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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
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 Romeo Verfasst am: 26. Sep 2010 11:04 Titel: Koaxialleiter (Feldberechnung) |
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Hi,
momentan versuche ich mich an folgender Aufgabe:
 http://img713.imageshack.us/img713/1254/koaxial.jpg
Es geht um die Berechnung eines Koaxialkabels, mit ideal leitenden Innen- und Außenleiter. Die Leiter sind über einen Widerstand R miteinander verschaltet. Die Aufgabe ist nicht besonders anspruchsvoll, aber ich frage mich, ob man das elektrische Feld im Dielektrikum nur über die Laplacegleichung berechnen kann.
 R \vec{e_r}}{\ln{\left( r_{a1}/r_i \right)} \cdot r})
Das wäre die Lösung via Laplace. Das Gaußsche Gesetz müsste doch die gleiche Lösung ergeben.
Die Gleichung ist gültig für den Bereich zwischen den Leitern. Da der Strom gegeben ist, dachte ich mir, erhalte ich die Ladung durch Integration:
)
Druch diese Variante die Aufgabe zu Lösung erhalte ich eine Phasendrehung um  und auch sonst sind die Ergebnisse nicht deckend... Kann man die Aufgabe nicht über diesen Weg lösen und wenn ja wieso nicht? Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank für jeden Hinweis!
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Grüße Romeo |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 27. Sep 2010 10:50 Titel: |
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Bei deiner zweiten Variante bestimmst du Q aus I durch Integration. Damit gehst du aber davon aus, dass der gesamte Strom ein Ladestrom in den durch den Leiter gebildeten Kondensator ist. Dann bliebe aber kein Beitrag mehr für den äußeren Widerstand und du hättest einen reinen Blindstrom.
In der Aufgabe wird aber ausdrücklich von quasistatischen Verhältnissen ausgegangen, was bedeutet, dass der Ladestrom im Vergleich zum Strom durch R vernachlässigbar ist. Damit ist die Spannung vorgegeben (I*R), und die Ladung ist gegeben durch:
})
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
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| Romeo Verfasst am: 27. Sep 2010 11:26 Titel: |
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Ok, ich glaube das verstanden zu haben. Der Hauptspannungsabfall ist in diesem Fall über dem Widerstand R und ggf. durch eingeprägte Quellen. Sekundär hätte man noch einen weiteren Spannungsabfall über der Leitung selbst, quasi ein V(z), abhängig von der betrachteten Leiterlänge.
Wäre der Widerstand nicht angeschlossen, könnte man dann die zweite Variante verwenden?
Und noch eine weitere Frage:
Hätte ich im Innen- und Außenleiter eine endliche Leitfähigkeit, besitzen die Leiter dann ein elektisches Feld in z-Richtung (tang. zur Grenzfläche)? Da die Ladungen (der Strom) in diese Richtung transportiert werden. Aber das elektrische Feld im Dielektrikum ist radial gerichtet, das verletzt doch die Grenzflächenbedingung.
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Grüße Romeo |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 27. Sep 2010 22:18 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | Ok, ich glaube das verstanden zu haben. Der Hauptspannungsabfall ist in diesem Fall über dem Widerstand R und ggf. durch eingeprägte Quellen. Sekundär hätte man noch einen weiteren Spannungsabfall über der Leitung selbst, quasi ein V(z), abhängig von der betrachteten Leiterlänge.
Wäre der Widerstand nicht angeschlossen, könnte man dann die zweite Variante verwenden?
ja, genau
Und noch eine weitere Frage:
Hätte ich im Innen- und Außenleiter eine endliche Leitfähigkeit, besitzen die Leiter dann ein elektisches Feld in z-Richtung (tang. zur Grenzfläche)? Da die Ladungen (der Strom) in diese Richtung transportiert werden. Aber das elektrische Feld im Dielektrikum ist radial gerichtet, das verletzt doch die Grenzflächenbedingung.
Interessante Frage. Kann ich aber nicht beantworten...
