dabei hält man sich an das eingeführte Koordinaten System + in Richtung FR und FT. Der Weg geht in die andere Richtung also negativ. Man erhält so bei weg in Kraftrichtung positive Arbeiten und bei Weg gegen die Kraftrichtung negative Arbeiten.

Sprich die Gewichtskraft führt Arbeit zu:

Die Trägheitskraft samt Reibkraft entziehen Arbeit - negativ.

Der Anteil den die Trägheitskraft abführt wird in kinetischer Energie gespeichert:

bei Start v=0

Aber wo landet FR*sx.

Zur Erinnerung wir haben noch eine Drehung um den SChwerpunkt.

Diese Gleichung mulitpliziert man mit den Verdrehwinkel und erhält dann Aufschlüsse über die Rotationsenergie um den Schwerpunkt. Dabei hält man sich natürlich ebenfalls an die eingeführten Drehrichtungen (positiv negativ) positiv war im Uhrzeigersinn, negativ gegen den Uhrzeigersinn.

Drehung gegen Uhrzeigersinn, Verdrehwinkel ist negativ.

Durch die Rollbedingung gilt natürlich das r * phi gleich sx ist,

sprich die Reibkraft führt hier Arbeit zu das Trägheitsdrehmoment führt Arbeit ab, diese Arbeit wird in Rotationsenergie gespeichert.

Woher kommt die Arbeit der Reibkraft. Sie entzieht wie oben gesehen translatorische Arbeit die von der Gewichtskraft herrührt und führt genau diesen Anteil ohne Verluste in die Rotationsarbeit um den Schwerpunkt zu, die vom Trägheitsdrehmoment entzogen wird und in Rotationsenergie gespeichert wird.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

Nun mit Rollwiderstand.

Alle wirkenden Kräfte bleiben gleich, also selbe Skizze wie oben. Die einzige Änderung die hier Auftritt ist die folgende.

Der Reifen plattet sich am Boden ab. dadurch wandert die Auflagekraft FN um d versetzt nach Aussen, da der Kipppunkt nun nicht mehr genau unterm Schwerpunkt liegt wie bei einen völlig runden Zylinder.

Da die gleichen Kräfte wie vorher wirken bleiben die Gleichungen in Summe aller F natürlich gleich, jedoch ändert sich nun unsere Momentengleichung.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

oder

wird zu

oder

Betrachtet man die Gleichung wieder nach der Rotationsenergie also mit - phi Verdrehwinkel multipliziert.

Die von der Reibkraft zugeführte Arbeit (entzogen der Gewichtsarbeit) wird nicht mehr vollständig vom Trägheitsdrehmoment entzogen und in Rotationsenergie gespeichert sondern ein Teil wird von FN entzogen und landet in Verformung des Reifens wodurch eine Reifenerwärmung eintritt und somit landet dieser Teil in Reifenverschleiss und Wärme.

Ich nehme nun die Gleichung um den Auflagepunkt, wie gesagt welchen Punkt man wählt ist egal.

m*g*sin beta ist die Komponente der Gewichtskraft in Bahnrichtung.

FN*d/r ist der Rollwiderstand bzw die hypothetische Rollwiderstandskraft, die sich im Endeffekt in der Haftreibungskraft FR äußert oder bzw die diese beeinflußt.

Sind beide gleich groß gibt es keine Beschleunigung.

Es geht nur noch der um den Rollwiderstand reduzierte Teil von FG in Bahnrichtung in Beschleunigung auf. Es ist also so als würde die Gewichtskraft reduziert um die Rollwiderstandskraft wirken.

Das verhältnis d/r wird Rollwiderstandskoeffizient cR genannt und wird durch versuche ermittelt, hier halt mü RR=0.04.

Man könnte auch einfach eine Skizze machen in dem wir FG einzeichen und gleich die Rollwiderstandskraft von FN*müRR im Schwerpunkt entgegen wirken lassen und so tun als ob das Rad vollkommen rund wär.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3251

das würde von der Beschleunigung her das selbe Resultat liefern, aber die tatsächlich wirkende Reibkraft im Bodenverfälschen, die nämlich um genau FRollwiderstand größer ist. Also diesen eigentlich beinhaltet.

Vielleicht noch ein Vergleich der Reibkraft im Boden mit beiden Fällen.

Ohne Rollwiderstand:

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Mit Rollwiderstand:

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Die Haftreibungskraft ist also gezwungen einen um die Rollwiderstandskraft größeren Wert anzunehmen. Die Rollwiderstandskraft ist also in der Haftreibung integriert.

Sie wirkt also im Boden als erhöhter Betrag von FR und nicht wie oben vereinfacht im Schwerpunkt eingezeichnet.