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
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| Romeo Verfasst am: 28. Sep 2010 11:43 Titel: |
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Ich könnte mir vorstellen, dass aufgrund der hohen, aber endlichen Leitfähigkeit des Innenleiters eine nur sehr, sehr kleine Tangentialkomponente des elektrischen Feldes sich ausbildet. Diese liefert den gleichen Beitrag im elektrischen Feld des Dielektrikums (Stetigkeitsbedingung), dort überwiegt aber, betragsmäßig, die Normalkomponente. So zeigt das elektrische Feld im Dielektrikum nur minimal in Ausbreitungsrichtung und man könnte in angemessener Näherung von einer TEM-Welle sprechen.
So stell ich mir das vor, könnte die Theorie passen?
Ich hab hier noch eine weitere Aufgabe, die finde ich aber nicht mehr so trivial:
Der Strom I im Innenleiter muss doch harmonisch zeitabhängig sein, sonst gibt es keine Ausbreitung einer TEM-Welle oder? Jetzt Frage ich mich wie ich auf das H-Feld im Dielektrikum komme, da ich das E-Feld nicht kenne. Mit Maxwell erhalte ich eine gew. DGL in der die Verluste beberücksichtigt werden:
= \left( \kappa + j\omega \epsilon \right) \vec{E})
Mit  als harmonische Zeitabhängigkeit. Wäre das der richtige Ansatz? Gäb es den Verschiedungsstrom nicht, wäre es nicht so schwer... Wie behandelt man eine solche Aufgabe?!
Bitte Hilfe... 
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Grüße Romeo |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 28. Sep 2010 14:52 Titel: |
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schreiben wir es leicht anders hin:
Wenn wir nun entlang eines Kreises S um die Mittelachse integrieren
 \cdot 2 r \pi = I_{mittelleiter} + \int_S \dd {\vec A} \cdot \dot{\vec D}+ \kappa \int_S \dd {\vec A} \cdot {\vec E})
Da E und somit auch D aber senkrecht zur Flächennormalen von S liegen (TEM ist ja vorausgesetzt...), sind beide Integrale = 0:
 \cdot 2 r \pi = I_{mittelleiter} )
Ob es sich bei resistiven Komponenten wirklich um eine reine TEM handeln kann, weiss ich nicht. Ist die letzte Frage exakt oder als Näherung gemeint... 
Meine Vermutung (bitte mich jetzt nicht erschießen...):
Aufgrund des Skin Effekts fließt Strom nur an der Außenseite des Außenleiters. Dadurch hat die Innenseite keine Tangentialkomponente von E. (?)
Der Rest ist eine Rechenübung (Formeln für L', C', G', R'...).
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Romeo
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| Romeo Verfasst am: 28. Sep 2010 16:36 Titel: |
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Ah ok, verstehe, vielen Dank!
Ich hatte bei meinem Ansatz mehrere unterschiedliche Flächen betrachtet, so macht es aber mehr Sinn! Damit muss das H-Feld folgende Form haben:
})
Kann man jetzt über meinen Ansatz aus dem letzten Post, mit diesem H-Feld das elektrische Feld bestimmen? Also als Ausgangsgleichung:
 \vec{dA} + \iint \dot{\vec{D}} \vec{dA} )
Mit J_in als Stromdichte im Innenleiter, J_Di als Stromdichte im Dielektrikum und die Fläche im Integral soll quasi ein Mantel um den Innenleiter mit der Länge l sein. Jetzt frag ich mich, was ist der Umlauf des Wegintegrals? Kann mir nicht wirklich vorstellen, wie das aussehen soll. Über die differentielle Schreibweise erhält man:
}\cdot \frac{e^{j \left( \omega t - k z \right)}}{r})
Ist das E-Feld so richtig? Kann man über die Eindringtiefe oder so die Wellenzahl k bestimmen?
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Grüße Romeo |
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 28. Sep 2010 17:27 Titel: |
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Ja, das ist richtig (evtl. bis auf ein Minus).
| Zitat: | | Kann man über die Eindringtiefe oder so die Wellenzahl k bestimmen? |
Zum k: Wie bestimmst du denn k(w) aus der "normalen" Wellengleichung? Tip: Bilde rot(rot B) = ...
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
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| Romeo Verfasst am: 28. Sep 2010 20:14 Titel: |
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Nach ein wenig Ableiten und Auflösen hab ich das raus:
Ja genau, diese Form der Wellenzahl für Materie mit Leitfähigkeiten ungleich Null hab ich schon mal gesehen.  Perfekt, schön das es passt. Danke!
Kannst du mir vielleicht auch helfen die Formel für R', C', G' usw. herzuleiten. Mein Versuch über R=U/I mit folgenden Ansätzen stimmt nicht mit den Formeln aus der Literatur für Koaxialkabel überein.
Es ist doch die Mantelfläche des Innenleiters oder? Weil dort E und J parallel zur Flächennormalen orientiert sind.
EDIT: Ok, mit der Variante erhält man G'. Aber wie ist R' zu bestimmen?
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Grüße Romeo |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 28. Sep 2010 21:34 Titel: |
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R' ist wohl einfach die Summe der Längswiderstände aus Mantel und Zentralleiter...
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 29. Sep 2010 08:41 Titel: |
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Irgendwo ist da aber noch ein Problem in unseren Überlegungen: Wir sind jetzt in der Lage E/H uns somit auch U/I anzugeben. Für eine hinlaufende Welle ist dieser Quotient aber der Wellenwiderstand. Dieser berechnet sich für eine Leitung zu
Wenn wir unseren Ausdruck für U/I auf diese Form bringen, so kann man die Leitungsbeläge davon direkt ablesen, ohne sie explizit zu berechnen.
Nur: Wo geht bei uns das R' ein ??
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Romeo
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| Romeo Verfasst am: 29. Sep 2010 11:10 Titel: |
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Ich habs mal versucht so zu machen, also den Quotient E/H für die Felder im Dielektrikum gebildet und danach quadriert. Im nächsten Schritt sortiert, so dass ich im Zähler und Nenner Real- und Imaginärteil habe - Vergleiche Form:
Wobei ich k(w) eingesetzt und diesen Ausdruck umgeformt habe, dass an der Stelle von G' eine 1 steht. Dann Zähler und Nenner mit der richtigen Formel von G' multiplizieren. Jetzt müsste man ja R', L' etc. ablesen können. Ich hab mal L' herausgenommen und mit dem Ergebnis von b.) für L' (übereinstimmend mit der Literatur) gleichgesetzt. Aber man merkt schnell das die Ausdrücke unterschiedlich sind... Sind die Felder falsch berechnet?
Und für R' im Innenleiter bräuchte man das E- bzw. H-Feld. H ist laut Aufgabenstellung vernachlässigbar (wegen Skin-Effekt) und da im Dielektrikum keine Tangentialkomponente vom E-Feld berücksichtigt wurde, existiert im Innen- bzw. Außenleiter kein E-Feld in Sromflußrichtung. Keine Ahnung wie man dann den Widerstand bestimmen kann. R' bezieht sich doch auch nur auf den Bereich zwischen den Leitern oder nicht, also im Dielektrikum?
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Grüße Romeo |
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 29. Sep 2010 13:54 Titel: |
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R' ist der Längswiderstand pro Meter, muss also die Summe aus den Beiträgen von Innenleiter und Aussenleiter pro Meter sein.
Nur verstehe ich noch nicht, wie das in das Feldbild eingeht...
Ich kann mir nicht vorstellen, dass das Feld zwischen den Leitern davon unabhängig sein soll.
Aber wenn wir R'=0 setzen, würde ich mir erwarten, dass wir die richtigen Größen L', C' und G' aus der Formel für Z² ablesenb können. Ich muss jetzt arbeiten, aber vielleicht schau ich mir das abends noch mal an...
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Romeo
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| Romeo Verfasst am: 29. Sep 2010 18:56 Titel: |
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Kann man evtl. an dieser Stelle etwas mit der Stromverdrängung anfangen, also dem Skin-Effekt und der damit verbundenen Eindringtiefe?
Und klar, du hast vollkommen recht, R' bezieht sich auf den Innen- und Außenleiter. Im Fall einer verlustloses Koaxialkabeles werden ja R'=0 und G'=0 gesetzt. Das Nullsetzen rechtfertigt man durch die idealen Leiter  , also R'=0 und dem nicht leitenden Dielektrikum im Zwischenraum  , also G'=0. Ah, so setzt sich alles prima zusammen!
Meine Erkenntnis bringt uns aber leider kein Schritt nach vorne...
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Grüße Romeo |
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 29. Sep 2010 21:53 Titel: |
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Wie hast du denn die Spannung aus E und B berechnet?
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 29. Sep 2010 21:58 Titel: |
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| Romeo hat Folgendes geschrieben: | Ich habs mal versucht so zu machen, also den Quotient E/H für die Felder im Dielektrikum gebildet und danach quadriert. Im nächsten Schritt sortiert, so dass ich im Zähler und Nenner Real- und Imaginärteil habe - Vergleiche Form:
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Du musst nicht E/H bilden, sondern U/I !!
I ist gegeben, U kann man aus E und B ausrechnen.
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Romeo
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| Romeo Verfasst am: 30. Sep 2010 09:45 Titel: |
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Die Spannung vom Innen- zum Außenleiter haben ich über folgende Formel bestimmt:
Seh ich falsch? Aber I ist doch im Innenleiter gegeben. Die Spannung U ergibt sich aus dem E-Feld (tangential, also in  -Richtung) im Innenleiter.
Ich bin ratlos...
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Grüße Romeo |
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 30. Sep 2010 14:11 Titel: |
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Ein Tip:
Deine Gleichung zur Berechnung von U ist falsch.
Wieso: Wir sind nicht in der Elektrostatik, sondern haben
Wegen
kann man schreiben
mit einem Vektorpotenzial A.
Aus der ersten Gleichung wird daher
= 0)
Daher gibt es dafür (und nur dafür !) ein skalares Potenzial, welches erfüllt:
bzw.
Wenn du das B hast, kannst du das A bis auf eine Integrationskonstante (die aber beim Wegintegral wieder wegfällt) leicht erraten.
Ich habe damit noch nicht weitergerechnet - aber solange wir nicht auf das bekannte Resultat aus der Leitungstheorie kommen haben wir wohl noch einen Knopf drin.
Ich bin mittlerweile auch zur Überzeugung gekommen, dass man ohne longitudinale Feldkomponenten entlang z keinen resistiven Leiteranteil haben kann. Zumindest nicht für die Gleichstromleitung...
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Romeo
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| Romeo Verfasst am: 30. Sep 2010 20:28 Titel: |
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Frage vorweg: Wenn meine Gleichung für U nur in der Elektrostatik gilt, wieso kommt dann der richtige Ableitwert G' zustande? Ist die Berechnung für G' dann ebenfalls falsch??? 
Ich habs mal über einen ganz andere Weg versucht. Mein Ansatz ist eine Serienschaltung von Widerständen bestehend aus Innen- und Außenleiter in folgender Form:
)
Bei den Flächen A berücksichtige ich dann den Skineffekt in dem ich den Stromfluß nur an der Außenseite der Leiter zulasse. Die Eindringtiefe beträgt  , dies gilt sowohl für Innen- als auch für den Außenleiter.
^2 ) = 2\pi r_{i} \delta - \pi \delta^2 \approx 2 \pi r_{i} \delta)
^2 ) = 2\pi r_{a2} \delta - \pi \delta^2 \approx 2 \pi r_{a2} \delta)
Da  in der zweiten Potenz vernachlässigbar klein ist, durch die hohe Frequenz und der hohen Leitfähigkeit im Leiter. Eingesetzt in die Ausgangsgleichung liefert:
 = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt{\frac{\mu \omega}{2 \kappa}} \left( \frac{1}{r_{i}} + \frac{1}{r_{a2}} \right) )
Was hältst du von der Herleitung schnudl? Kann man das so machen, ist es legitim? Dann könnte ich den Widerstand R' abhaken und würde zu C' übergehen.
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Grüße Romeo |
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schnudl
Moderator
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| schnudl Verfasst am: 30. Sep 2010 23:50 Titel: |
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1)
Zum Spannungsproblem:
Deine Integration ist in diesem Fall deshalb zulässig, da die Komponente von A in z-Richtung zeigt, und deshalb keinen Beitrag in radialer Richtung liefert. **)
Ich habe übersehen, dass E und A in verschiedene Richtungen weisen.
Ich habe nun alles nochmals von vorn durchgerechnet und erhalte für die Leitung mit R'=0 folgenden Ausdruck für den Wellenwiderstand, wenn ich den Nenner auf den bekannten Wert für G' hintrimme (wie du es anfangs auch gemacht hast):
| Zitat: | | Wobei ich k(w) eingesetzt und diesen Ausdruck umgeformt habe, dass an der Stelle von G' eine 1 steht. Dann Zähler und Nenner mit der richtigen Formel von G' multiplizieren. Jetzt müsste man ja R', L' etc. ablesen können. Ich hab mal L' herausgenommen und mit dem Ergebnis von b.) für L' (übereinstimmend mit der Literatur) gleichgesetzt. Aber man merkt schnell das die Ausdrücke unterschiedlich sind... Sind die Felder falsch berechnet? |
Die imaginären Ausdrücke sind genau wL' bzw. wC'.
Du und ich wir haben uns beim ersten mal lediglich dumm verrechnet...
Die Frage ist nun, wie man hier das R' einbringen soll. Wir haben unter der Annahme von TEM Wellen alles exakt gerechnet. Will man nun R'>0 einbringen, so hat dies meiner Meinung nach einen Einfluß auf die longitudinale Komponente von E.
ich stehe vor einem Rätsel...Ich werde morgen mal einen Ansatz versuchen mit
 e^{-i k z})
und sehen, was rauskommt. Einfach wird das aber sicher nicht.
2)
Dein Ansatz für R' wird zwar schon stimmen, wirkt aber etwas herausgegriffen, da er nicht im Rahmen einer homogenen Lösung anfällt. Bist du denn sicher, dass in diesem Fall TEM Wellen überhaupt noch möglich sind? Außer der Annahme von reinen TEM-Wellen ist bisher alles exakt gerechnet. Wo hat da ein R' Platz? Also kann die Annahme nicht stimmen...oder wie denkst du darüber?
**) Allgemein darfst du nicht nur mit E rechnen, um die Spannungsdifferenz herauszubekommen. Am besten siehst du das ein, indem du Spannungsdifferenzen entlang des Aussen-Leiters berechnest:
Da bei einem idealen Leiter (R'=0) auch E=0 sein muss, hättest du entlang des Leiters überall gleiches Potenzial. Das ist aber nicht der Fall (Wellen). Die Lösung ist der transversale Anteil des Vektorpotenzials.
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schnudl
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| schnudl Verfasst am: 05. Okt 2010 18:46 Titel: |
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Hast du schon etwas rausbekommen? Oder eine Lösung erhalten?
Ich bín eigentlich immer noch der Meinung, eine TEM Welle ist mit einem resistiven Längsanteil nicht vereinbar. Eine TM Welle würde zwar prinzipiell gehen, aber ich bin nicht in der Lage die entstehenden Gleichungen zu lösen (komplexe Besselfunktionen).
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Romeo
Anmeldungsdatum: 27.02.2008
Beiträge: 148
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| Romeo Verfasst am: 06. Okt 2010 09:19 Titel: |
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Naja, ich kann es drehen und wenden wie ich möchte. Für eine TEM-Lösung muss man den Widerstand pro Längeneinheit zu Null wählen. Nur so erhalte ich für den Quotienten Zw=U/I und über das Einsetzen von L', C' und G' in Zw die gleichen Ergebnisse.
Ja ich war in den letzten Tag kurz bei deinem Tutor und konnte einen Blick in die Musterlösung erhaschen. Dort werden die Aufgabenteile aber leider nur durch die fertigen Formeln gelöst. Die Lösung musst auch nicht zwingend richtig sein, da dort für R' nicht mal der Skin-Effekt berücksichtigt wurde (sprich kompletter Querschnitt als Fläche).
Besselfunktionen lösen, mhmm, klingt ebenfalls lustig!
Danke nochmal schnudl, ich konnte durch die kleine Diskussion einiges lernen.
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Grüße Romeo |
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